Vektor-Rechner

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) û = u ÷ |u|

Vektor u

Die eine Eingabe: zwei oder drei Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas. Zwei Einträge sind ein Vektor in der Ebene, drei ein Vektor im Raum — die Anzahl ist das Einzige, was das festlegt; eine Einstellung für die Dimension gibt es nicht

u = (u₁, u₂, u₃)

Die Komponenten: die eingetippten Zahlen, als Vektor zurückgelesen. Bei zwei Einträgen steht in der dritten Komponente eine 0, und das ist keine Auffüllung, sondern genau das, was dieselbe Richtung in drei Koordinaten geschrieben ergibt

|u|

Der Betrag: jede Komponente quadriert, die Quadrate addiert und daraus die Wurzel gezogen. Er steht in der ersten Ergebniszeile und beantwortet die Frage, wie groß der Vektor ist

û

Der Einheitsvektor, auch die Richtung genannt: jede Komponente durch den Betrag geteilt. Er zeigt auf genau dieselbe Gerade wie die Eingabe und hat von der Konstruktion her den Betrag 1; was er trägt, ist also die Richtung und sonst nichts

u ÷ |u|

Die Division, die die beiden Auskünfte trennt. Die Komponenten sind das, was hineinging, die Komponenten des Einheitsvektors sind dasselbe geteilt durch die Länge — und diese Seite druckt beides, damit der Schritt sichtbar wird statt nur behauptet zu sein. Genau das tun die Nachbarseiten nicht

Nullvektor

Abgelehnt, und der Grund ist eng umrissen: sein Betrag ist 0, die Division für den Einheitsvektor wäre also 0 ÷ 0, und es gibt keine Richtung zu berichten. Der Nullvektor ist keine unzulässige Eingabe — die Betragsseite daneben beantwortet dieselbe Liste aus Nullen mit 0 —, aber diese Seite verspricht drei Auskünfte und kann nur zwei davon liefern

Zwei Komponenten

Angenommen. Ein Vektor mit zwei Komponenten ist ein Vektor in der Ebene, sein Betrag ist dieselbe Wurzel mit zwei Summanden darunter, und die dritte Komponente jeder Ausgabe ist 0

Vier Nachkommastellen

So breit werden die Ausgaben geschrieben. Die Komponentenzeilen geben die Eingabe exakt wieder, solange sie ganzzahlig oder ein endlicher Dezimalbruch war; der Betrag ist oft eine ganze Zahl; der Einheitsvektor ist fast immer gerundet, weil eine Division durch eine Wurzel selten aufgeht

Ohne Einheit

Komponenten, Betrag und die Komponenten des Einheitsvektors sind alles reine Zahlen. Nichts hier weiß, worin die Komponenten gemessen wurden, und alle drei Auskünfte tragen dieselbe unbekannte Einheit — außer dem Einheitsvektor selbst, der einheitenlos ist

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie einen einzigen Vektor haben und alles wissen wollen, was sich ohne einen zweiten über ihn sagen lässt. Die Komponentenzeilen sind die Eingabe, als Zahlen zurückgelesen — nützlich, wenn sie von Hand geschrieben wurde und Sie sehen wollen, wie sie gelesen wurde; die Betragszeile sagt, wie groß er ist; die Zeilen des Einheitsvektors sagen, wohin er zeigt. Die letzten beiden sind das Paar, auf das es in der Praxis ankommt, denn zusammen sind sie die beiden Hälften eines Vektors — eine Größe und eine Richtung —, und diese Seite ist der Ort, an dem sie direkt nebeneinander stehen. Sie ist eine Zusammenfassung und kein Ersatz: Wer nur die Länge will, ist auf einer Seite, die nur die Länge druckt, schneller, und für die Richtung gilt dasselbe; für alles mit zwei Vektoren — addieren, projizieren, Skalarprodukt — braucht man ohnehin eine Seite mit zwei Eingabefeldern. Was diese Seite hinzufügt, ist die Ansicht nebeneinander: Die Zeilen des Einheitsvektors sind die Komponentenzeilen geteilt durch den Betrag, in einem Feld gedruckt, sodass die Division abgelesen statt geglaubt werden kann. Zwei oder drei Komponenten sind beide zulässig, und die dritte Komponente eines zweikomponentigen Vektors ist durchgehend 0. Der Nullvektor ist die eine abgelehnte Eingabe, und zwar weil eine der drei versprochenen Auskünfte für ihn nicht existiert und nicht weil die Eingabe unzulässig wäre.

