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EAR-Rechner

Bereich: 0 – 50

Ergebnis

12,683 %

Effektiver Jahreszins (APY, %)

Nominaler Jahreszins (%)
12,000 %
Abstand zum Effektivzins (%)
0,683 %

Ein EAR-Rechner setzt dort an, wo ein Kontoauszug Sie stehen lässt: bei dem Zinssatz, der je Periode tatsächlich berechnet wird. Geben Sie 1 Prozent im Monat ein, oder 0,5 Prozent im Monat, oder 0,05 Prozent am Tag, und sagen Sie, wie viele solcher Perioden ein Jahr fasst — die Seite liefert dann drei Dinge: den effektiven Jahreszins, zu dem sich der Periodenzins über ein Jahr verzinst, den nominalen Jahreszins, den man durch Multiplikation des Periodenzinses mit der Anzahl der Perioden erhält, und die Lücke zwischen beiden. Die letzte dieser drei Zahlen ist der eigentliche Grund hinzusehen. Eine Karte, die 1 Prozent im Monat berechnet, berechnet 12 Prozent im Jahr in dem linearen Sinn, den eine Offenlegung verwendet, und 12,683 Prozent in dem Sinn, der beschreibt, was ein Jahr damit tatsächlich kostet, weil die Zinsen jedes Monats zum Saldo dazukommen, auf den der nächste Monat berechnet wird. Die 0,683 Prozentpunkte zwischen diesen beiden Zahlen sind der Zinseszinseffekt, und er wächst schneller, als die meisten erwarten, je kürzer die Periode wird: Halten Sie die nominale Zahl bei 6 Prozent fest, so verzinsen sich 0,5 Prozent im Monat zu 6,168 Prozent, während 0,05 Prozent am Tag — linear dieselben 18,25 Prozent im Jahr — sich zu 20,016 Prozent verzinsen, eine Lücke von 1,766 Punkten. Beide stehen auf dem Panel, und die zweite macht den Punkt: Je kürzer die Periode, desto häufiger werden Zinsen auf Zinsen berechnet, und bei kleinen Periodenzinsen ist der Effekt absolut klein, aber im Verhältnis zum Zinssatz groß. Die Formel ist die, die Anlage-Offenlegungen für den Effektivzins verwenden, also dieselbe Größe unter anderem Namen: Periodenzins plus eins, hoch die Anzahl der Perioden im Jahr, minus eins. Zwei Dinge an den Eingaben gehören klar gesagt. Diese Seite bietet keine stetige Verzinsung an, und das ist keine Auslassung — ein Periodenzins setzt eine Periode voraus, es gibt also keinen je Periode berechneten Zinssatz, wenn die Verzinsung nie aufhört; der stetige Grenzwert erscheint als Ausgabe auf der Nachbarseite, die von einem nominalen Jahreszins ausgeht. Und die Liste der Häufigkeiten endet hier bei fünf statt bei sechs, aus demselben Grund. Wo diese Seite zwischen ihren Nachbarinnen liegt, hängt daran, was Sie bereits wissen. Haben Sie einen Kontoauszug, haben Sie einen Periodenzins, und dann sind Sie hier richtig. Haben Sie eine Werbung, haben Sie einen nominalen Jahreszins mit einer Verzinsungshäufigkeit, und dann gehört die APY-Seite dazu. Haben Sie eine Anzahl von Verzinsungen, die kein Auswahlfeld anbieten kann — 26, 52 —, nimmt der Effektivzins-Rechner jede ganze Zahl von 1 bis 365. Für deutsche Leser noch eine Einordnung: Der effektive Jahreszins, den die Preisangabenverordnung vorschreibt, steht auf der Kreditseite und ist nicht mit dem hier gerechneten Effektivzins gleichzusetzen, weil dort die Kosten des Kredits mitgezählt werden; und deutsche Geldhäuser schreiben den nominalen Satz in der Regel als Zinssatz p.a. und die verzinste Zahl als Effektivzins, ohne dass beide Häuser dasselbe einbeziehen müssen.

