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CalcMax

Skalarprodukt-Rechner

Ergebnis

8,0000

Skalarprodukt

Betrag von u
3,0000
Betrag von v
3,0000
Winkel zwischen den Vektoren
27,2660 °

Der Skalarprodukt-Rechner nimmt zwei Vektoren und gibt ihr Skalarprodukt zurück — auch inneres Produkt genannt —, dazu die Länge jedes der beiden Vektoren und den Winkel zwischen zwei Vektoren. Tippen Sie die Komponenten jedes Vektors durch Leerzeichen getrennt ein — 1 2 2 für einen dreidimensionalen Vektor, 0 3 für einen zweidimensionalen —, und die Seite erledigt den Rest. Ein Vektor ist eine Liste von Zahlen, die für etwas mit einer Größe und einer Richtung steht: ein Wind von 30 Kilometern pro Stunde aus Nordost, eine Kraft, die nach unten und zur Seite drückt, die Richtung, in die eine Kamera zeigt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren erhält man, indem man die beiden ersten Komponenten multipliziert, die beiden zweiten, die beiden dritten und alle Produkte addiert. Diese eine Zahl sagt etwas darüber aus, wie die beiden Vektoren zueinander zeigen, und deshalb taucht sie überall auf, von der Beleuchtungsrechnung in Spielen bis zur Definition der Arbeit in der Physik. Ihr Wert ist am größten, wenn beide in dieselbe Richtung zeigen, null, wenn sie im rechten Winkel zueinander stehen, und negativ, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Die Seite rechnet das direkt in den Winkel um, und zwar mit der Tatsache, dass das Skalarprodukt gleich dem Produkt der beiden Längen mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels ist. Umgestellt ist der Kosinus das Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der beiden Längen, und der Winkel ist der Arkuskosinus davon. Drei Antworten sollte man auf Anhieb erkennen. Ein Skalarprodukt von null heißt, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, weil der Kosinus von 90 Grad null ist — und das ist das Nützlichste, was diese Seite tut: prüfen, ob zwei Richtungen im rechten Winkel zueinander stehen, ohne irgendetwas zu messen. Gleiche Vektoren ergeben den Winkel null, weil sie in dieselbe Richtung zeigen. Entgegengesetzte Vektoren ergeben 180 Grad. Eine Eingabe wird abgelehnt statt beantwortet: der Nullvektor, der überhaupt keine Richtung hat. Sein Skalarprodukt mit irgendetwas ist null, und durch seine Länge zu teilen, um einen Winkel zu bekommen, hieße durch null zu teilen; die Seite lehnt deshalb die ganze Rechnung ab, statt eine Teilantwort mit einer Lücke darin zu liefern. Alles andere wird angenommen, auch Vektoren beliebiger Länge, solange beide gleich viele Komponenten haben, und negative Komponenten, denn so wird ein Vektor geschrieben, der nach links oder nach unten zeigt. Wer den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen will, bekommt ihn hier als vierte Zahl, und wer stattdessen das Kreuzprodukt sucht, ist auf der Seite dafür richtig — die beiden Produkte sind nicht dasselbe, und ein Skalarprodukt ist nie ein Vektor.

Vektorpaare und was sie ergeben

Vektor uVektor vSkalarprodukt|u||v|Winkel (°)
1 2 22 2 183327.266
3 4 04 3 0245516.2602
1 00 101190
1 1 11 1 131.73211.73210
1 2 34 5 6323.74178.77512.9332
-1 0 01 0 0-111180
2 -34 5-73.60566.4031107.6501
1 23 4112.2361510.3048

