Gravitationskraft-Rechner

Gravitationskraft = G × m₁ × m₂ / r²

G

Die Gravitationskonstante, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Sie ist die am schlechtesten gemessene Konstante der Physik — der empfohlene Wert trägt eine relative Unsicherheit von 2,2 × 10⁻⁵, also vier Zehnerpotenzen oder mehr schlechter als die nächstunsicherste Konstante —, deshalb sind die letzten Stellen jeder Antwort auf dieser Seite Zierde, und keine Eingabe kann das ändern

m₁

Die Masse des ersten Körpers in Kilogramm. Das Feld nimmt auch Gramm, Tonnen und Pfund, und es muss eine Masse sein und keine Gewichtskraft: Zwei Personen von 70 kg sind hier schlicht zwei Mengen Materie. Sie muss positiv sein, denn etwas ohne Masse übt keine Gravitationskraft aus

m₂

Die Masse des zweiten Körpers, in denselben Einheiten und unter derselben Regel. Die beiden Massen gehen multipliziert in die Formel ein, sind also austauschbar — sie zu vertauschen ändert nichts, und deshalb braucht die Seite keine Möglichkeit zu sagen, welche welche ist

r

Der Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten in Metern, nicht die Lücke zwischen ihren Oberflächen. Ein Satellit 400 km über dem Boden ist 6.771 km vom Erdmittelpunkt entfernt, und die zweite Zahl will die Gleichung. Das Feld nimmt auch Kilometer, Zentimeter, Fuß und Meilen, und der Wert muss positiv sein

F

Die Gravitationskraft, die die beiden Körper aufeinander ausüben, in Newton und in Pfund-force, in wissenschaftlicher Notation. Es ist eine Kraft und nicht zwei: Die Erde zieht an Ihnen mit 687 N, und Sie ziehen an der Erde mit 687 N in die Gegenrichtung. Die zweite Ergebniszeile ist dieselbe Zahl umgerechnet und kein zweites Ergebnis

Diese Seite ist die richtige, wenn zwei Massen und ihr Abstand bekannt sind und die Anziehungskraft gesucht wird: die Kraft, die den Mond auf seiner Bahn hält, die Anziehung zwischen einem Satelliten und dem Planeten, den er umkreist, die Frage, ob die Gravitationskraft zwischen zwei Labormassen überhaupt messbar ist (sie ist es nicht — sie liegt bei 10⁻⁷ N, und deshalb dauerte das Experiment bis 1798), oder die Frage, wie groß die Schwerebeschleunigung eines Körpers wäre, wenn man seine eigene Masse und seinen eigenen Radius in dieselbe Gleichung einsetzt. Genau das ist die Tabelle unten: acht Himmelskörper mit ihrer so ausgerechneten Oberflächenschwere, also der Zahl, die bestimmt, wie viel man dort wiegen würde. Zwei Dinge sind zu prüfen, bevor man einer Antwort traut. Erstens ist r ein Abstand zwischen Mittelpunkten: Wer die Flughöhe dort einsetzt, wo der Radius hingehört, überschätzt die Kraft grob, bei 400 km um den Faktor 290, während das Weglassen der Höhe und der Ansatz des reinen Körperradius um etwas über zehn Prozent danebenliegt — ein Abstand, der mit der Höhe wächst. Zweitens behandelt die Formel jeden Körper als Punkt, was für Kugeln exakt und für alles kleine im Vergleich zu r eine gute Näherung ist — zwei Körper, die einander fast berühren, liegen aber vollständig außerhalb.

1. Zwei Personen von je 70 kg, einen Meter voneinander entfernt

   1. Massen: 70 kg und 70 kg, der Abstand zwischen ihren Schwerpunkten beträgt 1 m
   2. Produkt der Massen: 70 × 70 = 4.900 kg²
   3. Quadrat des Abstands: 1² = 1 m²
   4. Kraft: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4.900 ÷ 1 = 3,2704 × 10⁻⁷ N
   5. In Pfund-force: 3,2704 × 10⁻⁷ ÷ 4,4482 = 7,352 × 10⁻⁸ lbf

   Ein Drittel eines Mikronewtons, und das ist die Antwort, nach der man das ganze Thema versteht: Zwei Menschen, die nebeneinander stehen, ziehen einander mit ungefähr der Kraft, die ein paar zehn Mikrogramm Materie wiegen würden, und nichts im Alltag verrät das. Auffällig ist, wie die Rechnung den Exponenten nie verlässt — 4.900 hat nur vier Stellen, und der Faktor, der die Antwort klein macht, ist die 10⁻¹¹. In diesem Sinn ist die Gravitation schwach: nicht dass die Konstante klein wäre im Vergleich zu anderen Zahlen, sondern dass sie klein ist im Vergleich zu allem, was ein Mensch an Masse aufbringen kann.

