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Effektivzins-Rechner

Bereich: 0 – 50

Bereich: 1 – 365

Ergebnis

5,122 %

Effektiver Jahreszins (APY, %)

Zinssatz pro Periode
0,20833 %
Grenzwert bei stetiger Verzinsung (%)
5,127 %
Mehrertrag gegenüber dem Nominalzins (%)
0,122 %

Ein Effektivzins-Rechner kann etwas, was seine Nachbarinnen nicht können: Er nimmt jede ganze Anzahl von Verzinsungsperioden pro Jahr an, von eins bis 365. Geben Sie 26 für einen zweiwöchentlichen Rhythmus ein, 52 für einen wöchentlichen, 3 für eine Anzahl, die keinem Kalender folgt, und die Seite liefert den Periodenzins, den diese Anzahl mit sich bringt, den effektiven Jahreszins, zu dem er sich verzinst, den Mehrertrag gegenüber dem nominalen Jahreszins, den Sie eingegeben haben, und den Grenzwert bei stetiger Verzinsung, dem alle diese Werte zustreben. Die letzte Zahl ist der Grund, warum sich ein Besuch auf dieser Seite lohnt. Ein nominaler Satz von 5 Prozent, einmal im Jahr verzinst, ist 5 Prozent; monatlich verzinst sind es 5,116 Prozent; wöchentlich 5,125; täglich 5,127; und der stetige Grenzwert liegt bei 5,1271 Prozent — das heißt, die letzte Strecke von 365 Perioden im Jahr bis unendlich vielen ist vier Zehntausendstel Prozentpunkte wert. Das ist die Gestalt der ganzen Beziehung, und sichtbar wird sie erst, wenn die Häufigkeit eine Zahl ist, die Sie frei setzen können, und nicht eines von sechs Schildern an einer Auswahlliste. Am meisten zählt die Anzahl am unteren Ende, also dort, wo die festen Listen am dünnsten sind: Die jährliche Verzinsung ergibt 5 Prozent, die halbjährliche 5,062, die vierteljährliche 5,095, die monatliche 5,116 — Schritte von 0,062, 0,033 und 0,021 zwischen Nachbarn, die eine Auswahlliste anbietet. Die Anzahlen, die eine Auswahlliste nicht anbieten kann, sind genau die, mit denen Menschen tatsächlich leben. Eine zweiwöchentlich bediente Immobilienfinanzierung oder ein wöchentlich verzinstes Sparprodukt verzinst 26- oder 52-mal im Jahr, und keine der beiden steht auf der üblichen Liste. Wer 26 eingibt, erhält 5,122 Prozent, wer 52 eingibt, 5,125 — zwischen monatlich und täglich, wie es sein soll. Oberhalb von 365 bewegt sich die Antwort nicht mehr: 500 Perioden im Jahr ergeben 5,1270 Prozent, die stetige Verzinsung 5,1271, eine Anzahl jenseits der Tage eines Jahres ist also eine Kuriosität und kein Produktmerkmal, und die Seite begrenzt die Eingabe dort. Zwei Dinge sind zu wissen, bevor Sie das Panel benutzen. Die Mehrertragsspalte ist der Zinseszins selbst, in Prozentpunkten, und sie wächst ungefähr mit dem Quadrat des Zinssatzes: Bei 5 Prozent bringt die monatliche Verzinsung 0,116 Punkte, bei 36 Prozent bringt derselbe monatliche Rhythmus 6,576 Punkte — dieselbe Häufigkeit, ein siebenmal so großer Zinssatz, ein siebenundfünfzigmal so großer Mehrertrag. Und die Periodenzinsspalte ist eine schlichte Division, der Zinssatz geteilt durch die Anzahl, also die Konvention, die eine Kreditoffenlegung annualisiert, und nicht der äquivalente Zinssatz; der äquivalente ist der effektive Jahreszins. Wo diese Seite zwischen ihren beiden nächsten Verwandten liegt, hängt daran, was Sie bereits wissen: Die APY-Seite geht von einem Guthaben aus und bietet sechs benannte Häufigkeiten, die EAR-Seite geht von einem je Periode berechneten Zinssatz aus. Diese hier geht von einem nominalen Jahreszins und einer Anzahl aus, die Sie liefern. Für deutsche Leser ein Hinweis zur Wortwahl: Das Wort Effektivzins trägt hier die allgemeine Bedeutung des effektiven Jahreszinses und nicht die der Preisangabenverordnung, die den Effektivzins eines Verbraucherdarlehens einschließlich der Kosten meint — diese Seite kennt keine Kosten und kein Guthaben.

