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CalcMax

Hauptnenner-Rechner

Ergebnis

60

Kleinster gemeinsamer Nenner

Brüche mit dem gemeinsamen Nenner
45/60, 50/60, 42/60

Ein Hauptnenner ist die kleinste Zahl, in die jeder Nenner einer Reihe von Brüchen ohne Rest hineinpasst. Für 3/4, 5/6 und 7/10 ist das die 60: 60 sind 15 Vieren, 10 Sechsen und 6 Zehnen, und keine kleinere Zahl passt für alle drei. Ausgeschrieben werden die drei Brüche zu 45/60, 50/60 und 42/60 — gleiche Werte, ein gemeinsamer Nenner, und das ist die Form, die Sie brauchen, bevor sie addiert, subtrahiert oder verglichen werden können. Das Panel führt diese Zeile unter der Überschrift Kleinster gemeinsamer Nenner; gemeint ist derselbe Wert, und diese Seite benutzt dafür durchweg das Wort Hauptnenner. Die Abkürzung kgN ist gebräuchlich — eine deutsche Entsprechung zu dem im Englischen üblichen LCD. Zwei Schritte führen dorthin, und der erste lässt sich leicht überspringen. Jeder Bruch wird zuerst auf seine einfachste Form gekürzt, denn 6/8 und 3/4 sind dieselbe Zahl mit verschiedenen Nennern, und wer den Nenner liest, ohne zu kürzen, bekommt eine Antwort, die ein gemeinsamer Nenner ist, aber nicht der kleinste — kürzen Sie 6/8 und 10/12 zu 3/4 und 5/6, und die Antwort ist 12 statt 24. Danach werden die Nenner zusammengefasst: Der kleinste gemeinsame Nenner einer Reihe von Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer gekürzten Nenner, also das kgV. Das ist die ganze Rechnung, und deshalb kommen diese Seite und die Seite zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen von verschiedenen Richtungen auf dieselbe Zahl. Bei drei oder mehr Brüchen werden die Vielfachen zwei auf einmal hineingefaltet, 4, 6 und 10 ergeben also erst 12 und dann 60. Von einer Tabelle abzulesen ist der Rückfallweg: Notieren Sie die Vielfachen jedes gekürzten Nenners und nehmen Sie die erste Zahl, die in allen Listen vorkommt. Man kann Brüche auch gleichnamig machen, indem man einfach alle Nenner miteinander multipliziert — das ergibt immer einen gemeinsamen Nenner, nur selten den kleinsten, und in jedem umgeschriebenen Bruch stehen dann größere Zahlen. Zwei Sonderfälle kommen oft genug vor, um sie zu kennen. Ganze Zahlen werden angenommen und zählen als Brüche mit dem Nenner 1, sie heben die Antwort also nie an — sie werden aber mit angehängtem gemeinsamem Nenner zurückgegeben, denn die 2 ist 4/2, sobald alles über der 2 steht. Und ein Nenner, der ein Vielfaches eines anderen ist, etwa die 4 neben der 2, trägt nichts bei: Die 2 passt bereits in die 4. Das Ergebnis ist genau die Größe, die man zum Addieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern braucht, und der Nenner der Summe ist diese Zahl.

