IRR-Rechner

Gesucht ist der Zinssatz r mit −Anfangsinvestition + ZS₁ ÷ (1+r) + ZS₂ ÷ (1+r)² + … + ZSₙ ÷ (1+r)ⁿ = 0. Ab mehr als zwei Perioden gibt es dafür keine algebraische Lösung; der Rechner verengt deshalb ein Intervall, bis der Kapitalwert auf zwei Nachkommastellen genau null ist.

Anfangsinvestition

Was das Projekt heute kostet, im Moment des Starts. Der Betrag wird als positive Zahl eingegeben und in der Gleichung abgezogen, statt als negativer Zahlungsstrom in der Liste zu stehen — so bleibt die Vorzeichenregel sichtbar, statt sich in der Zahlenreihe zu verstecken.

Zahlungsströme

Was zurückkommt, Periode für Periode, durch Leerzeichen getrennt. Der erste Eintrag liegt eine Periode in der Zukunft, nicht heute; Geld, das schon am Tag null zufließt, gehört als Kürzung in die Anfangsinvestition. Wie lang eine Periode ist, bestimmen Sie — Monate oder Jahre —, solange der Abzinsungssatz auf dieselbe Periode bezogen ist.

Abzinsungssatz

Auf dieser Seite Ihre Mindestverzinsung: was das Geld kostet, oder die Rendite, die anderswo bei gleichem Risiko zu holen wäre. Auf den internen Zinsfuß wirkt er überhaupt nicht. Er entscheidet, ob das Projekt die Hürde nimmt, und macht damit aus einem Zinssatz erst eine Antwort.

Kapitalwert

Was das Projekt heute wert ist, wenn jeder künftige Eingang mit Ihrem Satz abgezinst und die Anfangsinvestition abgezogen wird. Positiv heißt: über der Hürde. Der interne Zinsfuß ist der Satz, bei dem diese Größe durch null geht.

Interner Zinsfuß

Der Abzinsungssatz, bei dem der Kapitalwert null wird, in Prozent. Er hängt allein an den Zahlungsströmen — dasselbe Projekt hat denselben internen Zinsfuß, welchen Abzinsungssatz Sie auch ansetzen —, und genau deshalb können die beiden Ergebnisse einander nie widersprechen, obwohl sie wie zwei verschiedene Empfehlungen aussehen.

Sie brauchen ihn, wenn ein Projekt gegen die Kapitalkosten gestellt werden soll und nicht gegen ein zweites Projekt — das ist die Frage, mit der eine Investitionsrechnung üblicherweise beginnt. Ein Zinssatz lässt sich gut besprechen, und er setzt nicht voraus, dass die Investitionssumme bekannt ist, taugt also als erste Siebung einer langen Kandidatenliste. Drei Dinge kann er nicht. Er sagt nichts über die Größe: Ein Projekt, das 200 Prozent auf 1.000 erwirtschaftet, und eines, das 25 Prozent auf eine Million erwirtschaftet, können denselben internen Zinsfuß haben, und welches vorzuziehen ist, sagt nur der Kapitalwert. Er unterstellt, dass jeder Rückfluss bis zum Ende zum selben Satz wiederangelegt wird — bei einer sehr hohen Verzinsung ist das eine kühne Annahme: Die Arithmetik stimmt, die Geschichte dazu ist optimistisch. Und er verlangt, dass die Zahlungsströme ihr Vorzeichen genau einmal wechseln: erst Auszahlung, dann Einzahlungen. Enthält eine spätere Periode eine Auszahlung, kann die Gleichung mehrere Lösungen haben; diese Seite lehnt eine solche Eingabe ab, statt stillschweigend eine der Wurzeln zurückzugeben.