5 % im Jahr mit sieben verschiedenen Anzahlen verzinst

Verzinsungsperioden pro JahrZinssatz pro PeriodeEffektiver JahreszinsMehrertrag gegenüber dem Nominalzins
1550
22.55.0620.062
41.255.0950.095
120.416675.1160.116
240.208335.1220.122
520.096155.1250.125
3650.01375.1270.127

Die erste Spalte ist eine Anzahl und kein Name, und genau deshalb kann die Tabelle 24 und 52 enthalten — den halbmonatlichen und den wöchentlichen Rhythmus, die eine Liste mit sechs Häufigkeiten nicht erreicht. Die zweite Spalte fällt schnell ab: 5 Prozent einmal geteilt ist 5, in zwölf Teile geteilt 0,41667, in 365 Teile geteilt 0,0137 — und diese Zerlegung ist der Grund, warum die dritte Spalte steigt. Liest man die dritte Spalte gegen die 5, die über ihr steht, lauten die Zuwächse 0,062, 0,033, 0,021, 0,006, 0,003, 0,002 — jeder Schritt kleiner als der vorige, und das ist die Gestalt der ganzen Tabelle. Wenn die Anzahl 52 erreicht, ist fast alles getan, was der Zinseszins bei diesem Satz überhaupt leisten kann; die Zeile mit 365 ist 0,002 mehr wert als die mit 52, und der stetige Grenzwert liegt noch einmal 0,0001 darüber. Die vierte Spalte enthält dieselbe Information wie die dritte, ausgedrückt als Mehrertrag statt als Niveau, und sie ist die richtige, wenn Sie entscheiden wollen, ob sich eine Änderung der Häufigkeit lohnt: Bei 5 Prozent lohnt keine Häufigkeitsänderung nennenswert viel. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (0.41667 statt 0,41667), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

Effektiver Jahreszins = (1 + nominaler Jahreszins ÷ Anzahl)^(Anzahl) − 1 Periodenzins = nominaler Jahreszins ÷ Anzahl Grenzwert bei stetiger Verzinsung = e^(nominaler Jahreszins) − 1

Nominaler Jahreszins
Der angegebene Satz pro Jahr, bevor eine Verzinsung angewendet wird — die Eingabe, die diese Seite mit der APY-Seite teilt, und die Größe, an der sich die Mehrertragsspalte misst
Verzinsungsperioden pro Jahr
Jede ganze Zahl von 1 bis 365: 1 für jährlich, 12 für monatlich, 26 für zweiwöchentlich, 52 für wöchentlich, 365 für täglich. Das ist das Feld, das die Seite besonders macht, denn es ist eine Zahl und keine Auswahl aus einer Liste — ein zweiwöchentlicher Rhythmus hat keinen Eintrag in einer Auswahlliste mit sechs Posten
Zinssatz pro Periode
Der nominale Jahreszins geteilt durch die Anzahl, also der Satz, der bei jedem Verzinsungsschritt angewendet wird, und der Satz, den eine Kreditoffenlegung annualisieren würde, indem sie ihn mit der Anzahl zurückmultipliziert
Effektiver Jahreszins
Das, was ein Jahr dieses Periodenzinses ergibt — die Zahl, mit der man zwei Konten vergleicht, und dieselbe Größe, die eine Anlage-Offenlegung annual percentage yield nennt, wenn die Anzahl 365 beträgt
Mehrertrag gegenüber dem Nominalzins
Der Effektivzins minus der nominale Jahreszins — der Zinseszins in Prozentpunkten. Er steigt mit der Anzahl, aber viel schneller mit dem Zinssatz, und er ist durch den stetigen Grenzwert nach oben begrenzt
Grenzwert bei stetiger Verzinsung
Der effektive Jahreszins, wenn die Anzahl über alle Grenzen wächst: die Basis des natürlichen Logarithmus hoch den nominalen Jahreszins, minus eins. Er ist die Obergrenze der vierten Spalte und der Grund, warum eine Anzahl über 365 nichts Nennenswertes mehr einbringt