Acht Paare, und die erste Zeile ist die, mit der die Seite lädt. Die dritte Spalte ist die Stelle, an der man nach den drei Antworten sucht, die man auf Anhieb erkennen sollte. Die dritte Zeile ist der denkbar schlichteste rechte Winkel, je ein Vektor entlang einer Achse, und ihr Skalarprodukt ist null, während der Winkel genau als 90 zurückkommt — das ist die Rechtwinkligkeitsprüfung, für die die Seite am häufigsten benutzt wird, und sie braucht nichts von der Trigonometrie, die die Winkelspalte verwendet. Die vierte Zeile ist derselbe Vektor zweimal, das ergibt das größte Skalarprodukt der Tabelle und einen Winkel von 0, und die sechste ist ein Vektor und seine eigene Verneinung, das ergibt das einzige negative Skalarprodukt hier und einen Winkel von 180. Zusammen sind diese drei Zeilen der ganze Bereich: gleiche Richtung, rechter Winkel, entgegengesetzte Richtung. Die fünfte Zeile ist das unsaubere Paar, dessen Längen beide Wurzeln sind, und sie ist die Zeile, die zeigt, dass der Winkel aus den ungerundeten Beträgen berechnet wird — 3,7417 mit 8,775 multiplizieren und 32 durch das Ergebnis teilen liefert dieselben 12,9332, aber nur knapp. Die siebte Zeile trägt negative und gemischtvorzeichenbehaftete Komponenten, so wird ein nach links oder unten zeigender Vektor geschrieben, und ihr Skalarprodukt von −7 bei einem Winkel von 107,6501 ist der Fall, in dem Vorzeichen und Winkel übereinstimmen müssen: größer als 90 Grad und negativ, wie es sein soll. Die achte Zeile ist ein zweidimensionales Paar, denn die Seite nimmt jede Anzahl von Komponenten an. Jede Zahl hier wird beim Bau der Seite neu gerechnet, und die Punkte in den ersten beiden Spalten sind die Trennzeichen und nicht Teil der Zahlen. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (8.775 statt 8,775), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen.

Formel

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ |u| = √(u₁² + u₂² + … ) cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|)

Vektor u
Der erste Vektor, geschrieben als seine durch Leerzeichen oder Semikolons getrennten Komponenten: 1 2 2 für drei Dimensionen, 0 3 für zwei, oder so viele, wie Sie brauchen. Es gibt keine feste Anzahl von Feldern, weil die Seite jede Dimension annimmt, und beide Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben
Vektor v
Der zweite Vektor, genauso geschrieben und mit derselben Anzahl von Komponenten wie der erste. Die Reihenfolge spielt für das Skalarprodukt und den Winkel keine Rolle — vertauscht man die beiden Vektoren, kommen dieselben Antworten heraus
u · v
Das Skalarprodukt: die beiden ersten Komponenten miteinander multiplizieren, die beiden zweiten, und so weiter, und die Ergebnisse addieren. Es ist eine einzelne reine Zahl ohne Einheit, denn die Komponenten eines Vektors tragen die Einheit der Größe, und das Produkt zweier von ihnen trüge diese Einheit im Quadrat
|u| und |v|
Der Betrag jedes Vektors, in der Einheit, in der die Komponenten gemessen wurden: die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten. Das ist die gewöhnliche Länge des Pfeils, und es ist dieselbe Rechnung wie der Abstand vom Ursprung zu dem Punkt, auf den der Vektor zeigt
θ
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren, in Grad, von 0 bei gleicher Richtung über 90 beim rechten Winkel bis 180 bei entgegengesetzter Richtung. Er verlässt diesen Bereich nie, weil der Arkuskosinus nichts außerhalb davon zurückgeben kann
cos θ
Das Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der beiden Beträge, und damit die Brücke zwischen den beiden Hälften dieser Seite. Er läuft von 1 bei gleicher Richtung über 0 beim rechten Winkel bis −1 bei entgegengesetzter Richtung, und aus dieser Zahl wird der Winkel tatsächlich berechnet
Grad
Die Einheit der Winkelausgabe und die einzige Ausgabe auf der Seite, die überhaupt eine Einheit hat. Das Skalarprodukt und die beiden Beträge sind reine Zahlen
Vier Dezimalstellen
Die Breite, in der jede Ausgabe geschrieben wird. Das Skalarprodukt ist oft eine ganze Zahl, wenn die Komponenten es sind; die beiden Beträge tragen eine Wurzel und der Winkel einen Arkuskosinus, diese drei kommen also fast nie exakt heraus

