Was ist der Betrag eines Vektors?

Er ist die Länge des Vektors: jede Komponente quadriert, die Quadrate addiert und daraus die Wurzel. Er ist eine einzige Zahl und sagt, wie groß der Vektor ist, ohne etwas darüber auszusagen, wohin er zeigt. Ein vom Ursprung zu einem Punkt gezeichneter Vektor hat denselben Betrag wie der Abstand des Ursprungs von diesem Punkt, und deshalb sieht der Ausdruck aus wie die Abstandsformel — er ist die Abstandsformel.

Wie rechne ich die Länge eines Vektors von Hand aus?

Quadrieren Sie jede Komponente, addieren Sie die Quadrate und ziehen Sie aus der Summe die Wurzel. Für 3 4 ist das 9 plus 16, also 25, und die Wurzel aus 25 ist 5. Für 1 1 ist das 1 plus 1, also 2, und die Wurzel aus 2 ist auf vier Stellen 1,4142. Der mittlere Schritt ist der einzige, bei dem man sich vertun kann, und genau ihn listet die Tabelle dieser Seite für jede Zeile auf.

Kann ich einen zwei- oder einen dreidimensionalen Vektor eingeben?

Beides, und es gibt nichts einzustellen: zwei Einträge sind ein zweidimensionaler Vektor, drei Einträge ein dreidimensionaler. Dasselbe Feld nimmt beide, weil die Rechnung dieselbe Rechnung ist — ein Vektor in der Ebene ist ein Vektor im Raum, dessen dritte Komponente zufällig 0 ist, und seine Länge ist dieselbe Wurzel mit zwei Summanden darunter statt mit drei.

Wie groß ist der Betrag des Nullvektors?

Null, und diese Seite meldet das, statt die Eingabe abzulehnen. Jede Komponente ist 0, also ist jedes Quadrat 0, also ist die Summe 0 und ihre Wurzel 0. In der Rechnung wurde nichts durch die Länge geteilt, und darin liegt der Grund, warum hier kein Fehler steht — die Einheitsvektorseite weist dieselbe Eingabe gerade deshalb ab, weil die Länge dort ein Divisor ist.

Sagt mir der Betrag die Richtung?

Nein, und er kann es nicht: Er ist eine einzige Zahl, und eine Richtung braucht mindestens zwei. Die Vektoren 3 4, −3 4 und 0 5 haben drei verschiedene Richtungen und sind alle drei fünf lang, mit der Länge lassen sie sich also nicht unterscheiden. Wenn Sie die Richtung brauchen, lesen Sie die Komponenten direkt oder normieren Sie den Vektor zu einem Einheitsvektor, der die Richtung behält und stattdessen die Größe wegwirft.

Wofür braucht man den Betrag eines Vektors?

Zum Vergleichen von Größen und als Zulieferung für den nächsten Schritt einer längeren Rechnung. Zwei Kräfte oder zwei Geschwindigkeiten werden über den Betrag in eine Reihenfolge gebracht, wenn die Richtungen nebensächlich sind. Er ist außerdem die Zahl, durch die sehr viele andere Formeln teilen oder mit der sie multiplizieren — Normieren eines Vektors, Projektion eines Vektors auf einen anderen und das Skalarprodukt verbrauchen ihn —, deshalb wird er oft für sich ausgerechnet, auch wenn die Länge nicht das Endergebnis ist.

Vektorbetrag-Rechner

Ergebnis

5,0000

Betrag des Vektors

Der Vektorbetrag-Rechner gibt die Vektorlänge aus den Komponenten eines Vektors. Tippen Sie zwei oder drei Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas — 3 4 oder 2 3 6 für einen dreidimensionalen Vektor —, und die Seite quadriert jede Komponente, addiert die Quadrate und zieht die Wurzel. Diese eine Zahl ist der Betrag eines Vektors, und sie ist zugleich der Abstand vom Ursprung zu dem Punkt, den die Komponenten benennen, denn die Länge eines vom Ursprung aus gezeichneten Pfeils ist genau dieser Abstand. Zwei und drei Komponenten sind beide zulässig, und die Anzahl der Einträge sagt, was gemeint war. Dass die Antwort eine einzige Zahl ist, ist ihr Nutzen und ihre Grenze zugleich: So werden Größen verglichen, wenn die Richtungen keine Rolle spielen — und genau das geht verloren, wenn man wissen muss, wohin etwas zeigt. Drei ganz verschiedene Vektoren teilen sich in der Tabelle unten eine Länge von 5. Nichts hier teilt durch irgendetwas, der Nullvektor ist also eine gewöhnliche Eingabe und seine Länge von 0 eine gewöhnliche Antwort.