2. Erde und Mond

   1. Massen: 5,972 × 10²⁴ kg für die Erde, 7,342 × 10²² kg für den Mond
   2. Abstand der Schwerpunkte: 384.400 km = 3,844 × 10⁸ m
   3. Produkt der Massen: 5,972 × 10²⁴ × 7,342 × 10²² = 4,3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. Quadrat des Abstands: (3,844 × 10⁸)² = 1,4776 × 10¹⁷ m²
   5. Kraft: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,3846 × 10⁴⁷ ÷ 1,4776 × 10¹⁷ = 1,980 × 10²⁰ N
   6. In Pfund-force: 1,980 × 10²⁰ ÷ 4,4482 = 4,452 × 10¹⁹ lbf

   1,98 × 10²⁰ N sind rund 200 Exanewton, und das ist die Zahl, nach der man die Gravitation für stark hält — es ist die Kraft, die einen Körper in 384.400 km Entfernung jeden Monat eine Kurve fahren lässt. Vergleichen Sie sie mit dem vorigen Beispiel, und die ganze Lehre steckt in den Exponenten: Die Massen wuchsen um den Faktor etwa 10⁴⁴, der Abstand um etwa 3,8 × 10⁸ (also 1,5 × 10¹⁷ im Quadrat), und die Kraft um 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷. Am Gesetz hat sich zwischen den beiden Rechnungen nichts geändert, nur daran, wie viel Materie auf beiden Seiten davon stand.

3. Die Erde und eine Person von 70 kg, die auf ihr steht

   1. Der Abstand, den die Formel will, ist der mittlere Erdradius: 6.371 km = 6,371 × 10⁶ m und nicht die Entfernung bis zum Boden unter den Füßen
   2. Produkt der Massen: 5,972 × 10²⁴ × 70 = 4,1804 × 10²⁶ kg²
   3. Quadrat des Abstands: (6,371 × 10⁶)² = 4,05896 × 10¹³ m²
   4. Kraft: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,1804 × 10²⁶ ÷ 4,05896 × 10¹³ = 687,398 N
   5. In Pfund-force: 687,398 ÷ 4,4482 = 154,533 lbf

   Das sind dieselben 687 N, die eine Badezimmerwaage als 70 kg anzeigt, und es lohnt die Klarstellung, dass die Waage eine Kraft misst und durch 9,8 teilt, um eine Masse anzuzeigen. Es ist außerdem die einzige Zeile dieser Seite, die in gewöhnlicher Schreibweise landet: Die Antwort liegt zwischen 10⁻³ und 10⁶, die Seite lässt sie also als 687,398 stehen, statt sie in 6,874 × 10² umzuschreiben. Und der Wert ist mit Absicht etwas zu niedrig — er verwendet den mittleren Radius, eine Person am Äquator ist also 21 km weiter vom Mittelpunkt entfernt als eine am Pol, und diese eine Zahl ist der Mittelwert aus beiden.

Die größte Einschränkung steckt nicht im Modell, sondern in der Konstante. G ist auf etwa vier geltende Ziffern bekannt — der von CODATA empfohlene Wert ist 6,67430 mit einer Unsicherheit von 15 in den letzten beiden Stellen, einer relativen Unsicherheit von 2,2 × 10⁻⁵ —, und sie ist die am schlechtesten gemessene Konstante der Physik, um vier Zehnerpotenzen oder mehr schlechter als die nächstunsicherste. Jede Antwort auf dieser Seite hat deshalb eine vierte Ziffer, die Verzierung ist: 1,980 × 10²⁰ N sind in Wahrheit 1,98 × 10²⁰ N, und genauere Massen einzutippen verbessert daran nichts. Darüber hinaus behandelt die Gleichung beide Körper als Punkte, was nur für Kugeln exakt ist; sie ignoriert jede andere Kraft und sagt deshalb nichts darüber, ob die beiden Körper tatsächlich auf einer Bahn sind oder aufeinander zufallen; sie ignoriert die allgemeine Relativitätstheorie, was für das Perihel des Merkur und für alles in der Nähe eines schwarzen Lochs zählt; und sie setzt konstante Massen voraus, was bei einer Rakete oder einem verdampfenden Kometen nicht gilt. Am kleinen Ende wird das Modell außerdem außerhalb seines gedachten Bereichs benutzt: Zwei Körper einen Millimeter voneinander entfernt lassen sich als Punkte nicht mehr gut beschreiben, und die Anziehung zwischen zwei Atomen ist Chemie und nicht diese Gleichung — deshalb endet das Abstandsfeld bei 1 mm. Schließlich verwenden die Schwerebeschleunigungen der Tabelle mittlere Radien und unterstellen einen perfekt kugelförmigen, nicht rotierenden Körper; die Erde kommt dort auf 9,82 m/s² statt auf den festgelegten Normwert 9,80665 m/s².

Wie lautet die Formel für die Gravitationskraft?

