Hookesches-Gesetz-Rechner

Hookesches Gesetz: Federkraft = Federkonstante × Auslenkung

k

Die Federkonstante oder Steifigkeit in N/m. Sie ist die Kraft, die je Meter Dehnung nötig ist — ein Kugelschreiber liegt bei etwa 10 N/m, eine Federwaage bei 100 N/m, eine Fahrwerksfeder bei 30 N/mm, eine industrielle Tellerfeder bei 100 kN/m. Das Feld nimmt auch kN/m, N/mm und lbf/in, und die Tabelle unten schreibt eine einzige Steifigkeit in drei davon zugleich. Sie muss positiv sein: Eine Steifigkeit von null ist keine Feder

x

Die Auslenkung in Zentimetern — wie weit die Feder aus ihrer Ruhelänge bewegt wurde. Das Feld nimmt auch Meter, Millimeter und Zoll. Es ist ein Betrag und keine vorzeichenbehaftete Größe, Stauchung und Dehnung werden also nicht unterschieden: Eine um 10 cm gezogene und eine um 10 cm gedrückte Feder ziehen mit denselben 10 N zurück, nur in entgegengesetzte Richtungen. Null ist ein zulässiger Wert und bedeutet, dass die Feder ruht

F

Die Federkraft in Newton, Kilonewton, Pfund-force und Kilogramm-force. Es ist die Kraft, die die Feder ausübt, und zugleich die Kraft, die man aufbringen muss, um sie dort zu halten. Bleibt dieses Feld leer, löst die Seite die beiden anderen darauf auf; füllt man es zusammen mit einem der beiden anderen, löst sie das dritte

Diese Seite ist die richtige, wenn der Messwert gefragt ist und nicht die Energie: wie kräftig eine Federwaage bei einer gegebenen Dehnung zieht, ob eine bestimmte Feder steif genug ist, um eine Tür offen zu halten, welche Kraft eine Bogensehne bei vollem Auszug auf die Wurfarme bringt, wie weit sich eine Fahrwerksfeder unter einer bekannten Radlast einfedert, oder welche Steifigkeit eine Feder braucht, wenn sie bei einem vorgegebenen Federweg eine vorgegebene Kraft liefern soll. Der letzte Fall ist die Richtung, für die diese Seite gebaut ist und die die meisten Rechner nicht anbieten: Zwei der drei Felder dürfen leer bleiben, und welche zwei man füllt, entscheidet, was aufgelöst wird. Die beiden Gewohnheiten, die sich lohnen, betreffen Einheiten und Bereich. Bei den Einheiten: Das Feld rechnet in Zentimetern vor, die Formel in Metern, die Seite rechnet also intern um — die Steifigkeit kann aber als N/mm oder lbf/in aus einem Datenblatt kommen, und diese unterscheiden sich von N/m um den Faktor tausend bzw. 175, wofür die Tabelle unten da ist. Beim Bereich: Das Hookesche Gesetz gilt nur bis zur Elastizitätsgrenze der Feder, und jede reale Feder verlässt die Gerade irgendwo; wer darüber hinaus zieht, bekommt weniger Kraft als diese Seite vorhersagt, und die Feder kommt nicht auf ihre ursprüngliche Länge zurück. Wie viel Energie in derselben Feder beim Dehnen steckt, rechnet die Spannenergie-Seite aus — dieselben zwei Eingaben und dieselbe Feder.

1. Die voreingestellte Feder, um 10 cm gezogen

   1. Steifigkeit: 100 N/m. Auslenkung: 10 cm, also 0,1 m — die Formel rechnet in Metern
   2. Federkraft: 100 × 0,1 = 10 N
   3. Die beiden anderen Zeilen geben einfach die Eingaben zurück, weil nichts aufgelöst werden musste
   4. Zum Vergleich eine Masse von 1 kg an derselben Feder: Sie würde mit 9,81 N ziehen und die Feder um 9,81 cm dehnen

   Zehn Newton sind die Gewichtskraft eines Liters Wasser, und dieser Vergleich ist der schnellste Weg zu einem Gefühl dafür, was 100 N/m bedeuten: Hängt man eine Literflasche an diese Feder, dehnt sie sich je 100 Gramm um etwa einen Zentimeter. Das Zweite, was diese Zeile zeigt, ist die Einheitenfalle, die sie durchläuft — aus 10 cm musste 0,1 m werden, bevor multipliziert wird, und andersherum kommen 1.000 N heraus, hundertmal zu viel. Das ist der häufigste Rechenfehler auf dieser Seite und der Grund, warum das Feld in Zentimetern beschriftet ist und die Formel nicht.