Das Skalarprodukt ist die übliche Art zu fragen, wie sehr zwei Richtungen übereinstimmen, und die Fragen, die es beantwortet, kommen häufiger vor, als die Rechnung vermuten lässt. Die Rechtwinkligkeit ist die große: ist das Skalarprodukt null, treffen sich die beiden Vektoren im rechten Winkel, und so entscheidet ein Programm, ob eine Fläche zu einem Licht hin zeigt, ob ein Weg eine Wand kreuzt oder ob zwei Linien in einer Zeichnung rechtwinklig zueinander stehen — und dafür braucht es nur die Multiplikationen, keine Trigonometrie. Als Nächstes lohnt der Blick auf das Vorzeichen: positiv heißt, die beiden zeigen grob in dieselbe Richtung, negativ grob in entgegengesetzte, und das ist der ganze Test hinter dem Weglassen abgewandter Flächen und hinter der Frage, ob eine Kraft Arbeit an einem Körper verrichtet oder gegen ihn. Die Physik benutzt dieselbe Zahl unter dem Namen Arbeit: die Arbeit einer Kraft ist die Kraft skalar multipliziert mit dem zurückgelegten Weg, deshalb leistet schräges Drücken weniger als gerades und rechtwinkliges Drücken überhaupt keine. Wenn Sie den Winkel selbst brauchen und nicht nur das Verhältnis, gibt die Seite ihn heraus, und die Zahlen, die man wiedererkennen sollte, sind 0, 90 und 180 Grad — gleichgerichtet, rechtwinklig und entgegengesetzt. Alles andere ist ein Vektorpaar, das von diesen dreien abgewichen ist, und eine nützliche Prüfung ist, dass das Vorzeichen des Skalarprodukts zum Winkel passen muss: ein negatives Skalarprodukt und ein Winkel unter 90 Grad können nicht beide richtig sein. Zwei senkrechte Vektoren dagegen erkennt man am Skalarprodukt allein, ohne den Winkel überhaupt anzusehen.

Rechenbeispiele

  1. 1 2 2 und 2 2 1

    1. Skalarprodukt: 1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 1 = 2 + 4 + 2 = 8
    2. Länge von u: √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
    3. Länge von v: √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
    4. Kosinus: 8 ÷ (3 × 3) = 0,888889, und der Arkuskosinus davon ist 27,2659…, gerundet 27,266

    Die Eingabe, mit der die Seite lädt, und eine saubere: beide Vektoren haben die Länge genau 3, der Kosinus ist also nichts anderes als das Skalarprodukt geteilt durch neun. Zwei verschiedene Vektoren, ein Skalarprodukt, zwei Beträge, ein Winkel — die ganze Seite in einer Zeile. Der Winkel liegt unter 90 Grad und das Skalarprodukt ist positiv, und das ist die Vorzeichenprüfung, die man bei jeder Antwort laufen lassen sollte.

  2. 3 4 0 und 4 3 0

    1. Skalarprodukt: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 12 + 12 = 24
    2. Länge beider: √(9 + 16) = 5, weil die dritte Komponente null ist
    3. Kosinus: 24 ÷ (5 × 5) = 0,96, und der Arkuskosinus davon ist 16,2602…

    Zwei Vektoren in der flachen Ebene, mit einer ausdrücklichen Null als dritter Komponente, um zu zeigen, dass ein zweidimensionaler Vektor nichts anderes ist als ein dreidimensionaler mit einer Null darin. Beide Längen kommen exakt als 5 heraus, und das ist das Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3 zu 4 zu 5 bei seiner üblichen Arbeit. Der Winkel ist klein und das Skalarprodukt groß und positiv, und das ist die Gestalt zweier Vektoren, die ziemlich in dieselbe Richtung zeigen.

