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Ellipsen-Rechner

Bereich: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Bereich: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Ergebnis

47,1239 cm²

Fläche

Umfang
25,5270 cm
Exzentrizität
0,8000

Der Ellipsen-Rechner nimmt die beiden Achsen eines Ovals und gibt drei Werte zurück: die Fläche, die es bedeckt, den Weg um seinen Rand herum und die Angabe, wie weit es von einem Kreis entfernt ist. Die ersten beiden kommen in Zentimetern zurück — die Fläche als Quadrat, der Umfang als Länge —, und der dritte ist eine reine Zahl ohne Einheit, aus Gründen, die die Seite weiter unten erklärt. Eine Ellipse ist das, was aus einem Kreis wird, wenn man ihn in eine Richtung weiter dehnt als in die andere, und die beiden Achsen sind diese beiden Richtungen. Die große Achse ist die längere, sie läuft durch den Mittelpunkt von einem Ende zum anderen; die kleine Achse ist die kürzere und steht senkrecht darauf. Die Hälfte jeder Achse heißt Halbachse, und dieser Unterschied zählt hier, weil die üblichen Formeln in Halbachsen geschrieben sind, während diese Seite nach den vollen Längen fragt: Die beiden Felder nehmen das, was ein Maßband über eine Tischplatte oder über eine Laufbahn ergibt, und das Halbieren geschieht im Inneren. Die Fläche ist der einzige Wert, den man ohne Hilfe berechnen kann. Sie ist π mal der beiden Halbachsen, also derselbe Ausdruck wie bei der Kreisfläche, sobald man bemerkt, dass ein Kreis nur eine Ellipse mit zwei gleich langen Achsen ist. Sind Ihre beiden Maße gleich, stimmen diese Seite und die Kreisflächenseite exakt überein, und ebenso der Umfang hier mit dem Umfang dort — die erste Zeile der Tabelle ist dafür da, gegen beide geprüft zu werden. Der Umfang ist der Wert, der die Warnung braucht. Anders als die Fläche hat der Weg um eine Ellipse herum keine Formel, die sich mit endlich vielen gewöhnlichen Rechenschritten aufschreiben lässt; er ist ein elliptisches Integral, und der einzige praktische Weg zu einer Zahl ist eine Näherung. Verwendet wird hier Ramanujans zweite, die genau genug ist, dass der Fehler in den vier ausgegebenen Nachkommastellen bei keiner Ellipse sichtbar wird, die man messen könnte — aber es ist eine Näherung, und sie verhält sich an den beiden Extremen auf eine bestimmte Weise. Sind die beiden Achsen gleich, ist sie exakt, weil sich die beiden Enden der Formel aufheben. Schrumpft die kleine Achse gegen null, plattet die Ellipse zu einer Strecke ab, und die Näherung fällt etwas zu klein aus: Eine große Achse von 10 und eine kleine von 0 sollten einen Umfang von 20 entlang der doppelten Halbachse ergeben, und diese Seite gibt 19,992 aus. Die Exzentrizität ist der dritte Wert und der, den niemand erwartet. Sie ist eine einzelne Zahl zwischen 0 und 1, die sagt, wie weit die Ellipse von einem Kreis entfernt ist: 0 ist ein Kreis, und je näher sie an 1 kommt, desto flacher ist die Ellipse. Sie hat keine Einheit, weil sie ein Verhältnis ist — dieselbe Zahl, ob Sie in Zentimetern oder in Meilen messen —, und die Seite gibt sie aus diesem Grund ohne Einheit aus. Die drei Werte skalieren unterschiedlich, und die Tabelle macht das an einem Zeilenpaar sichtbar. Verdoppeln Sie beide Achsen, so wächst die Fläche auf das Vierfache, der Umfang nur auf das Doppelte, und die Exzentrizität bewegt sich überhaupt nicht, weil eine größere Ellipse mit denselben Verhältnissen dieselbe Form ist. Deshalb lässt sich ein Foto vergrößern, ohne dass sich ändert, was darauf zu sehen ist, und deshalb genügt die Exzentrizität allein, um die Form einer Umlaufbahn zu beschreiben, während die Achsen gebraucht werden, um ihre Größe zu beschreiben. Eines wird die Seite nicht tun: Ihre beiden Maße für Sie geradeziehen. Ist die kürzere Achse in das längere Feld eingetragen, sagt die Seite das und hört auf, statt die beiden stillschweigend zu vertauschen — eine Seite, die Ihre Zahlen umsortiert, bringt die Zahl auf dem Bildschirm mit der Bezeichnung daneben in Widerspruch, und Sie hätten keine Möglichkeit zu erkennen, dass es geschehen ist.