2. Die Kraft ist bekannt, die Steifigkeit nicht: 25 N bei 10 cm

   1. Das Steifigkeitsfeld bleibt leer, die beiden anderen werden gefüllt: Auslenkung 10 cm, Kraft 25 N
   2. F = kx nach k umgestellt: k = F ÷ x
   3. Erst umrechnen: 10 cm = 0,1 m
   4. Steifigkeit: 25 ÷ 0,1 = 250 N/m

   Das ist die Richtung, für die die Seite existiert. Kraft und Strecke lassen sich beide leicht messen, mit einer Küchenwaage und einem Lineal, und die Steifigkeit ist die Zahl, die man nicht direkt messen kann — eine Feder zu ziehen und die Kraft abzulesen ist also der Weg, auf dem die Konstante in der Praxis tatsächlich gewonnen wird. Dieselbe Rechnung in angloamerikanischen Einheiten ist die Herkunft der lbf/in-Federraten in jedem Automobilkatalog. Bemerkenswert ist, dass zwei Felder gefüllt blieben und die Seite trotzdem alle drei Größen geliefert hat, weil F = kx drei Variable hat und je zwei davon die dritte festlegen.

3. Bekannte Feder, bekannte Kraft: Wie weit bewegt sie sich?

   1. Steifigkeit 1.000 N/m — eine Fahrwerksfeder liegt bei etwa dem Dreißigfachen, eine industrielle Tellerfeder beim Hundertfachen
   2. F = kx nach x umgestellt: x = F ÷ k
   3. Auslenkung: 30 ÷ 1.000 = 0,03 m
   4. Für die Anzeige zurückgerechnet: 3 cm

   Das Ergebnis fällt in Metern an und die Seite zeigt es in Zentimetern — genau die Umrechnung, die das erste Beispiel in die andere Richtung gemacht hat. Sehenswert ist, wie klein der Weg ist: 30 N, also die Gewichtskraft von drei Litern Wasser, bewegen diese Feder nur drei Zentimeter, während dieselben 30 N die 100 N/m weiche Feder der ersten beiden Beispiele um dreißig Zentimeter bewegen würden. Steifigkeit ist genau dieses Verhältnis, und deshalb fühlt sich eine steife Feder unter kleiner Last unnachgiebig an und eine weiche schlägt unter großer durch. Besser ist keine von beiden; die Wahl bestimmt der Federweg, den der Mechanismus hergibt.

Das Hookesche Gesetz ist eine lineare Näherung, und jede reale Feder hört irgendwann auf, sie zu erfüllen. Jenseits der Elastizitätsgrenze steigt die Kraft langsamer als kx und die Feder kehrt nicht auf ihre ursprüngliche Länge zurück; eine aus der Datenblattsteifigkeit gerechnete Antwort gilt also nur innerhalb des zugelassenen Federwegs — bei einer Tellerfeder können das wenige Millimeter sein, bei einer Bogensehne ein großer Teil ihrer Länge. Schraubenfedern sind zudem innerhalb ihres Bereichs nicht vollkommen linear: Die Windungen legen sich beim Stauchen aneinander, die wirksame Steifigkeit steigt also zur vollen Stauchung hin, und eine weit genug gedehnte Feder streckt sich vollständig gerade. Die Seite behandelt die Feder als masse- und reibungsfrei, was für eine selbst schwere Feder oder eine, die auf einem Führungsstift gleiten muss, nicht stimmt. Sie unterscheidet weder Stauchung von Dehnung noch die eine Richtung von der Gegenrichtung, weil das Modell das tatsächlich nicht tut; hängt die Anwendung an diesem Unterschied, ist diese Gleichung nicht der Ort dafür. Auch in der Bedienung steckt eine praktische Falle. Weil die ersten beiden Felder vorbelegt sind, muss die Steifigkeit zuerst gelöst werden, indem man eines davon leert — wer eine Kraft über die vorhandenen Vorgaben tippt, bekommt von der Seite gemeldet, dass die Zahlen einander widersprechen, statt dass die neue stillschweigend übernommen wird; das ist Absicht, überrascht aber. Und in der Antwort steckt keine Energie: Die Arbeit, die das Dehnen bis zu diesem Punkt gekostet hat, ist ½kx², und sie ist größer, als F × x vermuten ließe, weil die Kraft nicht den ganzen Weg über auf ihrem Endwert war.

Wie lautet die Formel für das Hookesche Gesetz?

F = kx: Die Federkraft ist die Federkonstante mal der Auslenkung. Eine Feder mit 100 N/m zieht bei 10 cm Auslenkung (0,1 m) mit 100 × 0,1 = 10 N zurück. Der Zusammenhang ist linear, die doppelte Auslenkung bedeutet also die doppelte Kraft, und er gilt in beide Richtungen — beim Ziehen wie beim Drücken —, weshalb sich eine Feder als Waage verwenden lässt. Das berühmte Quadrat in Federrechnungen gehört zur gespeicherten Energie, ½kx², und nicht zur Kraft.