  3. 1 0 und 0 1

    1. Skalarprodukt: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Länge beider: 1
    3. Kosinus: 0 ÷ 1 = 0, und der Arkuskosinus von null ist genau 90 Grad

    Die Antwort, für die diese Seite am häufigsten benutzt wird. Ein Skalarprodukt von null heißt, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen, und diese beiden sind das denkbar schlichteste Beispiel: einer entlang der x-Achse, einer entlang der y-Achse. Beachten Sie, dass der Winkel als genau 90 zurückkommt und nicht als gerundete Zahl, weil der Kosinus genau null ist und bis dorthin weder eine Wurzel noch eine Division nötig war. Das ist der Test auf einen rechten Winkel, und er braucht nichts von der Trigonometrie, die die Winkelausgabe verwendet.

  4. 1 2 3 und 4 5 6

    1. Skalarprodukt: 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 32
    2. Länge von u: √(1 + 4 + 9) = √14 = 3,741657…, gerundet 3,7417
    3. Länge von v: √(16 + 25 + 36) = √77 = 8,774964…, gerundet 8,775
    4. Kosinus: 32 ÷ (3,741657 × 8,774964) = 0,974631…, und der Arkuskosinus davon ist 12,9331…, gerundet 12,9332

    Zwei Vektoren ohne saubere Längen, und die Zeile, die man ansehen sollte, wenn man sehen will, was die Rundung kostet. Beide Beträge sind Wurzeln, die nie enden, der Kosinus wird also aus ihren ungerundeten Werten berechnet und nicht aus den 3,7417 und 8,775 auf dem Bildschirm; deshalb ergibt 32 geteilt durch das Produkt der beiden gedruckten Zahlen 0,9746 und landet auf demselben Winkel, aber nur knapp. Der Winkel ist klein, weil die beiden Vektoren fast parallel sind — 4 5 6 ist ungefähr 1 2 3 vergrößert.

  5. -1 0 0 und 1 0 0

    1. Skalarprodukt: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
    2. Länge beider: 1
    3. Kosinus: −1 ÷ 1 = −1, und der Arkuskosinus von −1 ist genau 180 Grad

    Das andere Ende des Bereichs. Zwei Vektoren, die genau in entgegengesetzte Richtungen zeigen, haben ein Skalarprodukt gleich dem negativen Produkt ihrer Längen, hier also −1, was einen Kosinus von −1 und einen Winkel von 180 Grad ergibt. Diese Zeile zeigt, warum das Skalarprodukt negativ sein kann und was ein negativer Wert bedeutet: keinen Fehler und keinen kleineren Winkel, sondern zwei Pfeile, die voneinander weg zeigen.

Einschränkungen

Beide Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben, und ein Paar, bei dem das nicht so ist, wird abgelehnt statt den kürzeren mit Nullen aufzufüllen. Der Nullvektor wird vollständig abgelehnt: ein Vektor, dessen Komponenten alle null sind, hat keine Richtung, der Winkel zwischen ihm und irgendetwas anderem ist also undefiniert, und die Seite lehnt lieber die ganze Rechnung ab, als einen Winkel von null Grad zu zeigen, der als gleiche Richtung gelesen würde. Die Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Semikolon oder ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt zwei Komponenten, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen, und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500 und nicht 1,500. Bis zu 200 Komponenten werden je Vektor angenommen, weit jenseits jedes von Hand geschriebenen Falls und deutlich unterhalb der Größen, mit denen eine Datenpipeline arbeitet. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und der Winkel wird aus den ungerundeten Beträgen berechnet, das Multiplizieren der gedruckten Zahlen kann den gedruckten Winkel also nicht immer exakt reproduzieren. Die Seite ist für das Skalarprodukt und den Winkel da und für nichts sonst: sie liefert nicht das Kreuzprodukt, nicht die Projektion eines Vektors auf den anderen und keine Einheitsvektoren, und sie berücksichtigt nicht, worin die Komponenten gemessen wurden — ein Skalarprodukt aus Komponenten in Metern kommt also als reine Zahl zurück und nicht in Quadratmetern.