1/2, 2/3 und 3/4 über ihrem kleinsten gemeinsamen Nenner

BruchNennermit dem Hauptnenner
1/226/12
2/338/12
3/449/12

Lesen Sie die mittlere Spalte von oben nach unten, und die drei Zahlen sind 2, 3 und 4. Ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 12, das ist die Antwort, und es ist die erste Zahl, in die alle drei ohne Rest hineinpassen: Die 12 ist das sechste Vielfache der 2, das vierte der 3 und das dritte der 4. Die rechte Spalte zeigt dann jeden Bruch über der 12, und jeder Eintrag ist es wert, gegen den geprüft zu werden, den er ersetzt hat — 6/12 ist ein Halb, 8/12 sind zwei Drittel und 9/12 sind drei Viertel, und jedes davon ist es noch, weil Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert wurden. Dieser Multiplikator ist die Antwort geteilt durch den eigenen Nenner des Bruchs: 12 ÷ 2 = 6 für die erste Zeile, 12 ÷ 3 = 4 für die zweite, 12 ÷ 4 = 3 für die dritte. Beachten Sie, dass der dritte Nenner, die 4, nicht der größte Beitrag ist, obwohl er die größte Zahl ist: Es kommt auf die Primzahlen an, und die 12 braucht zwei Zweien, die sie von der 2 oder von der 4 bekommen kann, plus die 3, die nur die 3 mitbringt. Die Tabelle steht fest bei diesen drei Brüchen und folgt nicht dem, was Sie eingetippt haben — die Anzeige oben beantwortet Ihre Eingabe, diese hier zeigt die Methode an Zeilen, die kurz genug sind, um sie mit einem Blick zu prüfen.

Formel

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ Hauptnenner = kgV(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10
Die Brüche, mit denen gearbeitet wird, zwei bis zehn Stück, jeder als Zähler/Nenner geschrieben, beide Teile ganze Zahlen von 1 bis 1.000.000, getrennt durch Leerzeichen, Kommas oder Semikolons. Ganze Zahlen wie die 2 werden angenommen und als 2/1 gelesen. Jeder Bruch wird auf seine einfachste Form gekürzt, bevor sein Nenner verwendet wird, und dieser Schritt ist es, der verhindert, dass die Antwort zu groß ausfällt
4, 6, 10
Die gekürzten Nenner. Das vorherige Kürzen ist der Grund, warum hier 4, 6 und 10 stehen und nicht etwas Größeres — die 6/8 würde eine 8 beisteuern, wenn sie nicht zu 3/4 gekürzt wäre. Alles Weitere arbeitet nur noch mit diesen Zahlen; die Zähler haben auf die Antwort überhaupt keinen Einfluss
Hauptnenner = kgV(4, 6, 10)
Die ganze Rechnung in einer Zeile: Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der gekürzten Nenner. Die 4 ist 2², die 6 ist 2 × 3 und die 10 ist 2 × 5, die benötigten Primzahlen sind also 2², 3 und 5, was 4 × 3 × 5 = 60 ergibt. Bei mehr als zwei Brüchen faltet sich das zwei auf einmal: 4 und 6 ergeben 12, dann ergeben 12 und 10 die 60
60
Die Antwort. Jeder gekürzte Nenner teilt sie ohne Rest, und keine kleinere Zahl tut das — das ist es, was sie zum kleinsten gemeinsamen Nenner macht und nicht bloß zu einem gemeinsamen
n × (60 ÷ d)
So wird jeder Bruch umgeschrieben: Der Zähler wird mit der Antwort geteilt durch den eigenen Nenner des Bruchs multipliziert. Für 3/4 ist das 3 × 15 = 45, aus 3/4 wird also 45/60. Der Wert des Bruchs ändert sich nicht — Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert, und genau das bedeutet es, Brüche zu erweitern
45/60, 50/60, 42/60
Die umgeschriebenen Brüche, alle über dem gemeinsamen Nenner. Eine ganze Zahl aus der Eingabe erscheint hier mit angehängtem Nenner statt wieder gekürzt: Die 2 kommt als 4/2 zurück, wenn die Antwort 2 lautet, weil eine Zeile, die in dieser Spalte als nackte ganze Zahl stünde, wie eine übersprungene läse