F = G × m₁ × m₂ / r², mit der Gravitationskonstante G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², den beiden Massen in Kilogramm und dem Abstand ihrer Schwerpunkte in Metern. Zwei Personen von je 70 kg in einem Meter Abstand ergeben 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4.900 ÷ 1 = 3,270 × 10⁻⁷ N. Das r² im Nenner macht daraus ein Abstandsquadratgesetz: Doppelter Abstand, und die Kraft fällt auf ein Viertel und nicht auf die Hälfte.

Warum ist die Gravitationskraft zwischen zwei Menschen so klein?

Weil G selbst klein ist: 6,6743 × 10⁻¹¹, also elf Zehnerpotenzen unter 1. Die Massen sind das Einzige, was in die andere Richtung arbeitet, und 70 kg je Person sind nicht viel Masse. Setzt man dieselbe Gleichung mit einem Planeten auf einer Seite an, kippt der Exponent: Erde und Mond ziehen einander mit 1,98 × 10²⁰ N an. Am Gesetz ist zwischen diesen beiden Fällen nichts anders — die Gravitation ist schwach, und es braucht die Materie eines Planeten, damit sie anders aussieht; deshalb ist die Kraft, die das Sonnensystem zusammenhält, dieselbe, die zwei Menschen nicht zueinander ziehen kann.

Ist r der Abstand zwischen den Oberflächen oder zwischen den Schwerpunkten?

Zwischen den Schwerpunkten, immer. Für eine Person, die auf der Erde steht, ist r der Erdradius von 6.371 km und nicht null. Für einen Satelliten 400 km höher ist r = 6.771 km und nicht 400 km — die Flughöhe ist ein Abstand zur Oberfläche, der Radius muss hinzugerechnet werden. Das ist der häufigste Weg, die Antwort falsch zu bekommen, und die Größe des Fehlers lohnt den Blick: Wer die 400 km Flughöhe dort einträgt, wo der Radius hingehört, macht die Kraft rund 290-mal zu groß, während das vollständige Weglassen der Höhe und der Ansatz von 6.371 km immer noch etwa 12 Prozent zu viel ergibt.

Was ist die Fallbeschleunigung eines Himmelskörpers, und wie wird sie hier ermittelt?

Die Fallbeschleunigung ist die Beschleunigung, die ein Körper einem Gegenstand auf seiner Oberfläche gibt, g = GM/R², und das ist dieselbe Formel für die Gravitationskraft mit der zweiten Masse gleich 1 und r gleich dem eigenen Radius des Körpers. Die Tabelle auf dieser Seite tut genau das für acht Himmelskörper: Der Mond kommt auf 1,62 m/s², die Erde auf 9,82 m/s² und die Sonne auf 274 m/s². Diese Zahl entscheidet darüber, wie viel man dort wiegen würde — eine Person von 70 kg braucht auf der Erde 687 N, auf dem Mond 113 N und auf der Sonne etwa 19 kN, weshalb die Frage nach einer Landung auf der Sonne beantwortet ist, bevor die Temperatur zur Sprache kommt.

Wie genau ist diese Rechnung?

Auf etwa vier geltende Ziffern, und die Grenze ist die Konstante und nicht die Arithmetik. G ist die am schlechtesten bekannte Konstante der Physik: Der empfohlene Wert ist 6,67430 mit einer Unsicherheit von 15 in den letzten beiden Stellen, also eine relative Unsicherheit von 2,2 × 10⁻⁵, vier Zehnerpotenzen oder mehr schlechter als die nächstunsicherste Konstante. 1,980 × 10²⁰ N sind deshalb als 1,98 × 10²⁰ N zu lesen, und zehnstellige Massen bringen keine fünfte sinnvolle Ziffer. Die eingegebenen Massen und Abstände sind ohnehin meist der lockerere Teil — die Erdmasse ist auf etwa ein Fünfundhunderttausendstel bekannt, und der hier verwendete Wert ist der mittlere Radius und nicht der Radius auf Ihrer geografischen Breite.

Zieht der schwerere Körper stärker, oder ziehen beide gleich?

Beide gleich. Die beiden Massen gehen multipliziert in die Formel ein, die Kraft der Erde auf Sie und die Kraft Ihrer auf die Erde sind also dieselben 687 N in entgegengesetzte Richtungen — es gibt keinen Sinn, in dem die Erde stärker zieht. Unterschiedlich ist, was diese Kraft bewirkt: 687 N beschleunigen Sie mit 9,82 m/s² und die Erde mit 1,15 × 10⁻²² m/s², und deshalb fallen Sie und der Planet bewegt sich nicht sichtbar. Aus demselben Grund braucht diese Seite nur einen Abstand und eine Antwort statt eines Kräftepaares.

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — the inverse-square law, the value of G, and the Cavendish experiment that first measured it — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — centre-to-centre distance, the shell theorem for spherical bodies, and the range over which the point-mass idealisation holds — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — the recommended 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² and its relative standard uncertainty of 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology