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CalcMax

KGV-Rechner

Ergebnis

180

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Die ersten vier gemeinsamen Vielfachen
180, 360, 540, 720

Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches ist die kleinste ganze Zahl, die jede Zahl einer Liste ohne Rest teilt — genauer gesagt die kleinste Zahl, in die jede Zahl der Liste ohne Rest hineinpasst. Für 12, 18 und 30 ist das die 180: 180 sind 15 Zwölfen, 10 Achtzehnen und 6 Dreißigen, und nichts Kleineres funktioniert für alle drei. Die Seite druckt zusätzlich die ersten vier gemeinsamen Vielfachen, weil das kleinste allein schwer nachzuprüfen ist — die 180 könnte ein Vielfaches jeder dieser Zahlen und trotzdem nicht das kleinste sein, und 180, 360, 540 und 720 sind gemeinsame Vielfache aller drei, sodass man in dieser Reihenfolge sieht, dass unterhalb von 180 nichts ausgelassen wurde. Das Panel gibt diese vier Werte als 180, 360, 540, 720 aus — mit Komma getrennt und ohne Gruppierung, wie sie aus der Schleife kommen. Drei Wege führen dorthin. Die Vielfachen jeder Zahl aufzulisten und die erste Zahl zu nehmen, die sie gemeinsam haben, ist der Weg, den die Tabelle unten benutzt; er ist am leichtesten zu verfolgen und am langsamsten zu rechnen. Die Primfaktorzerlegung ist schneller: Schreiben Sie jede Zahl als Produkt von Primzahlen und behalten Sie jede Primzahl, die irgendwo auftritt, in ihrer höchsten Potenz — 12 ist 2² × 3, 18 ist 2 × 3², 30 ist 2 × 3 × 5, die benötigten Primzahlen sind also 2², 3² und 5, und 4 × 9 × 5 ist 180. Beachten Sie den Unterschied zum größten gemeinsamen Teiler, der die kleinste Potenz der gemeinsamen Primzahlen behält; diese Seite behält die höchste Potenz jeder Primzahl, die überhaupt vorkommt. Der dritte Weg ist, zuerst den größten gemeinsamen Teiler herauszurechnen und dann zu multiplizieren: Für zwei Zahlen gilt, dass das kleinste gemeinsame Vielfache mal dem größten gemeinsamen Teiler das Produkt der Zahlen ist, 4 × 6 ist also 24 und der Teiler von 4 und 6 ist 2, was 12 übrig lässt. Diese Abkürzung ist für zwei Zahlen exakt und jenseits von zwei eine häufige Fehlerquelle, wo sie nicht mehr gilt — die Seite faltet die Zahlen stattdessen zwei auf einmal, und deshalb liefert sie auch für zehn Zahlen die richtige Antwort. Zahlen, die teilerfremd sind, sind der einfachste Fall: 7, 11 und 13 haben keine gemeinsame Primzahl, es kürzt sich also nichts weg, und die Antwort ist ihr Produkt, 1.001. Das Vielfache ist das, was Sie brauchen, um Brüche zu addieren oder zu vergleichen: 1/12 und 1/18 lassen sich erst addieren, wenn beide über der 36 stehen, die ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist, und dieselbe Zahl ist es, die die Seite zum Hauptnenner für eine Reihe von Brüchen berechnet.

Vielfache von 4, 6 und 8 nebeneinander — die Antwort ist die erste Zahl, die in allen drei Spalten steht

n4 · n6 · n8 · n
1468
281216
3121824
4162432
5203040
6243648
7284256
8324864

Lesen Sie quer über die Zeilen, und die Antwort ist die erste Zeile, in der die drei rechten Einträge übereinstimmen: 4 × 6, 6 × 4 und 8 × 3 sind alle 24, das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 6 und 8 ist also 24. So zu lesen ist die Methode selbst, und deshalb ist die Tabelle eine Leiter und kein Ergebnis. Beachten Sie, dass die Spalten ihre erste Übereinstimmung nicht in derselben Zeilennummer erreichen — die 24 ist das sechste Vielfache der 4, das vierte der 6 und das dritte der 8 —, die Tabelle muss also so weit gebaut werden, bis eine Zahl in jeder Spalte auftaucht, und nicht für eine feste Zeilenzahl. Beachten Sie außerdem, dass in keiner Zeile davor alle drei übereinstimmen: Die 12 steht unter der 4 und unter der 6, die 16 unter der 4 und unter der 8, und beide sind Sackgassen. Das ist der Punkt, den man mitnehmen sollte, denn ein gemeinsames Vielfaches ist leicht zu erzeugen, und das kleinste ist die eigentliche Frage. In der Kopfzeile steht der Malpunkt, wie er in deutschen Lehrbüchern geschrieben wird. Die Tabelle steht fest bei 4, 6 und 8 und folgt nicht den Zahlen, die Sie eingetippt haben, und sie endet nach acht Zeilen, weil die 24 vorher kommt.