Das Addieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern fängt hier an: 3/4 und 5/6 lassen sich nicht zusammenfassen, bevor beide über der 12 stehen, und der gemeinsame Nenner ist die erste Zeile des Rechenwegs. Brüche zu vergleichen ist derselbe Schritt — ob 5/6 größer ist als 7/10, sieht man den Brüchen nicht an, aber 50/60 gegen 42/60 entscheidet es sofort, und weil die Nenner übereinstimmen, muss man nur noch die Zähler lesen. Das Subtrahieren stellt dieselbe Anforderung. Außerhalb des Rechenunterrichts gilt: Sobald Größen in verschiedenen Bruchteilen erfasst sind, ist der gemeinsame Nenner das, was sie zusammenzählbar macht. Die Tabelle unten ist der Weg von Hand: Vielfache jedes gekürzten Nenners, und die erste Zahl, die in jeder Spalte auftaucht. Zwei Abkürzungen sparen den größten Teil der Arbeit, und beide kommen häufig vor: Ein Nenner, der ein Vielfaches eines anderen ist, kann ignoriert werden, und Nenner, die überhaupt keine Primzahl gemeinsam haben — etwa 6 und 5 —, multiplizieren sich direkt zur Antwort. Das Kürzen ist keine Kür, wenn ein Bruch nicht in einfachster Form dasteht: Brüche zu kürzen, bevor man die Nenner liest, ist der Schritt, dessen Auslassen eine Antwort erzeugt, die völlig vernünftig aussieht. Wer nur die Brüche kürzen will, ist beim Brüche-kürzen-Rechner richtig; wer zwei Brüche direkt addieren will, beim Bruch-Rechner; und wer das kgV der Nenner als eigene Frage braucht, beim KGV-Rechner.

Rechenbeispiele

  1. Drei Brüche: 3/4, 5/6 und 7/10

    1. Alle drei stehen bereits in einfachster Form, die zusammenzufassenden Nenner sind also 4, 6 und 10
    2. Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
    3. Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
    4. Vielfache von 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60
    5. Die erste Zahl in allen drei Listen ist die 60, der kleinste gemeinsame Nenner ist also 60
    6. 3/4 wird zu 45/60, weil 60 ÷ 4 = 15 und 3 × 15 = 45
    7. 5/6 wird zu 50/60, weil 60 ÷ 6 = 10 und 5 × 10 = 50
    8. 7/10 wird zu 42/60, weil 60 ÷ 10 = 6 und 7 × 6 = 42

    Die Standardeingabe. Der gefaltete Weg ist kürzer als die Listen: 4 und 6 ergeben 12, und 12 mit 10 ergibt 60. Die umgeschriebene Zeile ist die nützliche Probe, denn jeder der drei neuen Brüche muss dem entsprechen, den er ersetzt hat — 45/60 ist 3/4, 50/60 ist 5/6 und 42/60 ist 7/10, und wäre einer davon nicht so, wäre der Multiplikator nur auf einen Teil des Bruchs angewendet worden.

  2. Warum zuerst gekürzt wird: 6/8 und 10/12

    1. 6/8 und 10/12 stehen nicht in einfachster Form
    2. Teilen Sie beide Teile von 6/8 durch 2: Es wird zu 3/4 mit dem Nenner 4
    3. Teilen Sie beide Teile von 10/12 durch 2: Es wird zu 5/6 mit dem Nenner 6
    4. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist 12, der Hauptnenner ist also 12
    5. 3/4 wird zu 9/12 und 5/6 wird zu 10/12
    6. Hätte man stattdessen die ungekürzten Nenner gelesen, wären es 8 und 12 gewesen, und deren kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 24

    Die Antwort, um derentwillen es diese Seite gibt. Die 24 ist kein falscher gemeinsamer Nenner — 6/8 und 10/12 lassen sich wirklich beide über der 24 schreiben —, sie ist nur nicht der kleinste, und ein Panel mit einer 24 sähe völlig normal aus. Das vorherige Kürzen trennt die beiden Fälle, und deshalb kürzt das Feld jeden Bruch, bevor es seinen Nenner liest.