Übliche Ellipsen: Fläche, Umfang und Exzentrizität aus den beiden Achsen

Große Achse (cm)Kleine Achse (cm)Fläche (cm²)Umfang (cm)Exzentrizität
101078.539831.41590
10862.831928.36170.6
10647.123925.5270.8
2012188.495651.0540.8
10431.415923.01310.9165
10215.70821.010.9798
1017.85420.31960.995
100019.9921

Acht Ellipsen und fünf Spalten, mit den beiden Achsen hinein und drei Werten heraus. Die erste Zeile ist der Kreis, und sie ist die Zeile zum Abgleich mit anderen Seiten: Eine Ellipse von 10 × 10 ist ein Kreis mit Radius 5, ihre Fläche von 78,5398 ist also die, die die Kreisflächenseite ausgibt, und ihr Umfang von 31,4159 der, den die Kreisumfangsseite ausgibt. Die zweite Zeile ist ein sanfteres Oval, 10 × 8, mit einer Exzentrizität von 0,6 — die Form recht vieler wirklicher Gegenstände, von einer Laufbahn bis zu einem ovalen Tisch. Die dritte Zeile ist das Paar, mit dem die Seite startet, 10 × 6, dessen Exzentrizität genau 0,8 beträgt. Die vierte Zeile ist dieselbe Ellipse mit verdoppelten Achsen, und die drei Werte reagieren auf drei verschiedene Arten — die Fläche viermal so groß, der Umfang doppelt, die Exzentrizität unverändert —, was der ganze Grund dafür ist, dass die Exzentrizität getrennt von der Größe angegeben wird. Die fünfte und die sechste Zeile platten dieselbe große Achse von 10 weiter ab, auf 4 und dann auf 2, und sie zeigen, wie die Exzentrizität gegen ihren Grenzwert klettert, während sich der Umfang kaum bewegt. Die letzte Zeile ist der entartete Fall, in dem die Ellipse zu einer Strecke zusammengefallen ist: Die Fläche ist null, die Exzentrizität hat ihren Grenzwert 1 erreicht, und die Umfangsspalte zeigt 19,992, wo der wahre Wert genau 20 beträgt — der größte Fehler, den die Näherung irgendwo in dieser Tabelle macht. Zu beachten ist, dass die letzten beiden Zeilen fast denselben Umfang haben — 20,3196 und 19,992 —, obwohl die eine eine dünne Ellipse und die andere eine gerade Strecke ist, weil ein Umfang auf die kleine Achse nicht mehr reagiert, sobald die Form dünn genug ist. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (78.5398 statt 78,5398), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)

a
Die Hälfte der großen Achse, die große Halbachse. Diese Seite fragt nach der vollen großen Achse und halbiert sie, weil das die Zahl ist, die ein Maßband liefert; die Formel ist in Halbachsen angegeben, weil sie immer so geschrieben wird
b
Die Hälfte der kleinen Achse. Wenn b gleich a ist, ist die Ellipse ein Kreis, und die Flächenformel fällt in das vertraute πr² zusammen, wobei r für eine beliebige der beiden Halbachsen steht
πab
Die Fläche. Sie ist exakt, anders als der Umfang darunter — die beiden Halbachsen multiplizieren und mit π malnehmen, und Sie haben die Antwort auf so viele Stellen, wie Sie ausrechnen möchten
h
Ein Maß dafür, wie ungleich die beiden Halbachsen sind, berechnet als Quadrat ihrer Differenz geteilt durch ihre Summe. Für einen Kreis ist es 0 und nähert sich 1, je flacher die Ellipse zu einer Strecke wird; es ist die Größe, auf der die Umfangsnäherung aufbaut
P
Der Umfang einer Ellipse, in Zentimetern. Es gibt dafür keine elementare geschlossene Form, das hier ist also Ramanujans zweite Näherung: exakt, wenn die beiden Achsen gleich sind, und etwas zu klein, wenn die kleine Achse gegen null geht
e = √(1 − b² ÷ a²)
Die Exzentrizität, eine reine Zahl von 0 bis 1 ohne Einheit. Für einen Kreis ist sie 0 und steigt gegen 1, je flacher die Ellipse wird; sie ist das Maß, das Astronomen und Optiker angeben, wenn nur die Form zählt und nicht die Größe
Vier Nachkommastellen
So breit werden die Werte ausgegeben. Die Fläche ist dahinter exakt, der Umfang ist eine Näherung, und die Exzentrizität ist ein Verhältnis — bei einer fast kreisförmigen Ellipse tragen ihre führenden Ziffern daher fast die ganze Information