Formel

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ kgV(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, und die ersten vier gemeinsamen Vielfachen sind 180, 360, 540, 720

12, 18, 30
Die Zahlen, mit denen gearbeitet wird, zwei bis zehn Stück, jede eine ganze Zahl von 1 bis 1.000.000. Leerzeichen, Kommas und Semikolons trennen alle, 12 18 30 und 12, 18, 30 sind also dieselbe Eingabe. Die 0, negative Zahlen und Dezimalzahlen werden abgelehnt: Ein Vielfaches ist eine Aussage über das Abzählen, und jede Zahl der Liste muss eines haben
2² × 3² × 5
Die benötigten Primzahlen, jede in ihrer höchsten Potenz über die ganze Liste hinweg: 2² aus der 12, 3² aus der 18 und 5 aus der 30. Dass die höchste und nicht die kleinste Potenz genommen wird, ist der Unterschied zum größten gemeinsamen Teiler, und deshalb ist diese Zahl immer mindestens so groß wie die größte Eingabe
180
Die Antwort und das erste gemeinsame Vielfache. Es ist ein Vielfaches jeder Zahl der Liste, und keine kleinere Zahl ist es — das ist der ganze Inhalt des Wortes kleinstes
180, 360, 540, 720
Die ersten vier gemeinsamen Vielfachen, gedruckt, damit die Antwort nachprüfbar wird: Sie sind das Ein-, Zwei-, Drei- und Vierfache der Antwort, und der Abstand zwischen ihnen ist die Antwort selbst. Gäbe es ein kleineres gemeinsames Vielfaches, müsste es unterhalb von 180 liegen, und die Liste zeigt, dass die Reihe dort beginnt
kgV(a, b, c) = kgV(kgV(a, b), c)
Wie mehr als zwei Zahlen behandelt werden: zwei auf einmal, wobei das laufende Ergebnis in die nächste Zahl hineingefaltet wird. Es ist dieselbe Faltung wie auf der Seite zum größten gemeinsamen Teiler und der Grund, warum die Abkürzung über Produkt und Teiler hier nicht benutzt wird — sie ist nur für zwei Zahlen exakt
1000000000000
Die Obergrenze der Antwort und nicht der Eingaben. Eine Liste aus zehn sechsstelligen Zahlen kann eine Antwort weit über das hinaus erreichen, was eine Maschine exakt hält, und eine ungenaue Antwort sähe hier völlig normal aus. Darüber hinaus lehnt die Seite ab, statt etwas zu drucken, das beinahe richtig ist

Brüche zu addieren oder zu vergleichen ist der Ort, an dem sich das Vielfache bezahlt macht. 1/12 und 1/18 lassen sich so, wie sie dastehen, nicht addieren; beide werden über der 36 geschrieben, und 36 ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches — jedes gemeinsame Vielfache täte es, aber das kleinste hält die Zahlen klein, und deshalb ist es das, was als Erstes gelehrt wird. Der Nenner einer Summe ist genau diese Größe, und die Seite zum Hauptnenner hier ist dieselbe Rechnung, angewendet auf eine Reihe von Brüchen. Die Vielfachenmenge einer Zahl aufzuschreiben ist der Weg von Hand, und in der Schule wird das Vielfache direkt erfragt: Die Tabelle unten ist der erwartete Rechenweg, sie listet Vielfache jeder Zahl, bis eine in jeder Spalte auftaucht. Terminplanung ist die Alltagsfassung außerhalb der Bruchrechnung: Zwei Ereignisse, die sich alle 12 und alle 18 Tage wiederholen, treffen nach 36 Tagen wieder zusammen, drei blinkende Lichter treffen nach dem Vielfachen aller drei zusammen, und die Frage Wann fallen sie das nächste Mal zusammen ist immer das Vielfache. Bei Zahnrädern ist es dasselbe, das Eingriffsmuster wiederholt sich nach einer ganzen Zahl von Umdrehungen, die beide Räder vollständig durchlaufen. Zwei Zahlen, die keine Primzahl gemeinsam haben, sind der leichte Fall — ihr Vielfaches ist einfach das Produkt —, und das zu erkennen spart jede Rechnung. Wer nur den größten gemeinsamen Teiler sucht, ist beim GGT-Rechner richtig; wer die Zerlegung selbst braucht, beim Primfaktorzerlegung-Rechner; und wer Brüche über einem gemeinsamen Nenner braucht, beim Hauptnenner-Rechner.