  3. Eine ganze Zahl zwischen den Brüchen: 1/2, 2 und 3

    1. 2 und 3 werden als 2/1 und 3/1 mit dem Nenner 1 gelesen
    2. Die zusammenzufassenden Nenner sind 2, 1 und 1
    3. Jede ganze Zahl ist ein Vielfaches von 1, die 1 trägt also nichts zur Antwort bei
    4. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2, 1 und 1 ist 2
    5. 1/2 bleibt 1/2, während 2 zu 4/2 und 3 zu 6/2 wird

    Die 4/2 und die 6/2 sind Absicht und kein misslungenes Kürzen. Die Seite heißt Brüche mit dem gemeinsamen Nenner, und jede Zeile darin muss diesen Nenner tragen, sonst läse eine als nackte 2 gedruckte Zeile wie eine, die unangetastet geblieben ist. Der Wert ist in beiden Fällen derselbe — 4/2 ist 2 —, und dies ist die einzige Stelle auf der Seite, an der eine Ausgabe absichtlich ungekürzt aussieht.

  4. Nahe an der Obergrenze: 1/1000 und 2/999983

    1. 1.000 ist 2³ × 5³ und 999.983 ist eine Primzahl, die beiden Nenner teilen also nichts miteinander
    2. Wenn nichts gemeinsam ist, ist das kleinste gemeinsame Vielfache das Produkt: 1.000 × 999.983 = 999.983.000
    3. Der Hauptnenner ist also 999.983.000, und der steht in der Ergebniszeile ohne Tausenderpunkte: 999983000
    4. 1/1000 wird zu 999983/999983000, weil 999983000 ÷ 1000 = 999983
    5. 2/999983 wird zu 2000/999983000, weil 999983000 ÷ 999983 = 1000 und 2 × 1000 = 2000

    Zwei Nenner, die keine Primzahl gemeinsam haben, sind der Fall, in dem die Antwort für ein gegebenes Paar so groß wird, wie sie nur werden kann, und dieses Beispiel liegt knapp unter der Grenze, an der die Seite aufhört. Die Zähler bleiben hier exakt — 999.983 ist ein sechsstelliger Wert und passt noch in den Bereich, den eine Maschine genau hält —, aber ein Bruch mit einem größeren Zähler würde das Produkt darüber hinausschieben, und deshalb lehnt die Seite oberhalb eines bestimmten Nenners ab, statt eine gerundete Umschreibung zu drucken. Beachten Sie, dass die Zähler der umgeschriebenen Brüche hier länger sind als die Zähler, mit denen Sie gestartet sind: 1/1000 und 2/999983 werden zu 999983/999983000 und 2000/999983000, und das ist kein Fehler, sondern der Preis für den gemeinsamen Nenner.