Alles Ovale, das gemessen werden muss, ist der klarste Fall: ein runder Tisch, der sich als nicht rund erweist, ein ovaler Spiegel oder Teppich oder ein ovales Waschbecken, eine Rennstrecke oder eine Laufbahn, deren zwei Geraden und zwei Kurven durch ihre Achsen beschrieben werden, ein ovaler Konferenztisch, ein Schwimmbecken mit gerundeten Enden und ein Bilderrahmen mit ovalem Ausschnitt. In jedem dieser Fälle ist die Fläche das, was eine Materialmenge oder eine Bedeckungsrechnung braucht, und die Länge des Umfangs ist das, wonach eine Einfassung, eine Borte, ein Band oder eine Randleiste gekauft wird. Garten- und Straßenbau verwenden sie für ovale Pflanzbeete, geschwungene Pflasterflächen, elliptische Terrassen und jede Form, die mit einer Schnur zwischen zwei Pflöcken abgesteckt wird — das ist die übliche Art, eine Ellipse im Gelände zu markieren. Die Fertigung verwendet sie für elliptische Grifföffnungen, ovales Rohr, flachgedrückte Leitungen und den Querschnitt alles dessen, was oval gezogen oder gepresst wird; dort zählt die Exzentrizität, weil zwei Ovale mit gleicher Fläche deutlich verschiedene Formen haben können und nur eines davon in ein gegebenes Fitting passt. In der Astronomie ist die Exzentrizität die wichtigste Zahl überhaupt: Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt, und die Exzentrizität sagt, wie nahe jede Bahn an einem Kreis liegt, bei der Erde 0,0167 und bei einem Kometen weit mehr. Die Optik verwendet sie für die elliptischen Umlenkspiegel, die einen Strahlengang im Teleskop falten, wo die Achsen des Spiegels durch seinen Neigungswinkel festgelegt sind, und die Medizin für die Querschnitte von Gefäßen und Kammern und für die elliptischen Felder in der Strahlentherapie. In der Statistik ist sie die Form einer Konfidenzellipse, deren Achsen aus zwei Standardabweichungen stammen und deren Fläche eine Abdeckung angibt. Im Unterricht ist sie der Nachweis, dass ein Kreis ein Sonderfall von etwas Allgemeinerem ist — eine Schnurschleife um zwei Reißzwecken legen, mit dem Stift nachfahren, und die Form ändert sich, wenn die Zwecken auseinanderrücken, während der Umfang genau der Länge der Schleife bleibt, was für sich genommen schon ein bemerkenswerter Umstand ist. Und im Alltag beantwortet sie, ob ein ovaler Teppich einen Boden bedeckt, wie viel Stoff eine ovale Tischdecke braucht und welche Länge Randleiste ein ovales Blumenbeet benötigt.

Rechenbeispiele

  1. Eine Ellipse von 10 quer und 6 in der anderen Richtung

    1. Beide halbieren: Die große Halbachse ist 5, die kleine ist 3
    2. Fläche: π × 5 × 3 = 47,1239 Quadratzentimeter
    3. Exzentrizität: √(1 − 3² ÷ 5²) = √0,64 = 0,8
    4. Umfang: h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0,0625, das ergibt π × 8 × 1,0157… = 25,527 Zentimeter

    Das Paar, mit dem die Seite startet, gewählt, weil die Exzentrizität genau 0,8 ergibt — eine Zahl, die ein Leser von Hand nachprüfen kann, und ein sauberes Beispiel dafür, was dieser Wert bedeutet. Die Schritte beginnen mit dem Halbieren, und das ist der Schritt, den die beiden Felder verbergen: 10 mit 6 und dann mit π zu multiplizieren ergäbe die vierfache Fläche, und das ist der häufigste Fehler auf dieser Seite.

  2. Dieselbe Ellipse verdoppelt: 20 × 12

    1. Beide halbieren: 10 und 6
    2. Fläche: π × 10 × 6 = 188,4956 — das Vierfache des vorigen Beispiels
    3. Exzentrizität: √(1 − 36 ÷ 100) = 0,8, unverändert
    4. Umfang: 51,054 — das Doppelte des vorigen Beispiels

    Jede Achse verdoppelt, und die drei Werte reagieren auf drei verschiedene Arten. Die Fläche geht auf das Vierfache, der Umfang nur auf das Doppelte, und die Exzentrizität bewegt sich überhaupt nicht. An der Form hat sich nichts geändert, und genau das sagt die Exzentrizität: Sie beschreibt das Verhältnis und nicht die Größe, weshalb sie der Wert ist, mit dem Umlaufbahnen verglichen werden.