Vektoren und ihre Beträge

Vektor	Betrag des Vektors
3 4	5
5 12	13
1 1	1.4142
-3 4	5
2 3 6	7
1 1 1	1.7321
0 5	5
0 0	0

Acht Vektoren und ihre Längen. Die zweite Spalte ist die, die man zuerst liest, denn drei der acht Zeilen drucken denselben Wert: 3 4, −3 4 und 0 5 sind drei verschiedene Vektoren — einer nach rechts oben, einer nach links oben, einer gerade nach oben —, und jeder von ihnen ist 5 lang. Diese Wiederholung ist der Zweck der Tabelle. Ein Betrag ist eine einzige Zahl, und eine einzige Zahl kann nicht sagen, wohin ein Vektor zeigt; die Seite, die nur den Betrag meldet, hat diese Information also mit Absicht weggeworfen. Die ersten beiden Zeilen sind die ganzzahligen Fälle, 3-4-5 und 5-12-13, in denen die Summe der Quadrate zufällig eine Quadratzahl ist und nichts gerundet wird. Die dritte und die sechste Zeile sind die Fälle gleicher Komponenten, in der Ebene und im Raum, und beide ergeben Wurzeln, die nie abbrechen. Die fünfte Zeile ist der dreidimensionale ganzzahlige Fall: 2-3-6 ergibt genau 7. Die siebte Zeile liegt auf einer Achse, ihre Länge ist also einfach die Komponente, die nicht null ist. Die achte Zeile ist der Nullvektor und druckt 0 — diese Seite beantwortet ihn, statt ihn abzulehnen, weil eine Länge hier kein Divisor ist. Die erste Spalte enthält die Eingabe genau wie eingetippt; die Leerzeichen darin sind Trennzeichen und nicht Teil der Zahlen. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (1.4142 statt 1,4142), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen.

Formel

|u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²)

Vektor u: Der Vektor, dessen Länge gesucht ist: zwei oder drei Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas. Sonst kennzeichnet ihn nichts — die Anzahl der Einträge ist das, was sagt, ob ein Vektor in der Ebene oder einer im Raum gemeint ist
|u|: Die Länge selbst: jede Komponente quadriert, die Quadrate addiert und daraus die Wurzel. Das ist die Zahl im Ergebnisfeld
u₁² + u₂² + …: Die Summe der Quadrate, die die Rechenbeispiele unten Term für Term auflisten. Sie ist der einzige Zwischenschritt der Rechnung, und sie ausgeschrieben zu sehen macht das Ergebnis von Hand nachprüfbar
√: Die Wurzel, und deshalb sind so viele Ergebnisse irrational. 3 4 ergibt genau 5, weil 9 plus 16 zufällig 25 ist; 1 1 ergibt 1,4142, und kein endlicher Dezimalbruch ist gleich dieser Zahl
Zwei Komponenten: Ein Vektor in der Ebene. Beide Anzahlen sind zulässig und keine ist ein Sonderfall: Ein zweidimensionaler Vektor ist ein dreidimensionaler, dessen dritte Komponente 0 ist
Nullvektor: Ein Vektor, dessen Komponenten alle 0 sind. Seine Länge ist 0, und das ist eine Antwort und keine Ablehnung — diese Seite teilt durch nichts, und genau deshalb wird der Nullvektor hier angenommen und von den Seiten abgewiesen, die normieren
Vier Nachkommastellen: So breit wird die Antwort geschrieben. Exakt, wenn die Summe der Quadrate eine Quadratzahl ist, sonst auf vier Stellen gerundet
Ohne Einheit: Nichts auf dieser Seite weiß, worin die Komponenten gemessen wurden, und die Antwort trägt deren Einheit. Eine Länge von 5 heißt 5 von dem, was eingetippt wurde