1. 3 4

   1. Komponenten: die Eingabe zurückgelesen ergibt (3, 4, 0)
   2. Betrag: √(9 + 16) = √25 = 5
   3. x-Komponente des Einheitsvektors: 3 ÷ 5 = 0,6
   4. y-Komponente des Einheitsvektors: 4 ÷ 5 = 0,8
   5. z-Komponente des Einheitsvektors: 0 ÷ 5 = 0

   Die Eingabe, mit der die Seite startet, und die Zeile, die zeigt, warum die Komponenten überhaupt gedruckt werden. Jede Zahl der zweiten Gruppe ist eine Zahl der ersten Gruppe geteilt durch 5, und weil beide Gruppen auf dem Bildschirm stehen, lässt sich diese Division ablesen statt ausrechnen. Der Betrag ist hier eine ganze Zahl, weil 3-4-5 ein rechtwinkliges Dreieck ist — deshalb gehen auch die beiden Komponenten des Einheitsvektors exakt auf. Prüfen Sie die Division in die andere Richtung: 0,6 mal 5 ist 3 und 0,8 mal 5 ist 4, das Multiplizieren des Einheitsvektors mit dem Betrag gibt den Vektor also zurück.

2. 0 0 5

   1. Komponenten: die Eingabe zurückgelesen ergibt (0, 0, 5)
   2. Betrag: √(0 + 0 + 25) = 5
   3. x-Komponente des Einheitsvektors: 0 ÷ 5 = 0
   4. y-Komponente des Einheitsvektors: 0 ÷ 5 = 0
   5. z-Komponente des Einheitsvektors: 5 ÷ 5 = 1

   Ein Vektor, der auf der z-Achse liegt, und der Fall, in dem die Komponentenzeilen ihren Platz am deutlichsten verdienen. Die Eingabe 0 0 5 könnte man als Vektor mit einer einzigen Zahl darin lesen; die Komponentenzeilen machen klar, dass es ein dreidimensionaler Vektor ist, dessen erste zwei Einträge zufällig null sind. Der Einheitsvektor ist dann die Achsenrichtung selbst, 0 0 1, und die dritte Auskunft ist die einfachste mögliche Probe auf die Division: 5 geteilt durch 5 ist 1 und 0 geteilt durch 5 ist 0.

3. 2 3 6

   1. Komponenten: (2, 3, 6)
   2. Betrag: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   3. x-Komponente des Einheitsvektors: 2 ÷ 7 = 0,285714…, angezeigt als 0,2857
   4. y-Komponente des Einheitsvektors: 3 ÷ 7 = 0,428571…, angezeigt als 0,4286
   5. z-Komponente des Einheitsvektors: 6 ÷ 7 = 0,857143…, angezeigt als 0,8571

   Der gewöhnliche dreidimensionale Fall und der Fall, der zeigt, dass die drei Auskünfte wirklich verschiedene Zahlen sind. Der Betrag ist eine ganze Zahl, 7, keine einzige Komponente des Einheitsvektors dagegen: alle drei sind periodische Dezimalbrüche, auf vier Stellen gerundet. Die Komponenten selbst sind exakt, und der Vergleich mit der Gruppe des Einheitsvektors ist die ganze Rechnung — 2 durch 7, 3 durch 7, 6 durch 7. Auffällig ist auch, dass die größte Komponente, die 6, die größte Komponente des Einheitsvektors liefert: Teilt man drei Zahlen durch denselben Wert, kann sich ihre Reihenfolge nicht ändern.

4. −3 4

   1. Komponenten: (−3, 4, 0)
   2. Betrag: √(9 + 16) = 5, derselbe wie bei 3 4
   3. x-Komponente des Einheitsvektors: −3 ÷ 5 = −0,6
   4. y-Komponente des Einheitsvektors: 4 ÷ 5 = 0,8
   5. z-Komponente des Einheitsvektors: 0 ÷ 5 = 0

   Das erste Beispiel mit einem geänderten Vorzeichen, und die Zeile, die zeigt, welche der drei Auskünfte das Vorzeichen erreicht. Der Betrag bleibt bei 5, weil ein negiertes Vorzeichen die Summe der Quadrate nicht ändert. Die Komponenten behalten es, das ist offensichtlich. Der Einheitsvektor behält es ebenfalls, denn eine Division durch eine positive Länge kann einen Vektor nicht umdrehen — von den drei Auskünften tragen also nur die Komponenten und der Einheitsvektor die Richtung, und der Betrag ist die eine, die es nicht kann. Legen Sie die Tabelle dieser Seite daneben: Die beiden Zeilen stehen nebeneinander und unterscheiden sich in genau einem Vorzeichen.