Setzen Sie die Seite ein, wenn der Verzinsungsrhythmus eine Zahl ist und kein Name. Die beiden häufigsten Fälle sind wöchentlich und zweiwöchentlich: Ein Sparprodukt, das jede Woche Zinsen gutschreibt, verzinst 52-mal im Jahr, und ein Kredit oder Konto im zweiwöchentlichen Rhythmus verzinst 26-mal, und keine dieser beiden Anzahlen ist eine Auswahl, die eine Liste mit sechs Häufigkeiten anbieten kann. Der zweite Fall ist die Prüfung einer fremden Rechnung — ein als 5,116 Prozent zitierter Satz ist monatliche Verzinsung, und wenn die Anzahl, die 5,116 erzeugt, die 12 ist, dann ist 12 die Häufigkeit, die das Konto tatsächlich verwendet, was auch immer das Marketing sagt. Der dritte Fall ist der, der den stetigen Grenzwert auf dem Panel nützlich macht: Er beantwortet, wie viel Raum über der Häufigkeit bleibt, die Ihnen angeboten wird. Bei nominal 5 Prozent beträgt der Abstand von der täglichen Verzinsung zum Grenzwert 0,0004 Prozentpunkte, ein Konto, das bei diesem Satz mit stetiger Verzinsung wirbt, bietet also fast genau das, was ein täglich verzinstes Konto zahlt. Bei 50 Prozent ist die Lücke größer — 64,816 Prozent bei 365 Perioden gegen 64,872 stetig —, aber auch dort sind es sechs Hundertstel Punkte, weil die Exponentialfunktion schnell flach wird. Eines sollten Sie im Kopf behalten: Diese Seite annualisiert zweimal, einmal linear in der Periodenzinsspalte und einmal mit Zinseszins im Effektivzins. Die lineare ist die, die eine Kreditoffenlegung verwendet, und sie ist nicht falsch — sie ist eine Konvention —, aber sie kann Ihnen nicht sagen, was ein Jahr auf dem Konto wert ist, und dafür ist der Effektivzins da. Wer einen Kredit mit 12 Prozent im Jahr einem Konto mit 1 Prozent im Monat gegenüberstellt, entscheidet genau diesen Vergleich mit der vierten Spalte dieser Seite. Und wer den Effektivzins für eine Verzinsung berechnen will, die in keiner Liste steht, gibt die Anzahl einfach selbst ein — 26 und 52 sind die häufigsten Beispiele.

Rechenbeispiele

  1. 5 % mit 24 Verzinsungen im Jahr

    1. Periodenzins: 5 % ÷ 24 = 0,20833 % je Periode
    2. Effektiver Jahreszins: 1,0020833²⁴ − 1 = 5,1219 %, angezeigt als 5,122
    3. Mehrertrag gegenüber dem Nominalzins: 5,122 % − 5 % = 0,122 Prozentpunkte
    4. Grenzwert bei stetiger Verzinsung: e^0,05 − 1 = 5,1271 %, angezeigt als 5,127

    Der Standardfall und eine Anzahl, die keine Auswahlliste anbietet: 24 Perioden im Jahr sind ein halbmonatlicher Rhythmus, und er liegt zwischen monatlich (5,116) und zweiwöchentlich (5,125), genau dort, wo die Arithmetik ihn haben will. Der stetige Grenzwert liegt nur 0,005 Punkte darüber, und das ist der wiederkehrende Punkt dieser Seite — bei gewöhnlichen Zinssätzen ist der größte Teil des Verzinsungseffekts bereits verbraucht, wenn man bei zweimal im Monat angekommen ist.

  2. Dieselben 5 % wöchentlich verzinst — Anzahl 52

    1. Periodenzins: 5 % ÷ 52 = 0,09615 % pro Woche
    2. Effektiver Jahreszins: 1,0009615⁵² − 1 = 5,1246 %, angezeigt als 5,125
    3. Mehrertrag gegenüber dem Nominalzins: 5,125 % − 5 % = 0,125 Prozentpunkte
    4. Grenzwert bei stetiger Verzinsung: e^0,05 − 1 = 5,1271 %, angezeigt als 5,127

    Die wöchentliche Verzinsung, für die es diese Seite gibt: 52 ist keine Häufigkeit, die eine der üblichen Auswahllisten anbietet, und die Antwort liegt näher an der täglichen (5,127) als an der monatlichen (5,116) — 0,125 Punkte Mehrertrag gegen 0,116, ein Unterschied von neun Tausendsteln eines Punktes. Wer sich bei gleichem Satz zwischen einem wöchentlich und einem monatlich verzinsten Konto entscheidet, entscheidet zwischen 5,125 und 5,116, und ein Zehntelpunkt beim Zinssatz selbst ist zehnmal so viel wert.