Einschränkungen

Jeder Bruch wird als Zähler/Nenner geschrieben, beide Teile ganze Zahlen von 1 bis 1.000.000, und es müssen zwischen zwei und zehn sein. Dezimalzahlen werden abgelehnt statt umgewandelt: 0,75 ist kein als Bruch geschriebener Bruch, und daraus 3/4 zu machen hieße zu raten, was gemeint war. Ein Minuszeichen wird nur vor dem Zähler angenommen — 3/-4 wird abgelehnt, weil das Vorzeichen eines Bruchs an eine Stelle gehört und die Seite diese Wahl nicht für Sie trifft. Ein Nenner von null wird abgelehnt, da sich nichts in null Teile teilen lässt. Es gibt eine Obergrenze, und sie liegt nicht auf der Eingabe, sondern auf der Antwort: Der kleinste gemeinsame Nenner muss bei 1.000.000.000 oder darunter bleiben, und darüber lehnt die Seite ab, statt die umgeschriebenen Brüche zu drucken. Der Grund ist, dass jeder umgeschriebene Zähler der ursprüngliche Zähler multipliziert mit der Antwort geteilt durch seinen eigenen Nenner ist, ein großer gemeinsamer Nenner mal einem großen Zähler also aufhört, exakt zu sein — und eine ungenaue Umschreibung sähe aus wie jede andere Zeile. Zwei Brüche sind das Minimum, weil ein einzelner Bruch nichts hat, mit dem er einen Nenner teilen könnte. Ein in der Liste wiederholter Bruch ändert nichts, und ein Nenner, der ein Vielfaches eines anderen ist, ist schlicht überflüssig. Die Referenztabelle unten steht fest bei 1/2, 2/3 und 3/4 und folgt Ihrer Eingabe nicht; die Anzeige oben beantwortet Ihre Brüche, die Tabelle zeigt die Methode und die drei umgeschriebenen Zeilen. Die Antwort ist exakt und nie gerundet.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einem gemeinsamen Nenner und dem kleinsten gemeinsamen Nenner?
Jede Zahl, in die jeder Nenner ohne Rest hineinpasst, ist ein gemeinsamer Nenner; der kleinste gemeinsame ist die kleinste solche Zahl. Für 4, 6 und 10 sind sowohl 60 als auch 120 gemeinsame Nenner, und 60 ist der kleinste. Nur der kleinste lohnt sich von Hand zu berechnen, weil ein größerer in jedem umgeschriebenen Bruch größere Zahlen bedeutet, und größere Zahlen sind die Stelle, an der Rechenfehler passieren. Die Seite liefert immer den kleinsten.
Warum werden die Brüche gekürzt, bevor der Nenner gelesen wird?
Weil zwei Brüche, die dieselbe Zahl sind, verschiedene Nenner haben können. 6/8 und 3/4 sind gleich, aber aus der 8 einen gemeinsamen Nenner zu bauen ergibt 24, wo die richtige Antwort 12 lautet. Die falsche Antwort ist nicht offensichtlich falsch — 24 ist ein echter gemeinsamer Nenner dieser Brüche —, deshalb kürzt die Seite jeden Bruch zuerst auf seine einfachste Form, und das Beispiel oben hält genau diesen Fall fest.
Wie hängt der kleinste gemeinsame Nenner mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zusammen?
Es ist dieselbe Rechnung auf verschiedenen Eingaben. Nehmen Sie die Nenner der gekürzten Brüche und bilden Sie ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches; das ist der Hauptnenner. Deshalb sind sich die beiden Seiten hier einig: 4, 6 und 10 haben das kgV 60, und eine Reihe von Brüchen mit diesen Nennern hat 60 als kleinsten gemeinsamen Nenner. Von den Zählern geht nichts in die Antwort ein.
Warum kommt eine ganze Zahl mit angehängtem Nenner zurück?
Weil eine ganze Zahl in der Eingabe als Bruch über der 1 gelesen wird und die Ausgabespalte dieser Seite Brüche mit dem gemeinsamen Nenner heißt — jede Zeile darin muss diesen Nenner tragen. Die 2 wird zu 4/2, wenn die Antwort 2 lautet, und das ist derselbe Wert, über dem gemeinsamen Nenner geschrieben, und kein Fehler beim Kürzen. Es ist der einzige Fall auf der Seite, in dem eine Ausgabe absichtlich ungekürzt aussieht.
Wie klein kann die Antwort werden?
So klein wie der größte gekürzte Nenner, wenn jeder andere Nenner in ihn hineinpasst. Für 1/2, 1/4 und 3/4 ist die Antwort 4, da die 2 in die 4 passt und die 4 sie selbst ist. Kleiner als der größte Nenner kann sie nicht sein, weil die Antwort ein Vielfaches von jedem einzelnen sein muss, und ein Vielfaches einer Zahl ist nie kleiner als diese Zahl.
Können die Zähler die Antwort ändern?
Nein. Der kleinste gemeinsame Nenner wird allein aus den Nennern berechnet, und 1/4 und 3/4 haben denselben. Die Zähler tauchen in den umgeschriebenen Brüchen auf, wo jeder mit der Antwort geteilt durch seinen eigenen Nenner multipliziert wird, sie ändern also, was die Zeilen sagen, aber nie, in wie viele Teile ein Ganzes zerlegt wird.

Quellen

Verwandte Rechner

KGV-RechnerDie ersten vier gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen.Brüche-addieren-RechnerAddiert Brüche mit ungleichen Nennern und kürzt das Ergebnis.Brüche-subtrahieren-RechnerSubtrahiert ungleichnamige Brüche und zeigt den Hauptnenner.Gleichwertige-Brüche-RechnerBrüche, die einem gegebenen Bruch entsprechen, bis zum Limit.