Häufige Fragen

Wie tippe ich die Komponenten ein?
Getrennt durch Leerzeichen oder durch ein Semikolon: 1 2 2 und 1;2;2 funktionieren beide. Ein Komma zwischen zwei Ziffern ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen, und ein Trennzeichen mit genau drei Ziffern dahinter ist mehrdeutig und wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie also 1500, nicht 1.500 und nicht 1,500. Die beiden Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben, und es gibt keine Obergrenze für deren Anzahl, solange sie übereinstimmt — zwei Dimensionen und drei Dimensionen sind dieselbe Seite.
Was sagt mir das Skalarprodukt eigentlich?
Wie sehr die beiden Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Es ist am größten, wenn sie parallel in dieselbe Richtung weisen, null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen, und negativ, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Sein Wert hängt außerdem davon ab, wie lang die Vektoren sind, ein großes Skalarprodukt bei langen Vektoren heißt also nicht, dass der Winkel klein wäre — geteilt durch die beiden Längen, was die Seite für Sie erledigt, ergibt den Kosinus des Winkels.
Wie erkenne ich, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen?
Ihr Skalarprodukt ist null. Das ist der ganze Test, und er kommt mit den Multiplikationen allein aus — ohne Wurzeln und ohne Trigonometrie, weshalb er in Programmen genau in dieser Form verwendet wird. Die Seite gibt den Winkel trotzdem aus, und er wird 90 anzeigen, aber wenn es nur um die Rechtwinkligkeit geht, entscheidet das Skalarprodukt sie bereits für sich.
Warum kann das Skalarprodukt negativ sein?
Weil es neben der Größe auch die Richtung erfasst. Zwei Vektoren, die grob aufeinander zu zeigen, ergeben eine positive Zahl; im rechten Winkel heben sich die beiden Beiträge auf und das Produkt ist null; grob voneinander weg zeigen ergibt eine negative. Ein negatives Skalarprodukt geht immer mit einem Winkel über 90 Grad einher, und die beiden sollten sich nie widersprechen — tun sie es, stimmt etwas an den Eingaben nicht.
Warum wird ein Vektor aus lauter Nullen abgelehnt?
Weil der Nullvektor keine Richtung hat und der Winkel zwischen ihm und irgendetwas anderem damit undefiniert ist. Sein Skalarprodukt mit allem ist null und seine Länge ist null, die Berechnung des Kosinus hieße also, durch null zu teilen. Eine Seite, die null Grad zurückgäbe, würde behaupten, er zeige in dieselbe Richtung wie Ihr Vektor, und das wäre eine Aussage über eine Richtung, die es nicht gibt.
In welcher Einheit steht die Antwort?
Der Winkel steht in Grad, und die anderen drei Ausgaben haben überhaupt keine Einheit. Das Skalarprodukt ist eine Summe von Produkten von Komponenten, ist also in Quadratmetern, wenn die Komponenten in Metern gemessen wurden, und eine reine Zahl, wenn es reine Zahlen waren; die Seite lässt die Einheit lieber weg, als sie zu raten, denn dieselbe Rechnung dient einer Richtung, einer Kraft und einer Liste von Testergebnissen.

Quellen

Verwandte Rechner

Kreuzprodukt-RechnerKreuzprodukt zweier Vektoren und sein Betrag.Vektorbetrag-RechnerLänge eines Vektors im zwei- oder dreidimensionalen Raum.Winkel-zwischen-Vektoren-RechnerDer Winkel zwischen zwei Vektoren über das Skalarprodukt.Vektorprojektion-RechnerSkalare und vektorielle Projektion zweier Vektoren.