  3. 36 % monatlich verzinst — wo der Mehrertrag aufhört, klein zu sein

    1. Periodenzins: 36 % ÷ 12 = 3 % im Monat
    2. Effektiver Jahreszins: 1,03¹² − 1 = 42,576 %
    3. Mehrertrag gegenüber dem Nominalzins: 42,576 % − 36 % = 6,576 Prozentpunkte
    4. Grenzwert bei stetiger Verzinsung: e^0,36 − 1 = 43,333 %

    Dieselbe monatliche Häufigkeit, die bei 5 Prozent 0,116 Punkte einbringt, bringt bei 36 Prozent 6,576 Punkte — siebenundfünfzigmal so viel aus einem siebenmal so großen Zinssatz, und das ist die quadratische Beziehung in Aktion. Es ist zugleich der Grund, warum ein Monatszins von 3 Prozent nicht als 36 Prozent im Jahr beschrieben werden darf, ohne jemanden in die Irre zu führen: Das Jahr kostet 42,576 Prozent, und der Unterschied ist größer als die meisten Gebühren, über die gestritten wird.

Einschränkungen

Die Seite unterstellt, dass der nominale Zinssatz das ganze Jahr gilt und dass die Anzahl diejenige ist, die das Konto tatsächlich verwendet. Ein Satz, der zurückgesetzt wird, eine Aktionsphase oder ein Verzinsungsrhythmus, der sich mit dem Guthaben ändert, machen diese Zahlen alle zu einer Momentaufnahme statt zu einer Beschreibung des Jahres. Sie unterstellt, dass die Anzahl eine ganze Zahl ist, weshalb die Eingabe bei 365 endet und Brüche ablehnt — reale Konten verzinsen aber nicht immer nach einer festen Anzahl: Ein Konto, das nach den tatsächlichen Tagen jedes Monats abrechnet, verzinst in einem Gemeinjahr 365-mal und in einem Schaltjahr 366-mal, und eine Bank, die auf 360-Tage-Basis rechnet, wie es Institute in manchen Ländern tun, wird überhaupt nicht mit dieser Seite übereinstimmen. Sie bildet weder Einzahlungen noch Abhebungen ab und beschreibt deshalb ein unangetastetes Guthaben und nicht das Jahr eines Sparers. Sie bezieht keine Kosten ein, und genau das ist der ganze Unterschied zwischen diesem effektiven Jahreszins und dem effektiven Jahreszins, den die Preisangabenverordnung für einen Kredit vorschreibt. Der stetige Grenzwert, den sie ausgibt, ist eine mathematische Obergrenze und kein Satz, den jemand ausgezahlt bekommt; kein Institut verzinst stetig. Er steht auf dem Panel, weil er die Zahl ist, die sagt, wie viel Verzinsung noch übrig ist, und bei gewöhnlichen Zinssätzen ist die Antwort: sehr wenig. Und sie ist keine Offenlegung: Der beworbene Effektivzins eines Anlagekontos wird nach der jeweils geltenden Vorschrift berechnet, einschließlich ihrer Regeln für gestaffelte Sätze, gestufte Sätze und Laufzeiten über ein Jahr, von denen hier keine umgesetzt ist. Ein letzter Vorbehalt zur Wortwahl: Die Zahl auf diesem Panel ist der effektive Jahreszins einer Anlage oder eines Kredits ohne Kosten. Wo eine deutsche Werbung den effektiven Jahreszins nennt, meint sie in der Regel den nach der Preisangabenverordnung, und der enthält mehr als diese Seite rechnet.

Häufige Fragen

Was ist der effektive Jahreszins?
Es ist der Jahreszins, der entsteht, wenn ein nominaler Jahreszins mit einer bestimmten Häufigkeit verzinst wird. Ein nominaler Satz von 5 Prozent mit monatlicher Verzinsung ergibt 5,116 Prozent effektiv, weil die Zinsen jedes Monats den Rest des Jahres über selbst Zinsen tragen. Der Effektivzins ist immer mindestens so hoch wie der Nominalzins, und der Abstand zwischen beiden ist der Zinseszins — weshalb der Effektivzins die Zahl ist, mit der man Konten vergleicht, und der Nominalzins die, die man zitiert.
Warum eine Anzahl von Perioden eingeben statt eine Häufigkeit zu wählen?
Weil die Häufigkeiten, mit denen Menschen tatsächlich leben, nicht immer auf der Liste stehen. Wöchentliche Verzinsung sind 52 Perioden im Jahr und zweiwöchentliche 26, und keine der beiden erscheint in einer üblichen Auswahl mit sechs Häufigkeiten. Die Anzahl einzugeben erlaubt außerdem Fragen, die eine Liste nicht beantworten kann: was eine Anzahl von 3 erbrächte, was ein ungerader Rhythmus ergibt und wie viel zwischen der Anzahl, die Sie haben, und dem stetigen Grenzwert noch bleibt.
Wofür steht der Grenzwert bei stetiger Verzinsung?
Er ist die Obergrenze, der sich der Effektivzins nähert, wenn die Anzahl wächst: die Basis des natürlichen Logarithmus hoch den nominalen Jahreszins, minus eins. Bei 5 Prozent sind das 5,1271 Prozent, und die tägliche Verzinsung mit 365 Perioden erreicht bereits 5,127 Prozent — vier Zehntausendstel Punkte darunter. Der Grenzwert ist also kein Produkt, das jemand anbietet; er zeigt Ihnen, dass jenseits der täglichen Verzinsung kaum noch etwas zu gewinnen ist, jedenfalls bei gewöhnlichen Zinssätzen.
Wie stark kommt es auf die Anzahl der Verzinsungen an?
Weit weniger als auf den Zinssatz. Bei nominal 5 Prozent bringt der Wechsel von jährlicher auf monatliche Verzinsung 0,116 Prozentpunkte, von monatlich auf wöchentlich 0,009 und von wöchentlich bis zum stetigen Grenzwert 0,002. Der Mehrertrag wächst aber mit dem Quadrat des Zinssatzes: Bei 36 Prozent mit monatlicher Verzinsung sind es 6,576 Punkte. Ein Produkt mit hohem Zinssatz ist also der Ort, an dem die Häufigkeit zählt, und eines mit niedrigem der Ort, an dem sie es nicht tut — ein Viertelpunkt beim Zinssatz ist bei 5 Prozent mehr wert als jede Änderung der Häufigkeit.
Ist der Zinssatz pro Periode dasselbe wie der je Periode berechnete Zinssatz?
Er ist die lineare Zerlegung: der nominale Jahreszins geteilt durch die Anzahl. In einer Kreditoffenlegung ist das die Konvention, und multipliziert man den Periodenzins mit der Anzahl zurück, erhält man exakt den Nominalzins. Er ist aber nicht der äquivalente Zinssatz — 5 Prozent in zwölf Teile zerlegt ergeben 0,41667 Prozent im Monat, und 0,41667 Prozent zwölfmal verzinst ergeben 5,116 Prozent und nicht 5. Die Periodenzinsspalte und die Effektivzinsspalte sind die beiden Hälften dieser Tatsache.
Darf die Anzahl über 365 liegen?
Rechnerisch ja, aber es bringt nichts, und diese Seite lässt es nicht zu. Bei 500 Perioden im Jahr liegt der Effektivzins bei 5,1270 Prozent gegenüber dem stetigen Grenzwert von 5,1271 — weniger als ein Tausendstel Punkt über der täglichen Verzinsung. Niemand zahlt Zinsen häufiger als täglich, und die Eingabe endet bei 365, weil sich jenseits davon die Antwort nicht mehr bewegt.

Quellen

Verwandte Rechner

APY-RechnerEffektive jährliche Rendite aus einem Nominalzins.EAR-RechnerEffektiver Jahreszins aus Nominalzins und Zinsperiode.Periodenzinssatz-RechnerZinssatz je Periode, abgeleitet aus dem nominalen Jahreszins.Zinseszins-RechnerZeigt, wie Ersparnisse mit Zinseszins über die Jahre wachsen.