Rechenbeispiele

  1. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 12, 18 und 30

    1. Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120 … 180
    2. Vielfache von 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180
    3. Vielfache von 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180
    4. Die erste Zahl, die in allen drei Listen vorkommt, ist die 180
    5. Über die Primfaktorzerlegung: 2² aus der 12, 3² aus der 18 und 5 aus der 30, also 4 × 9 × 5 = 180

    Die Standardeingabe. Beachten Sie, dass die 36 ein Vielfaches von 12 und von 18 ist, aber nicht von 30, und die 60 ein Vielfaches von 12 und von 30, aber nicht von 18 — die Antwort muss jede Zahl der Liste erfüllen, nicht die meisten. Beide Wege stimmen überein, und der Weg über die Zerlegung ist der, den man nimmt, wenn die Listen lang würden.

  2. Zwei Zahlen: 4 und 6

    1. Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24
    2. Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24
    3. Die erste gemeinsame Zahl ist die 12
    4. Probe mit der Produktregel: 4 × 6 = 24, und der größte gemeinsame Teiler von 4 und 6 ist 2, also ist 24 ÷ 2 = 12

    Der Zwei-Zahlen-Fall ist der einzige, in dem die Produktregel gilt, und die Probe oben lohnt sich einmal von Hand, weil sie zeigt, warum die Regel ab drei Zahlen aufhört zu funktionieren: Für 4, 6 und 9 ist das Produkt 216, während die Antwort 36 lautet, und die Division durch den Teiler von 4 und 6 allein korrigiert die dritte Zahl nicht. Die Seite faltet zwei auf einmal und erwischt das nie.

  3. Teilerfremde Zahlen: 7, 11 und 13

    1. 7, 11 und 13 sind alle Primzahlen, es teilen sich also keine zwei einen Faktor
    2. Im Produkt kürzt sich nichts weg, das kleinste gemeinsame Vielfache ist also 7 × 11 × 13
    3. 7 × 11 = 77, und 77 × 13 = 1.001
    4. Die ersten vier gemeinsamen Vielfachen schreiten jeweils um 1.001 weiter: 1001, 2002, 3003, 4004

    Wenn keine Primzahl geteilt wird, ist die Antwort einfach das Produkt, und dies ist der einzige Fall, in dem sie so groß wird. Die 1.001 ist aus einem anderen Grund eine vertraute Zahl — 7 × 11 × 13 ist ihre Zerlegung, und genau das steckt hinter dem Trick, in einer sich wiederholenden dreistelligen Ziffernfolge eine Zahl zu erkennen. Die Seite behandelt sie genauso wie alles andere. Beachten Sie den Unterschied in der Schreibweise: Der Rechner gibt sein Ergebnis mit Tausenderpunkt aus (1.001), die Liste der Vielfachen dagegen so, wie sie aus der Schleife kommt, ohne Gruppierung (1001, 2002, 3003, 4004) — es ist beide Male dieselbe Zahl.

  4. Eine Liste, in der eine Zahl die anderen teilt: 6, 8 und 12

    1. Die 12 ist ein Vielfaches der 6, die 6 verlangt also nichts, was die 12 nicht schon verlangt
    2. Vielfache von 8: 8, 16, 24
    3. Vielfache von 12: 12, 24
    4. Die erste gemeinsame Zahl ist die 24, und die Antwort ist kein Vielfaches der größten Eingabe

    Die Antwort muss keine der eingetippten Zahlen sein, und das ist das Gegenteil des größten gemeinsamen Teilers, dessen Antwort immer ein Teiler der kleinsten Eingabe ist. Hier ist die Antwort 24 größer als jede Zahl der Liste, weil ein gemeinsames Vielfaches eine Zahl sein muss, in die alle hineinpassen. Die 6 wegzulassen ändert nichts: Die 12 trägt bereits jede Primzahl, die die 6 verlangt, die Faltung lässt die Antwort also unangetastet.

Einschränkungen

Jede Zahl muss eine ganze Zahl von 1 bis 1.000.000 sein, und es müssen zwischen zwei und zehn sein. Die Eingaben sind damit begrenzt, aber die Grenze, auf die es ankommt, liegt auf der Antwort: Das kleinste gemeinsame Vielfache muss bei 1.000.000.000.000 oder darunter bleiben, und eine Liste aus zehn großen Zahlen schießt weit darüber hinaus, lange bevor der Eingabebereich erschöpft ist. Oberhalb der Grenze lehnt die Seite ab, statt eine Antwort zu drucken, weil eine so große Zahl nicht exakt gehalten werden kann und als ganz gewöhnliches Ergebnis zurückkäme. Die Null und negative Zahlen werden abgelehnt: Jede ganze Zahl ist ein Vielfaches von 0 ist keine brauchbare Aussage, und ein kleinstes gemeinsames Vielfaches ist über positiven Zahlen definiert. Dezimalzahlen und Brüche werden abgelehnt statt gerundet, aus demselben Grund wie auf der Teilerseite. Als Trennzeichen sind Leerzeichen, Kommas oder Semikolons erlaubt und dürfen gemischt werden. Wiederholte Einträge werden angenommen und ändern nichts, und eine Zahl, die eine andere in derselben Liste teilt, ist schlicht überflüssig. Die Referenztabelle unten steht fest bei 4, 6 und 8 und folgt Ihrer Eingabe nicht — die Anzeige beantwortet Ihre Zahlen, die Tabelle zeigt, wie die Antwort abgelesen wird. Die Antwort selbst ist immer exakt und nie gerundet.