Monatliche Verzinsung, von 0,1 % bis 2 % im Monat

Zinssatz pro PeriodeNominaler JahreszinsEffektivzinsAbstand zum Effektivzins
0.11.21.2070.007
0.2533.0420.042
0.566.1680.168
11212.6830.683
22426.8242.824

Jede Zeile ist monatliche Verzinsung, die zweite Spalte ist also einfach die erste mal zwölf, und die Tabelle lässt sich als eine einzige Frage lesen: Wie viel verdeckt die Annualisierung bei diesem Periodenzins? Bei 0,1 Prozent im Monat lautet die Antwort 0,007 Prozentpunkte, bei 2 Prozent im Monat 2,824 — die Lücke wächst ungefähr mit dem Quadrat des Zinssatzes, weshalb die letzte Zeile das Neunfache der vorletzten ist und nicht das Doppelte. Genau das ist das Nützliche daran, die Tabelle statt einer einzelnen Rechnung zu lesen: Der Zinseszinsterm ist bei Sätzen, die man für klein hält, unsichtbar und bei Sätzen, die man für groß hält, bestimmend, und der Punkt, ab dem er nicht mehr zu vernachlässigen ist, liegt irgendwo in der Mitte dieser fünf Zeilen. Die erste Spalte ist die Eingabe und die vierte die Antwort auf die Frage der Seite; wer nur zwei Spalten ansieht, sollte diese beiden ansehen. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (0.007 statt 0,007), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

Effektivzins = (1 + Periodenzins)^(Perioden pro Jahr) − 1 Nominaler Jahreszins = Periodenzins × Perioden pro Jahr

Zinssatz pro Periode
Der in einer Periode berechnete oder gutgeschriebene Zinssatz, also das, was ein Kontoauszug zeigt und was ein Verzinsungsschritt verwendet — 1 Prozent im Monat, 0,5 Prozent im Monat, 0,05 Prozent am Tag. Das ist die Eingabe, die diese Seite von ihren Nachbarinnen unterscheidet: Jene gehen von einer Jahreszahl aus und teilen sie, diese geht von der Periode aus und multipliziert
Verzinsungshäufigkeit
Wie viele solcher Perioden ein Jahr fasst: 1 bei jährlicher, 2 bei halbjährlicher, 4 bei vierteljährlicher, 12 bei monatlicher und 365 bei täglicher Verzinsung. Sie ist zugleich der Exponent in der Verzinsung und der Multiplikator in der nominalen Zahl
Effektivzins
Was ein Jahr des Periodenzinses tatsächlich kostet oder erbringt, wenn die Zinsen jeder Periode selbst verzinst werden — immer mindestens die nominale Zahl, und die Lücke wird größer, je kürzer die Periode ist
Nominaler Jahreszins
Der Periodenzins multipliziert mit der Anzahl der Perioden, also der Nominalzins in seiner Jahresform — die Annualisierung, die eine Kreditoffenlegung verwendet, und die Zahl, die die meisten nennen würden, wenn man sie fragt, was das Konto berechnet. Sie lässt den Zinseszins vollständig außer Acht, und deshalb steht sie neben dem Effektivzins und nicht an seiner Stelle
Abstand zum Effektivzins
Der Effektivzins minus der nominale Jahreszins, also der Zinseszins selbst, in Prozentpunkten ausgedrückt. Das ist die Zahl, die sagt, wie viel die Gewohnheit, einen Jahreszins zu nennen, verdeckt

Setzen Sie die Seite ein, wenn der Zinssatz, den Sie haben, je Periode gilt und nicht je Jahr — in der Praxis also, wenn Sie einen Kontoauszug lesen und keine Werbung. Eine Kreditkarte, die 1 Prozent im Monat nennt, eine Handelskarte mit 1,5 Prozent im Monat, ein Konto, das 0,25 Prozent im Quartal gutschreibt: All das sind Periodenzinsen, und eine Multiplikation mit zwölf oder vier ergibt eine nominale Jahreszahl, die untertreibt, was ein Jahr kostet. Die Lückenspalte ist die Größe dieser Untertreibung, und sie ist aus zwei Gründen wissenswert. Sie sagt Ihnen, was Sie zurückzitieren sollten: Berechnet eine Karte 1 Prozent im Monat, so ist 12 Prozent die Konvention und 12,683 Prozent die Wahrheit, und die zweite Zahl gehört in jeden Vergleich mit einem Kredit, der jährlich zitiert wird. Und sie sagt Ihnen, wann der Zinseszinseffekt aufhört, ein Rundungsdetail zu sein. Bei nominal 6 Prozent beträgt die Lücke 0,168 Punkte; bei nominal 18,25 Prozent mit täglicher Verzinsung 1,766 Punkte; bei nominal 182,5 Prozent mit täglicher Verzinsung — einem halben Prozent am Tag, der Gestalt eines kurzfristigen Kleinkredits — liegt der Effektivzins bei 517,465 Prozent, und eine Lücke von 334,965 Punkten ist kein Detail mehr, sondern die ganzen Kosten. Die Seite ist außerdem der natürliche erste Schritt in die andere Richtung: Der Zinssatz-Rechner nimmt einen nominalen Jahreszins und zerlegt ihn, dieser hier nimmt die Zerlegung und setzt sie wieder zusammen, und beide auf dieselbe Zahl anzuwenden ist ein schneller Weg zu bestätigen, dass Zerlegen und Wiederaufzinsen keine Umkehrung voneinander sind — 6 Prozent zu 0,5 Prozent im Monat zerlegt ergeben wieder aufgezinst 6,168 Prozent und nicht 6. Wer den Effektivzins selbst berechnen möchte, kommt mit drei Schritten aus, und wer nur den nominalen Jahreszins braucht, multipliziert den Periodenzins mit der Anzahl der Perioden; deshalb stehen beide Zahlen auf dem Panel.

Rechenbeispiele

  1. 1 % im Monat, der Kreditkartenfall

    1. Perioden pro Jahr: 12
    2. Nominaler Jahreszins: 1 % × 12 = 12 %
    3. Effektivzins: 1,01¹² − 1 = 12,6825 %, angezeigt als 12,683
    4. Abstand: 12,683 % − 12 % = 0,683 Prozentpunkte

    Der Standardfall und der, den jeder schon gesehen hat: eine Karte, die einen Monatszins nennt. Zwölf Prozent im Jahr ist die Zahl, die die Offenlegungskonvention erzeugt, und 12,683 Prozent sind das, was ein Jahr mit unbezahltem Saldo tatsächlich kostet. Die 0,683 sind keine Gebühr und keine Strafe — es sind die Zinsen auf die Zinsen, und sie erscheinen auf jedem Konto, dessen Saldo stehen bleibt und sich verzinst, statt monatlich ausgeglichen zu werden.

  2. 0,05 % am Tag — derselbe nominale Satz, ein anderes Tier

    1. Perioden pro Jahr: 365
    2. Nominaler Jahreszins: 0,05 % × 365 = 18,25 %
    3. Effektivzins: 1,0005³⁶⁵ − 1 = 20,0156 %, angezeigt als 20,016
    4. Abstand: 20,016 % − 18,25 % = 1,766 Prozentpunkte

    Ein Zwanzigstel Prozent am Tag klingt kleiner als 18,25 Prozent im Jahr, und es ist dieselbe Zahl: 0,05 mal 365 ist 18,25. Die tägliche Verzinsung macht daraus aber 20,016 Prozent, also 1,766 Punkte über der nominalen Zahl — fast das Dreifache der Lücke, die der monatliche Kartenfall bei einem ähnlichen Satz ergeben hat. Die Lehre ist nicht, dass die tägliche Verzinsung an sich gefährlich wäre; sie lautet, dass die Lücke sowohl vom Zinssatz als auch von der Periode abhängt, und beide sind hier größer geworden.

  3. 2 % im Jahr, halbjährlich berechnet

    1. Perioden pro Jahr: 2
    2. Nominaler Jahreszins: 2 % × 2 = 4 %
    3. Effektivzins: 1,02² − 1 = 4,04 %
    4. Abstand: 4,04 % − 4 % = 0,04 Prozentpunkte

    Anleihen sind der übliche Ursprung dieser Eingabe: Eine Anleihe mit einem Kupon von 4 Prozent, halbjährlich gezahlt, zahlt zweimal im Jahr 2 Prozent, und wenn der Kupon wieder angelegt wird, erbringt das Jahr 4,04 Prozent statt 4. Vier Hundertstel Punkte sind wenig, und sie sind der Grund, warum eine halbjährlich zahlende und eine jährlich zahlende Anleihe mit demselben Kupon nicht dieselbe Anlage sind — die zweite zahlt 4 Prozent und verzinst einmal.

Einschränkungen

Die Seite unterstellt, dass der Periodenzins das ganze Jahr gilt. Ein variabler Zinssatz, ein Aktionszins, der nach einigen Monaten zurückgesetzt wird, eine an einen Referenzsatz gebundene Karte — in all diesen Fällen ist der Effektivzins eine Aussage über den heutigen Satz und nicht über das Jahr, und bei einer Karte mit veränderlichem Zinssatz beschreibt die Lückenspalte ein Jahr, das so nicht stattfinden wird. Sie unterstellt, dass die Perioden gleich lang sind. Die monatliche Verzinsung geht in einem Jahr mit 365 Tagen nicht glatt auf, und ein Konto, das nach tatsächlichen Tagen abrechnet statt nach zwölf gleich langen Monaten, wird geringfügig abweichen; ebenso ein Konto, das auf 360-Tage-Basis rechnet, wie es Banken in manchen Ländern tun. Sie sagt nichts darüber, wie der Saldo zustande gekommen ist. Verzinst wird nur ein Saldo, der stehen bleibt: Wer eine Karte belastet und sie jeden Monat vollständig ausgleicht, für den gilt weder der Effektivzins noch die Lücke, weil es nichts gibt, worin sich die Zinsen verzinsen könnten. Sie ist kein effektiver Jahreszins nach der deutschen Preisangabenverordnung und auch kein annual percentage rate des US-amerikanischen Rechts: Jene annualisieren einen Periodenzins ohne Zinseszins und rechnen Gebühren ein; diese Seite annualisiert denselben Periodenzins zweimal, einmal linear und einmal mit Zinseszins, und addiert zu keiner der beiden Zahlen Gebühren. Und sie ist keine Offenlegung: Effektivzins und annual percentage yield sind dieselbe Größe, wenn die Laufzeit 365 Tage beträgt, die Ausgabe einer Anlage-Offenlegung sollte also bei gleichem Satz und gleicher Häufigkeit mit der ersten Ausgabe dieser Seite übereinstimmen; die Offenlegung eines Kredits wird es nicht, weil sie auf der linearen Annualisierung aufbaut, die hier als zweite Ausgabe erscheint. Für deutsche Leser zuletzt: Der effektive Jahreszins der Preisangabenverordnung ist ein anderer Begriff als der hier gerechnete Effektivzins — er bezieht die Kosten des Kredits ein, und diese Seite kennt keine Kosten.

Häufige Fragen

Was ist der effektive Jahreszins einer periodischen Verzinsung?
Er ist das, was ein je Periode berechneter Zinssatz über ein Jahr ergibt, wenn die Zinsen jeder Periode selbst verzinst werden. Ein Prozent im Monat sind 12,683 Prozent im Jahr und nicht 12 Prozent, weil der zweite Monat auf den Saldo plus die Zinsen des ersten Monats berechnet wird. Der effektive Jahreszins ist die Zahl, die das berücksichtigt; der nominale Jahreszins ist der Periodenzins mal zwölf, also die Zahl, die eine Offenlegungskonvention erzeugt und die den Zinseszins ausblendet.
Wie rechne ich aus einem Periodenzins den Effektivzins aus?
Addieren Sie eins zum Periodenzins, potenzieren Sie das mit der Anzahl der Perioden im Jahr und ziehen Sie eins ab. Ein Prozent im Monat ist 1,01 hoch zwölf minus eins, also 0,126825 oder 12,683 Prozent. Es ist dieselbe Formel, die den Effektivzins eines Anlagekontos erzeugt — beide sind dieselbe Größe, wenn die Laufzeit ein Jahr beträgt, und die Eingaben dieser Seite sind die, die Sie haben, wenn Sie einen Kontoauszug lesen statt eine Werbung.
Warum gibt es keine stetige Verzinsung zur Auswahl?
Weil ein Periodenzins eine Periode braucht. Die stetige Verzinsung ist der Grenzwert, wenn die Periode gegen null geht; es gibt also keinen je Periode berechneten Zinssatz, von dem man ausgehen könnte — der effektive Jahreszins existiert trotzdem, und er erscheint als stetiger Grenzwert auf der Seite, die von einem nominalen Jahreszins ausgeht. Auf dieser Seite endet die Liste der Häufigkeiten bei fünf, und das Fehlen der sechsten ist eine Eigenschaft der Eingabe und kein fehlendes Merkmal.
Ist der nominale Jahreszins dasselbe wie der effektive Jahreszins nach der Preisangabenverordnung?
Sie werden gleich berechnet — ein Periodenzins multipliziert mit der Anzahl der Perioden im Jahr —, aber der effektive Jahreszins der Preisangabenverordnung bezieht zusätzlich die Kosten des Kredits ein, und diese Seite addiert keine. Bei einem Kredit ohne Kosten stimmen beide überein, weshalb die nominale Zahl hier eine brauchbare Gegenprobe zu einer Kreditoffenlegung ist. Bei einem Kredit mit Bereitstellungsgebühr liegt der effektive Jahreszins der Verordnung über dem nominalen Jahreszins, den diese Seite ausgibt, und der Unterschied ist die Gebühr.
Wächst die Lücke zwischen den beiden Sätzen mit dem Zinssatz?
Ja, und zwar deutlich. Bei nominal 6 Prozent mit monatlicher Verzinsung beträgt die Lücke 0,168 Prozentpunkte; bei 12 Prozent monatlich sind es 0,683; bei 18,25 Prozent mit täglicher Verzinsung 1,766; bei einem halben Prozent am Tag — nominal 182,5 Prozent — liegt der Effektivzins bei 517,465 Prozent und die Lücke bei 334,965 Punkten. Der Zinseszinseffekt ist in diesen Bereichen proportional zum Quadrat des Zinssatzes, ein verdoppelter Zinssatz vervierfacht die Lücke also ungefähr, statt sie zu verdoppeln.
Welchen Satz sollte ich zwischen zwei Krediten vergleichen?
Den effektiven Jahreszins, wenn keiner der beiden Kredite Kosten berechnet, weil er als einziger der beiden berücksichtigt, wie oft die Zinsen verzinst werden — und weil er dieselbe Größe ist wie der Effektivzins einer Anlage. Berechnet einer der Kredite Kosten, ist der effektive Jahreszins nach der jeweiligen Vorschrift der bessere Vergleich, denn er baut auf der linearen Annualisierung auf, die hier als nominale Zahl erscheint, und bezieht die Kosten mit ein. Einen monatlich zitierten Kredit mit einem jährlich zitierten über ihre nominalen Sätze zu vergleichen, ist der Fehler, den diese Seite verhindern soll.

Quellen

Verwandte Rechner

Periodenzinssatz-RechnerZinssatz je Periode, abgeleitet aus dem nominalen Jahreszins.Effektivzins-RechnerEffektivzins bei beliebiger Zinsperiode, aufs Jahr gerechnet.APY-RechnerEffektive jährliche Rendite aus einem Nominalzins.Zinseszins-RechnerZeigt, wie Ersparnisse mit Zinseszins über die Jahre wachsen.