  3. Ein Kreis in Verkleidung: 10 × 10

    1. Beide halbieren: Die Halbachsen sind 5 und 5
    2. Fläche: π × 5 × 5 = 78,5398 Quadratzentimeter
    3. Exzentrizität: √(1 − 25 ÷ 25) = 0
    4. Umfang: Die Näherung wird zu π × 10 × 1 = 31,4159 Zentimeter

    Eine Ellipse mit gleich langen Achsen ist ein Kreis, und diese Zeile lässt sich gegen zwei andere Seiten prüfen. Eine Ellipse von 10 × 10 ist ein Kreis mit Radius 5, und 78,5398 ist die Fläche, die die Kreisflächenseite für diesen Radius ausgibt, während 31,4159 der Umfang ist, den die Kreisumfangsseite und die Umrechnungsseite in beide Richtungen beide dafür ausgeben. Die Umfangsnäherung ist hier außerdem exakt und nicht nur nah dran, was einer der beiden Gründe ist, aus denen sie gewählt wurde.

  4. Eine sehr flache Ellipse: 10 × 2

    1. Beide halbieren: 5 und 1
    2. Fläche: π × 5 × 1 = 15,708 Quadratzentimeter
    3. Exzentrizität: √(1 − 1 ÷ 25) = 0,9798
    4. Umfang: 21,01 Zentimeter — etwa ein Zwanzigstel mehr als die 20, die ein Hin und Zurück entlang der großen Achse ergäbe

    Eine Exzentrizität von 0,9798 liegt nahe an der Grenze, und diese Zeile macht den Punkt, dass die Exzentrizität kein Prozentsatz von irgendetwas ist. Ein Umfang von 21,01 um eine Form, deren längste Ausdehnung 10 beträgt, zeigt, wie wenig Weg eine sehr flache Ellipse gegenüber der geraden Strecke hinzufügt, zu der sie zusammenfällt — fünf Prozent, nicht die Hälfte.

  5. Vollständig abgeplattet: 10 × 0

    1. Beide halbieren: 5 und 0
    2. Fläche: π × 5 × 0 = 0 — die Form ist zu einer Strecke zusammengefallen und bedeckt nichts
    3. Exzentrizität: √(1 − 0 ÷ 25) = 1, der Grenzwert
    4. Umfang: 19,992 Zentimeter — und hier zeigt die Näherung ihren einen Fehler

    Das Extrem, zu dem die Seite ehrlich ist. Eine kleine Achse von null macht die Ellipse zu einer Strecke der Länge 10, der wahre Umfang ist also 20 — zweimal die große Halbachse, hin und zurück. Die Näherung gibt 19,992 aus, eine Abweichung von 0,008. Das ist der ganze Preis dafür, eine Formel statt eines elliptischen Integrals zu verwenden, und es ist der größte Fehler, den die Näherung irgendwo auf dieser Seite macht.

Einschränkungen

Diese Seite berechnet eine Ellipse aus ihren beiden Achsen und sonst nichts: Sie nimmt keine Fläche und keinen Umfang entgegen und gewinnt daraus die Achsen zurück, sie gibt keine Brennpunkte und keinen Brennpunktabstand aus, sie gibt keine Tangente und keine Normale in einem Punkt aus, und sie zeichnet nichts. Beide Achsen sind erforderlich, und die kürzere gehört in das Feld für die kleine Achse; wer die längere dort einträgt, bekommt die Meldung, dass die längere von beiden in das Feld für die große Achse gehört, und nicht ein stilles Vertauschen. Die beiden dürfen gleich sein, das ist ein Kreis, und beide dürfen null sein, das ist ein Punkt. Keine von beiden darf negativ sein. Der Umfang ist eine Näherung und kein exakter Wert — Ramanujans zweite Näherung, exakt bei gleich langen Achsen und etwas zu klein, wenn sich die kleine Achse null nähert, wo eine große Achse von 10 mit einer kleinen von 0 die 19,992 gegen die wahre 20 ergibt. Bei einer Ellipse, die man tatsächlich messen kann, erreicht der Fehler die vierte Nachkommastelle nie, und auf dieser Seite ist keine genauere Zahl zu bekommen, weil der exakte Umfang ein elliptisches Integral ist. Die Exzentrizität hat keine Einheit, weil sie ein Verhältnis zweier Längen ist und dasselbe herauskommt, in welcher Einheit sie auch gemessen wurden; wer eine Einheit daneben druckt, liegt falsch. Beide Achsen nehmen Zentimeter, Meter, Millimeter, Zoll oder Fuß an, und beide in Zentimetern ausgegebenen Werte kommen so zurück, wie sie eingegeben wurden, weil die Umrechnung beim Eingeben geschieht; eine in Zoll gemessene Fläche rechnet mit dem Quadrat des Längenfaktors um, also mit 6,4516 und nicht mit 2,54. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und bei einer fast kreisförmigen Ellipse ist die Exzentrizität klein und tragen ihre führenden Ziffern fast die ganze Information. Nichts hier behandelt eine gedrehte Ellipse, und nichts ein Oval, das keine echte Ellipse ist — eine Eiform und eine Stadionform sehen beide oval aus, und keine von beiden ist eine.