Häufige Fragen

Wie finde ich das kleinste gemeinsame Vielfache von Hand?
Schreiben Sie die Vielfachen jeder Zahl auf, bis ein Wert in jeder Liste vorkommt. Für 12, 18 und 30 ist das die 180: Sie ist das fünfzehnte Vielfache der 12, das zehnte der 18 und das sechste der 30. Der schnellere Weg ist die Primfaktorzerlegung — behalten Sie jede Primzahl, die irgendwo in der Liste auftaucht, in ihrer höchsten Potenz, für diese drei Zahlen also 2², 3² und 5, was 180 ergibt. Beide Wege sind in den Beispielen oben gezeigt.
Was ist der Unterschied zwischen dem kgV und dem ggT?
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die alle Eingaben teilt; das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die alle Eingaben teilen. Der Teiler ist nie größer als die kleinste Eingabe, das Vielfache nie kleiner als die größte. Über die Primfaktorzerlegung ist der Unterschied ein einziges Wort: Der Teiler behält die kleinste Potenz der gemeinsamen Primzahlen, das Vielfache die höchste Potenz jeder Primzahl, die überhaupt vorkommt.
Kann ich die Zahlen stattdessen einfach miteinander multiplizieren?
Das ergibt ein gemeinsames Vielfaches, aber selten das kleinste, und für zwei Zahlen lautet die genaue Regel, dass das Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen mal dem größten gemeinsamen Teiler ist. Für 4 und 6 ist das Produkt 24 und der Teiler 2, die Antwort ist also 12. Ab drei Zahlen gilt diese Regel nicht mehr, und deshalb faltet die Seite die Zahlen zwei auf einmal, statt alle miteinander zu multiplizieren.
Warum lehnt die Seite sehr große Antworten ab?
Weil eine Maschine ab einer bestimmten Größe aufhört, ganze Zahlen exakt zu halten, und eine so große Antwort gerundet zurückkäme, während sie völlig gewöhnlich aussieht. Die Eingaben sind auf je 1.000.000 begrenzt, die Antwort kann aber weit darüber hinauswachsen — eine Liste aus zehn sechsstelligen Zahlen multipliziert sich enorm auf —, deshalb prüft die Seite die Antwort zusätzlich gegen eine Obergrenze und lehnt ab, statt etwas zu drucken, das beinahe richtig ist.
Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache zweier teilerfremder Zahlen?
Ihr Produkt, weil sich nichts wegkürzt: 7 und 11 sind teilerfremd, ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist also 77. Teilerfremd heißt, dass die beiden Zahlen überhaupt keine Primzahl gemeinsam haben, die höchste Potenz jeder Primzahl in der Liste ist also diese Primzahl selbst. Aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind immer teilerfremd, und ebenso eine Primzahl mit allem, was kein Vielfaches von ihr ist.
Wo wird das kleinste gemeinsame Vielfache gebraucht?
Brüche zu addieren oder zu vergleichen braucht einen gemeinsamen Nenner, und der kleinste davon ist diese Größe — 1/12 und 1/18 werden beide über der 36 geschrieben. Außerhalb der Bruchrechnung trifft alles, was sich in zwei Zyklen wiederholt, nach ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen wieder zusammen: Ereignisse alle 12 und alle 18 Tage fallen nach 36 Tagen zusammen, und Zähne greifen in einem Muster ineinander, das sich nach dem Vielfachen der Zähnezahlen wiederholt.

Quellen

Verwandte Rechner

GGT-RechnerGemeinsame Teiler von zwei bis zehn Zahlen, und der größte.Hauptnenner-RechnerDer kleinste gemeinsame Nenner für eine Reihe von Brüchen.Brüche-addieren-RechnerAddiert Brüche mit ungleichen Nennern und kürzt das Ergebnis.Bruch-RechnerRechnet mit Brüchen und kürzt das Ergebnis.Teiler-RechnerAlle Teiler einer Zahl und ihre Teilerpaare.