Nehmen Sie diese Seite, wenn die Größe einer Sache zählt und ihre Richtung nicht. Wer eine Länge berechnen will, ohne sich um die Richtung zu kümmern, ist hier richtig. Der klarste Fall ist der Vergleich von Größen: Zwei Kräfte, zwei Geschwindigkeiten oder zwei Verschiebungen werden allein über die Länge in eine Reihenfolge gebracht, und die Richtung stört dabei nur. Der zweite Fall ist eine Länge, die ein Schritt in einer längeren Rechnung ist — der Betrag ist der Divisor beim Normieren eines Vektors, der Nenner in der Projektionsformel und einer der beiden Faktoren im Skalarprodukt; er wird also weit häufiger für sich ausgerechnet, als er um seiner selbst willen gebraucht wird. Der dritte Fall ist der handfesteste von allen: Die Komponenten eines Vektors sind die Koordinaten eines Punktes, seine Länge ist also der Abstand dieses Punktes vom Ursprung, und der Ausdruck ist die Abstandsformel, die Sie vielleicht schon unter einem anderen Namen kennen. Was die Antwort nicht trägt, ist die Richtung, und das sollte man ausdrücklich sagen, weil es leicht zu überlesen ist. Eine Länge von 5 kommt ebenso aus 3 4 wie aus −3 4 und aus 0 5. Wenn Sie wissen müssen, welchen dieser Fälle Sie vor sich haben, ist die Länge nicht die richtige Seite — die Komponenten oder der Einheitsvektor sind es. Eine zweikomponentige Eingabe ist in Ordnung und wird nicht aufgefüllt: Sie ist ein Vektor in der flachen Ebene, und ihre Länge ist dieselbe Abstandsformel mit zwei Termen. Der Nullvektor wird angenommen, und seine Länge von 0 ist eine wahre Aussage und kein Fehler.

Rechenbeispiele

3 4
1. Jede Komponente quadrieren: 3² = 9 und 4² = 16
2. Die Quadrate addieren: 9 + 16 = 25
3. Die Wurzel ziehen: √25 = 5
Die Eingabe, mit der die Seite startet, und der sauberste Fall überhaupt. 9 plus 16 ist 25, eine Quadratzahl, die Antwort ist also eine ganze Zahl, an der nichts gerundet wurde — das passiert, weil 3 und 4 die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks 3-4-5 sind. Prüfen Sie es andersherum: Ein Punkt drei nach rechts und vier nach oben liegt fünf vom Ursprung entfernt, und das ist dasselbe wie die Aussage, dass der Vektor 3 4 fünf lang ist.
5 12
1. Jede Komponente quadrieren: 5² = 25 und 12² = 144
2. Die Quadrate addieren: 25 + 144 = 169
3. Die Wurzel ziehen: √169 = 13
Das nächste pythagoreische Zahlentripel nach 3-4-5 und der Beleg, dass eine exakte Antwort kein Einzelfall ist. Beide Komponenten sind größer als im ersten Beispiel, und die Antwort ist trotzdem ganzzahlig. Außerdem zeigt es, dass die Antwort durch keine der beiden Komponenten begrenzt wird: 13 ist größer als 5 und größer als 12, und genau das macht die Wurzel aus einer Summe.
1 1
1. Jede Komponente quadrieren: 1² = 1 und 1² = 1
2. Die Quadrate addieren: 1 + 1 = 2
3. Die Wurzel ziehen: √2 = 1,414214…, angezeigt als 1,4142
Der gewöhnliche Fall und nicht die Ausnahme: Die meisten Quadratsummen sind keine Quadratzahlen, die meisten Antworten also irrational und auf vier Stellen gerundet. √2 ist die einfachste von ihnen und die, die man kennen sollte — sie taucht immer auf, wenn eine Einheit gleichmäßig auf zwei Komponenten verteilt wird. Prüfen Sie die Definition rückwärts: 1,4142 zum Quadrat ist 1,99996, also 2 im Rahmen der Rundung.
0 0
1. Jede Komponente quadrieren: 0² = 0 und 0² = 0
2. Die Quadrate addieren: 0 + 0 = 0
3. Die Wurzel ziehen: √0 = 0
Der Nullvektor, und diese Seite beantwortet ihn, statt ihn abzuweisen. Die Länge eines Vektors vom Ursprung zum Ursprung ist 0, und in der Rechnung wurde nichts durch etwas geteilt, es gibt also keinen Grund abzulehnen. Die Seiten, die einen Vektor normieren, weisen dieselbe Eingabe ab, weil dort die Länge ein Divisor ist — das Urteil gehört zur gestellten Frage und nicht zur Eingabe.

Einschränkungen

Zwei oder drei Komponenten werden angenommen, und nur diese: Eine einzelne Zahl ist eine vorzeichenbehaftete Größe und keine Richtung, und vier oder mehr entsprechen keiner Länge, nach der jemand diese Seite gefragt hätte. Eine zweikomponentige Eingabe wird nicht auf drei aufgefüllt — sie liegt in der flachen Ebene, und dieselbe Richtung in drei Koordinaten geschrieben hat eine dritte Komponente von 0, weshalb das Feld nicht fragen muss, was gemeint ist. Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt zwei Komponenten, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb), und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500. Die vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und die Antwort wird aus der ungerundeten Quadratsumme gerechnet; die gedruckte Zahl muss also nicht exakt wieder die Zahl ergeben, von der Sie ausgegangen sind. Die Länge ist eine reine Zahl: Nichts hier weiß, ob die Komponenten Meter, Newton oder gar nichts waren, und ein Betrag trägt deren Einheit. Das eine, was die Antwort wirklich nicht kann, ist irgendetwas über die Richtung auszusagen. Eine Länge von 5 teilen sich 3 4, −3 4 und 0 5, und eine Seite, die nur die Länge meldet, hat diesen Unterschied von der Konstruktion her weggeworfen. Für die Richtung nehmen Sie die Komponenten selbst oder den daraus gebildeten Einheitsvektor; für einen Vergleich, der die Richtung ignoriert, ist diese Seite die ganze Antwort — und darin liegt ihr Zweck.