1. 100.000 investiert, 205.000 über sechs Jahre zurück, das Geld kostet 8 Prozent

   1. Die Rückflüsse summieren sich auf 205.000 gegenüber einer Auszahlung von 100.000 — dieser Vergleich lässt aber außer Acht, wann das Geld ankommt
   2. Jede Periode mit 8 Prozent abgezinst ergibt einen Barwert von 153.968,13 gegenüber den 100.000 anfänglicher Auszahlung, der Kapitalwert ist also 53.968,13
   3. Der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null wird, ist 22,49 Prozent
   4. 22,49 liegt über der Hürde von 8 Prozent, die Einordnung lautet damit »Annehmen«

   Die beiden Antworten gehören zusammen gelesen. Der interne Zinsfuß sagt, dass das Projekt Kapitalkosten bis 22,49 Prozent tragen kann; der Kapitalwert sagt, dass es bei 8 Prozent 53.968,13 mehr wert ist, als es kostet — dasselbe Urteil, einmal als Zinssatz und einmal als Geldbetrag. Die dritte Zahl, 205.000, steht für alle, die sich die Abzinsung sparen wollen: Sie liegt 105.000 über der Auszahlung, und bei einer Hürde von null wäre der Kapitalwert genau diese Summe.

2. Ein einziger Rückfluss: 10.000 hinein, 12.000 eine Periode später zurück

   1. Bei einer Periode gibt es eine geschlossene Form: 12.000 ÷ 10.000 − 1 = 20 Prozent
   2. Der mit 20 Prozent abgezinste Rückfluss von 12.000 ergibt 10.000 und damit genau die Auszahlung
   3. Kapitalwert: 10.000 − 10.000 = 0
   4. Die Einordnung lautet »Break-even«

   Das ist der Fall, an dem die Seite ihren eigenen Löser prüft, weil die Antwort von Hand nachzurechnen ist. Es ist zugleich die Stelle, an der eine Einordnung seltsam aussehen kann: Der Kapitalwert steht als 0,00 da, und die Einordnung lautet »Break-even« statt »Ablehnen«. Alles, was auf zwei Nachkommastellen auf null rundet, wird als Break-even gemeldet, weil ein »Ablehnen« neben einem Kapitalwert von 0,00 wie ein Rechenfehler aussieht — und verglichen wird die Einordnung mit dem, was das Panel anzeigt.

3. Dasselbe Projekt gegen eine Hürde von 25 Prozent

   1. Der interne Zinsfuß bleibt bei 20 Prozent — er hängt nicht von der Hürde ab
   2. Mit 25 Prozent abgezinst ergibt 12.000 den Wert 9.600
   3. Kapitalwert: 9.600 − 10.000 = −400
   4. 20 Prozent liegen unter der Hürde von 25 Prozent, die Einordnung kippt auf »Ablehnen«

   Zwei Durchläufe desselben Projekts mit identischem ersten Ergebnis und entgegengesetzter Einordnung — die deutlichste Art zu sehen, wofür die beiden Zahlen da sind. Der interne Zinsfuß beschreibt das Projekt, die Mindestverzinsung beschreibt Sie. Ändern Sie die eine, kann die Einordnung kippen, ohne dass sich am Projekt etwas geändert hätte.

4. Ein Projekt, das Wert vernichtet: 10.000 hinein, 5.000 zurück

   1. Wieder eine Periode, die geschlossene Form greift also: 5.000 ÷ 10.000 − 1 = −50 Prozent
   2. Selbst ganz ohne Abzinsung fehlen dem Rückfluss 5.000 bis zur Auszahlung
   3. Kapitalwert bei einer Hürde von null: 5.000 − 10.000 = −5.000
   4. Die Einordnung lautet »Ablehnen«, und der negative Zinssatz ist die ehrliche Beschreibung

   Ein negativer interner Zinsfuß ist ein echtes Ergebnis und kein Fehler: Er sagt, dass das Projekt sich nur bei einem negativen Kapitalkostensatz tragen würde — also gar nicht. Dieser Fall bestimmt die untere Grenze des Lösers. Eine Fassung dieser Seite, die den Suchbereich eines Rentenrechners übernommen hätte, null bis hundert Prozent, würde hier einen Fehler melden statt minus 50 zurückzugeben.

5. Zehntausend hinein, eine Einheit nach fünf Jahren zurück

   1. Nullen in den ersten vier Perioden sind zulässig: Es kommt nichts an, aber es wird auch nichts ausgegeben
   2. Die Gleichung wird zu 1 ÷ (1+r)^5 = 10.000 ÷ 10.000, also (1+r)^5 = 0,0001
   3. Aufgelöst ergibt das r = −84,15 Prozent und nicht −100 Prozent, weil der Rückfluss klein, aber nicht null ist
   4. Kapitalwert bei einer Hürde von null: 1 − 10.000 = −9.999

   Zulässige Eingaben können die Antwort weit unter null drücken, und die Seite muss dorthin reichen, sonst meldet sie einen Fehler bei einer Zahlenreihe, die einwandfrei definiert ist. Der Unterschied, der sich zu merken lohnt: Dieses Projekt hat einen internen Zinsfuß von minus 84 Prozent, während ein Projekt, das gar nichts zurückzahlt, überhaupt keinen hat — es gibt keinen Satz, der den Wert von nichts einer Auszahlung gleichsetzt.

Der interne Zinsfuß ist ein Zinssatz, und Zinssätze verschweigen die Größe. Zwei Projekte können denselben Satz haben und sich um den Faktor tausend im eingesetzten Betrag unterscheiden; die Zahl ist deshalb eine Siebung und keine Entscheidung: Sobald eine Auswahl die Hürde nimmt, sortiert der Kapitalwert. Er unterstellt außerdem, dass die Rückflüsse bis zum Projektende zum internen Zinsfuß selbst wiederangelegt werden — bei einem bescheidenen Satz ist das eine faire Beschreibung, bei 200 Prozent ein Wunschdenken: Die Arithmetik hält, die Lesart »dieses Geld verdient dieselbe Verzinsung weiter« nicht. Die Zahlungsströme müssen ihr Vorzeichen genau einmal wechseln, erst eine Auszahlung, dann Einzahlungen; ein Projekt mit einer Abbruchkostenrechnung im letzten Jahr kann zwei mathematisch gültige Sätze haben, und diese Seite lehnt eine solche Eingabe ab, statt einen davon auszuwählen. Der Satz ist weder um Risiko noch um Steuern oder Inflation bereinigt. Und er stammt samt seiner Konventionen aus der angelsächsischen Praxis: IRR und die Kapitalwertmethode in dieser Form gehören zum englischsprachigen Investitionscontrolling und nicht zu einer deutschen Rechnungslegungsvorschrift; die deutsche Betriebswirtschaftslehre kennt denselben Rechenweg, verwendet aber eigene Begriffe und eine eigene Nomenklatur für die Mindestverzinsung. Diese Mindestverzinsung tragen Sie selbst ein, und mit ihr stehen alle diese Annahmen in einer einzigen Zahl.

Was ist ein interner Zinsfuß?

Es ist der Abzinsungssatz, bei dem die künftigen Zahlungsströme eines Projekts genau das wert sind, was das Projekt kostet — der Satz, bei dem der Kapitalwert null ist. Darüber schafft das Projekt Wert, darunter vernichtet es Wert. Mit den Standardzahlen, also 100.000 investiert und 205.000 über sechs Jahre zurück, liegt der interne Zinsfuß bei 22,49 Prozent; das Projekt trägt also Kapitalkosten bis 22,49 Prozent, bevor es sich nicht mehr lohnt.

Worin unterscheidet sich der interne Zinsfuß vom Kapitalwert?

Es ist dieselbe Gleichung mit einer anderen Unbekannten. Der Kapitalwert nimmt den Abzinsungssatz als gegeben und sagt, was das Projekt wert ist; der interne Zinsfuß nimmt den Wert als gegeben, nämlich null, und sagt, welcher Abzinsungssatz dazu führt. Weil beides eine Gleichung ist, können sie sich nie widersprechen: Ein Satz über Ihrer Hürde und ein positiver Kapitalwert sind dieselbe Aussage. Der Unterschied liegt darin, was Sie vorher wissen müssen — für den Kapitalwert brauchen Sie Ihre Kapitalkosten, ein Zinssatz lässt sich auch ohne sie nennen, und deshalb werden Zinssätze über Projekte hinweg verglichen und Kapitalwerte zum Sortieren benutzt.

Welche Mindestverzinsung soll ich ansetzen?

Diejenige, die das Geld für dieses Vorhaben tatsächlich kostet: ein Sollzins, wenn fremdfinanziert wird, die Rendite, die dasselbe Geld bei ähnlichem Risiko sonst brächte, wenn nicht, oder ein veröffentlichter Satz, wo eine Regelung ihn vorschreibt. Die Seite wählt ihn nicht für Sie aus, und er ist die Eingabe, die am ehesten willkürlich ausfällt. Seine Rolle sieht man, wenn man dasselbe Projekt zweimal rechnet: Bei einer Hürde von 20 Prozent geht ein Projekt mit 20 Prozent gerade auf, bei 25 Prozent wird dasselbe Projekt abgelehnt. Bewegt hat sich nur die Latte.

Warum wird der interne Zinsfuß nicht mit einer Formel gelöst?

Weil es keine Formel gibt. Ein einzelner Rückfluss hat eine geschlossene Form — 12.000 zurück auf 10.000 sind 20 Prozent —, ab zwei Perioden aber ist die Gleichung ein Polynom dieses Grades, und keine Umstellung isoliert den Zinssatz. Der Rechner verengt stattdessen ein Intervall: Er sucht einen Satz, bei dem der Kapitalwert positiv ist, und einen, bei dem er negativ ist, und halbiert dann den Abstand zwischen beiden so lange, bis der Wert auf zwei Nachkommastellen genau null ist. Deshalb ist auch der Suchbereich so sorgfältig gewählt, denn ein Projekt mit minus 84 Prozent muss darin liegen.

Warum dürfen die Zahlungsströme keine negativen Werte enthalten?

Weil die Antwort dann nicht mehr eindeutig wäre. Bei einer Auszahlung und anschließenden Einzahlungen fällt der Kapitalwert mit steigendem Zinssatz stetig, er kreuzt die Null also genau einmal, und die Suche findet diese Stelle sicher. Setzt man in einer späteren Periode eine Auszahlung hinein — etwa eine Rückbaukostenrechnung im fünften Jahr —, kann die Kurve zurückbiegen und die Null zweimal kreuzen, was zwei mathematisch gültige interne Zinsfüße ergibt. Die Seite lehnt negative Zahlungsströme ab und sagt das auch, statt eine der beiden Wurzeln zurückzugeben, ohne auf dem Bildschirm erkennen zu lassen, dass es die andere gibt.

Kann der interne Zinsfuß negativ sein?

Ja, und das bedeutet, dass das Projekt das Geld nicht zurückbringt, das es verbraucht. Wer 10.000 investiert und 5.000 zurückbekommt, erhält minus 50 Prozent; das Projekt ginge also nur auf, wenn Geld weniger als nichts kostete. Die Seite sucht aus diesem Grund bewusst auch unterhalb von null: Eine Umsetzung, die einen Bereich ab null übernommen hätte, wie es für einen Rentenrechner vernünftig wäre, würde bei dieser ganz gewöhnlichen Zahlenreihe einen Fehler melden.

Wann ist der interne Zinsfuß das falsche Werkzeug?

Wenn sich die Projekte in der Größe oder in der Laufzeit unterscheiden und wenn die Antwort davon abhängt, was zwischendurch mit dem Geld geschieht. Ein Zinssatz sieht die Größenordnung nicht, ein kleines Projekt mit spektakulärem Satz kann also ein großes verdrängen, das in Geld gerechnet weit mehr Wert schafft — deshalb wird der Zinssatz in der Investitionsrechnung mit dem Kapitalwert zusammen verwendet und nicht allein. Er unterstellt außerdem stillschweigend, dass die Rückflüsse bis zum Ende zum selben Satz wiederangelegt werden, was bei 8 Prozent eine vernünftige Beschreibung ist und bei 200 Prozent eine hoffnungsvolle. Wo eines von beidem zählt, sortieren Sie nach Kapitalwert und benutzen den Zinssatz als Sieb.

• Circular A-94, Guidelines and Discount Rates for Benefit-Cost Analysis of Federal Programs (revised November 9, 2023) — section 5a on the decision rule this page's verdict follows: projects with positive discounted net benefits generally increase welfare the most and are preferred, while those with negative discounted net benefits should generally be avoided — Office of Management and Budget, Executive Office of the President (United States)
• Compound Interest — the glossary definition of the growth that discounting runs backwards, which is the whole of the arithmetic behind a present value — Investor.gov, U.S. Securities and Exchange Commission (United States)