Wie finde ich eine Federkonstante, wenn ich sie nicht direkt messen kann?

Man hängt ein bekanntes Gewicht an die Feder, misst die Dehnung und teilt. Eine Masse von 2 kg ergibt 19,62 N Kraft; dehnt sich die Feder um 4 cm, ist k = 19,62 ÷ 0,04 = 490,5 N/m. Zwei Vorsichtsmaßnahmen: Messen Sie zwischen Ruhelänge und belasteter Länge und nicht von der Aufhängung aus, und lesen Sie den Wert ab, wenn die Feder zur Ruhe gekommen ist und nicht während sie noch schwingt. Ist die Feder zu steif, um sich mit einem vorhandenen Gewicht messbar zu dehnen, hängen Sie mehr Gewicht an oder benutzen Sie einen Hebel — die Rechnung bleibt dieselbe, und die Unsicherheit einer Messung von 1 mm bei 4 cm Dehnung ist das, was die Genauigkeit begrenzt.

Welche zwei Felder sollte ich ausfüllen?

Beliebige zwei der drei, und die Seite löst das dritte. Steifigkeit und Auslenkung ergeben die Kraft, das ist die gewöhnliche Richtung. Auslenkung und Kraft ergeben die Steifigkeit, so wird eine Federrate gemessen. Steifigkeit und Kraft ergeben den Federweg, und das ist es, was die Auslegung eines Mechanismus meistens braucht. Füllen Sie alle drei nur aus, wenn sie gegeneinander geprüft werden sollen: Widersprechen sie sich, sagt die Seite das, statt sich für einen Wert zu entscheiden — denn eine Kraft im Ergebnisbereich anzuzeigen, die einer Kraft in einem Eingabefeld auf demselben Bildschirm widerspricht, ist schlechter als eine Fehlermeldung.

Worin unterscheiden sich N/m, N/mm und lbf/in?

Es sind drei Schreibweisen derselben Federsteifigkeit, und die Faktoren dazwischen sind groß. 1 N/mm entspricht 1.000 N/m, weil Kraft und Länge beide um den Faktor tausend skalieren. 1 lbf/in entspricht etwa 175,13 N/m, und das ist keine runde Zahl, weil weder das Pfund-force noch der Zoll metrisch definiert sind. Praktisch heißt das: Eine Feder, die mit 30 N/mm angegeben ist, hat 30.000 N/m — also die dreißigfache Steifigkeit der 1.000 N/m aus dem dritten Beispiel und nicht die dreißigfache Weichheit —, und eine aus einem angloamerikanischen Katalog übernommene Rate ist ohne Umrechnung um den Faktor 175 falsch.

Spielt es eine Rolle, ob die Feder gestaucht oder gedehnt wird?

Für diese Gleichung nicht. F = kx verwendet den Betrag der Auslenkung, eine um 10 cm gedrückte und eine um 10 cm gezogene Feder ziehen also mit demselben Betrag zurück — die Kraft zeigt nur in die andere Richtung. Reale Federn sind nicht vollkommen symmetrisch: Eine Schraubenfeder kann so gewickelt sein, dass sie sich beim Stauchen etwas anders verhält, und eine weit genug gestauchte Feder blockiert mit aufeinanderliegenden Windungen; dort wird sie praktisch starr und diese Gleichung gilt nicht mehr. Innerhalb des zugelassenen Federwegs ist die Behandlung beider Richtungen als gleich aber das, was das Modell tut, und für die meiste Arbeit genau genug.

Warum ist die Energie ½kx² und nicht kx²?

Weil die Kraft nicht während des ganzen Dehnens auf ihrem Endwert ist — sie beginnt bei null und wächst gleichmäßig, die mittlere Kraft über den Weg ist also die halbe Endkraft, und Arbeit ist mittlere Kraft mal Weg. Ausmultipliziert ergibt das ½kx², aus demselben Grund, aus dem die Fläche eines Dreiecks die halbe Grundseite mal Höhe ist. Diese Seite zeigt diese Größe bewusst nicht: Die in einer Feder gespeicherte Energie ist eine eigene Rechnung mit eigenen Beispielen, und ein quadratischer Term neben einem linearen auf demselben Bildschirm verleitet den Leser zu der Annahme, es seien zwei Ergebnisse aus einer Formel.

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — the linear region, the spring constant, and where real springs leave the straight line — OpenStax
• Hooke's law — the force-displacement relation, the elastic limit, and why the constant is a property of the spring rather than of the material — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the newton, the pound-force and kilogram-force factors, and the unit prefixes used by the stiffness field and the reference table — National Institute of Standards and Technology