Häufige Fragen

Was ist der Betrag eines Vektors?: Er ist die Länge des Vektors: jede Komponente quadriert, die Quadrate addiert und daraus die Wurzel. Er ist eine einzige Zahl und sagt, wie groß der Vektor ist, ohne etwas darüber auszusagen, wohin er zeigt. Ein vom Ursprung zu einem Punkt gezeichneter Vektor hat denselben Betrag wie der Abstand des Ursprungs von diesem Punkt, und deshalb sieht der Ausdruck aus wie die Abstandsformel — er ist die Abstandsformel.
Wie rechne ich die Länge eines Vektors von Hand aus?: Quadrieren Sie jede Komponente, addieren Sie die Quadrate und ziehen Sie aus der Summe die Wurzel. Für 3 4 ist das 9 plus 16, also 25, und die Wurzel aus 25 ist 5. Für 1 1 ist das 1 plus 1, also 2, und die Wurzel aus 2 ist auf vier Stellen 1,4142. Der mittlere Schritt ist der einzige, bei dem man sich vertun kann, und genau ihn listet die Tabelle dieser Seite für jede Zeile auf.
Kann ich einen zwei- oder einen dreidimensionalen Vektor eingeben?: Beides, und es gibt nichts einzustellen: zwei Einträge sind ein zweidimensionaler Vektor, drei Einträge ein dreidimensionaler. Dasselbe Feld nimmt beide, weil die Rechnung dieselbe Rechnung ist — ein Vektor in der Ebene ist ein Vektor im Raum, dessen dritte Komponente zufällig 0 ist, und seine Länge ist dieselbe Wurzel mit zwei Summanden darunter statt mit drei.
Wie groß ist der Betrag des Nullvektors?: Null, und diese Seite meldet das, statt die Eingabe abzulehnen. Jede Komponente ist 0, also ist jedes Quadrat 0, also ist die Summe 0 und ihre Wurzel 0. In der Rechnung wurde nichts durch die Länge geteilt, und darin liegt der Grund, warum hier kein Fehler steht — die Einheitsvektorseite weist dieselbe Eingabe gerade deshalb ab, weil die Länge dort ein Divisor ist.
Sagt mir der Betrag die Richtung?: Nein, und er kann es nicht: Er ist eine einzige Zahl, und eine Richtung braucht mindestens zwei. Die Vektoren 3 4, −3 4 und 0 5 haben drei verschiedene Richtungen und sind alle drei fünf lang, mit der Länge lassen sie sich also nicht unterscheiden. Wenn Sie die Richtung brauchen, lesen Sie die Komponenten direkt oder normieren Sie den Vektor zu einem Einheitsvektor, der die Richtung behält und stattdessen die Größe wegwirft.
Wofür braucht man den Betrag eines Vektors?: Zum Vergleichen von Größen und als Zulieferung für den nächsten Schritt einer längeren Rechnung. Zwei Kräfte oder zwei Geschwindigkeiten werden über den Betrag in eine Reihenfolge gebracht, wenn die Richtungen nebensächlich sind. Er ist außerdem die Zahl, durch die sehr viele andere Formeln teilen oder mit der sie multiplizieren — Normieren eines Vektors, Projektion eines Vektors auf einen anderen und das Skalarprodukt verbrauchen ihn —, deshalb wird er oft für sich ausgerechnet, auch wenn die Länge nicht das Endergebnis ist.

Quellen

Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the operation this page performs and the definition its table is built on — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for a length function on vectors, of which the square-root-of-sum-of-squares used here is the ordinary Euclidean case — Wolfram MathWorld (United States)
Distance — the distance between two points as the length of the vector joining them, which is why a vector's magnitude and the distance from the origin are the same calculation — Wolfram MathWorld (United States)
Betrag eines Vektors — die Länge als Wurzel aus der Summe der Komponentenquadrate, mit Herleitung über den Satz des Pythagoras, Rechenregeln und Beispielen — Mathebibel (Deutschland)