Häufige Fragen

Sind die beiden Felder die vollen Achsen oder die halben?
Die vollen Achsen — das, was ein Maßband von einem Ende des Ovals zum anderen ergibt. Die Formeln verwenden von jeder die Hälfte, die Seite halbiert sie also für Sie, und das Halbieren in die Felder zu schreiben hieße, Sie sollten Ihre eigenen Maße vor dem Eintippen durch zwei teilen. Das ist der einzige Schritt der Rechnung, der verborgen bleibt, und deshalb beginnt jedes Rechenbeispiel damit, ihn zu nennen.
Warum ist der Umfang nicht exakt?
Weil es für den Weg um eine Ellipse herum keine Formel gibt, die sich mit gewöhnlichen Rechenschritten aufschreiben lässt — es ist ein elliptisches Integral, und daran führt kein Weg vorbei. Verwendet wird Ramanujans zweite Näherung, die exakt ist, wenn die beiden Achsen gleich sind, und etwas zu klein, je flacher die Ellipse wird; im Extremfall ergibt eine große Achse von 10 mit einer kleinen von 0 die 19,992, wo die wahre Antwort 20 lautet. Bei jeder Ellipse, die man mit einem Lineal messen könnte, erreicht der Unterschied die vierte ausgegebene Nachkommastelle nie.
Was sagt mir die Exzentrizität eigentlich?
Wie weit die Ellipse von einem Kreis entfernt ist, als einzelne Zahl zwischen 0 und 1. Null ist ein vollkommener Kreis, und die Zahl steigt, je flacher die Form wird. Sie hat keine Einheit, weil sie ein Verhältnis zweier Längen ist, sie ist also dieselbe Zahl, ob Sie in Zentimetern oder in Meilen gemessen haben — deshalb ist sie der Wert, mit dem die Formen von Planetenbahnen verglichen werden, deren Größen sich stark unterscheiden und deren Formen nicht.
Warum hat sich die Fläche geändert, als ich die Achsen verdoppelt habe, die Exzentrizität aber nicht?
Weil die Exzentrizität die Form beschreibt und die Fläche die Größe, und die Verdopplung beider Achsen nur eine von beiden ändert. Verdoppeln Sie beide, geht die Fläche auf das Vierfache und der Umfang nur auf das Doppelte, während die Exzentrizität genau dort bleibt, wo sie war. Eine vergrößerte Ellipse ist dieselbe Form, und die Zahl, die sagt, welche Form es ist, hat keinen Grund, sich zu bewegen.
Ich habe das längere Maß in das kürzere Feld eingetragen. Warum kommt ein Fehler statt eines Tauschs?
Weil ein Vertauschen eine Zahl auf den Bildschirm brächte, die der Bezeichnung über dem Feld widerspricht, aus dem sie stammt, und Sie hätten keine Möglichkeit zu erkennen, dass es geschehen ist. Die Seite sagt Ihnen, in welches Feld das längere Maß gehört, und lässt die Entscheidung bei Ihnen — es ist eine Änderung bis zur Richtigkeit, und es bleibt Ihre Messung statt die der Seite zu werden.
Ist das dasselbe wie die Kreisflächenseite?
Bei einer Ellipse mit gleich langen Achsen stimmt sie genau mit ihr überein, und die erste Zeile der Tabelle ist dieser Fall: Eine Ellipse von 10 × 10 ist ein Kreis mit Radius 5, und beide Seiten geben 78,5398 für die Fläche und 31,4159 für den Weg darum herum aus. Bei jeder anderen Ellipse greift die Kreisseite überhaupt nicht, weil ein Kreis nur ein Maß hat und eine Ellipse zwei.

Quellen

Verwandte Rechner

Kreis-RechnerRadius, Durchmesser, Umfang und Fläche aus einer Angabe.Kreisfläche-RechnerPlatz im Inneren eines Kreises, in Flächeneinheiten.Kugel-RechnerRadius, Durchmesser oder Umfang ergeben Volumen und Fläche.Umfang-RechnerUmfang gängiger Formen aus ihren Seitenlängen.