Zwei oder drei Komponenten werden angenommen, sonst nichts. Die Überschneidungen mit den Nachbarwerkzeugen sind real und sollten benannt werden, denn diese Seite ist eine Zusammenfassung und die Nachbarn sind Spezialisten: Die Betragszeile trägt genau dieselbe Zahl wie die Seite zum Vektorbetrag, die drei Zeilen des Einheitsvektors tragen genau dieselben Zahlen wie die Einheitsvektorseite, und keine dieser beiden Seiten druckt die Komponenten. Wer eine dieser einzelnen Antworten sucht, bekommt sie auf der kürzeren Seite schneller; was diese Seite hinzufügt, sind die Komponenten neben dem Einheitsvektor, und das ist der einzige Ort, an dem die Division als Division sichtbar wird. Sie behandelt einen Vektor, alles mit zweien — addieren, subtrahieren, projizieren, Skalarprodukt, Winkel — gehört auf die Seiten mit zwei Eingabefeldern. Der Nullvektor wird abgelehnt: sein Betrag ist 0 und er hat keine Richtung, die Zeilen des Einheitsvektors ließen sich also nicht füllen, und das Ergebnisfeld druckt entweder zu jeder Zeile einen Wert oder zu keiner. Diese Ablehnung betrifft das Versprechen dieser Seite und nicht die Eingabe, die die Betragsseite mit 0 beantwortet. Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt zwei Komponenten, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb), und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500 und nicht 1,500. Ein Vektor mit zwei Komponenten wird angenommen, und seine dritte Komponente ist durchgehend 0 statt zu fehlen. Nichts hier weiß, worin die Komponenten gemessen wurden — der Einheitsvektor ist einheitenlos, die Komponenten und der Betrag tragen die Einheit der Eingabe. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit.

Was gibt mir diese Seite, was die anderen Vektorseiten nicht geben?

Die Komponenten, als Zahlen neben dem Einheitsvektor gedruckt, in den sie geteilt wurden. Die Betragszeile trägt dieselbe Zahl wie die Betragsseite und die Zeilen des Einheitsvektors tragen dieselben Zahlen wie die Einheitsvektorseite; die Auskünfte selbst sind also nicht neu. Neu ist, sie in einem Feld mit den Komponenten zu haben — nur hier sieht man 3 und 4 in der einen Gruppe und 0,6 und 0,8 in der nächsten und kann die Division direkt ablesen.

Welche der Zahlen ist die Richtung?

Die drei Zeilen des Einheitsvektors, und sie müssen zusammen gelesen werden: eine einzelne Komponente ist keine Richtung. Der Einheitsvektor zeigt auf genau dieselbe Gerade wie der eingetippte Vektor, nur mit herausgeteilter Länge, sein eigener Betrag ist also in jedem Fall 1, und seine Werte sagen reines über die Richtung aus. Die Betragszeile darüber ist eine einzelne Zahl und kann eine Richtung überhaupt nicht ausdrücken, deshalb braucht es alle drei Zeilen.

Warum werden die Komponenten gedruckt, wenn ich sie doch selbst eingetippt habe?

Weil die Eingabe als Zahlen neben dem Einheitsvektor zu sehen der Zweck dieser Seite ist. Sie klärt außerdem, wie die Eingabe gelesen wurde: 0 0 5 könnte man für einen Vektor mit einer einzigen Zahl halten, und die Komponentenzeilen zeigen, dass es ein dreidimensionaler Vektor mit zwei Nullen ist. Ohne sie stünden ein Betrag und eine Richtung im Feld, ohne sichtbaren Zusammenhang zur Eingabe.

Warum wird der Nullvektor abgelehnt, während die Betragsseite ihn annimmt?

Weil diese Seite drei Auskünfte verspricht und für den Nullvektor nur zwei davon existieren: die Komponenten sind 0 0 0 und der Betrag ist 0, aber es gibt keine Richtung — ihn zu normieren hieße, durch eine Länge von null zu teilen. Die Betragsseite verspricht eine Auskunft und kann sie liefern, dieselbe Eingabe wird dort also beantwortet. Das Ergebnisfeld druckt zu jeder Zeile einen Wert, ein teilweise leeres Ergebnis kann diese Seite deshalb nicht zeigen.

Worin unterscheidet sich diese Seite vom Vektorbetrag-Rechner?

Jene Seite beantwortet eine Frage, diese beantwortet drei, und die Betragszahl selbst ist auf beiden dieselbe. Wenn Sie nur die Länge wollen, sind Sie auf der kürzeren Seite schneller. Diese Seite ist für den Fall, dass Sie Länge und Richtung zusammen wollen und sehen möchten, wie sie zusammenhängen — die Komponenten des Einheitsvektors sind die Komponenten geteilt durch den Betrag, und beides auf dem Bildschirm macht daraus etwas, das man nachprüfen kann, statt es zu glauben.

Kann ich einen zweidimensionalen Vektor eingeben?

Ja, und die dritte Komponente jeder Zeile kommt als 0 zurück. Ein Vektor mit zwei Komponenten ist ein Vektor in der Ebene, was dasselbe ist wie ein dreidimensionaler Vektor mit einer 0 an dritter Stelle; ein Feld dient also beiden, ohne dass man die Dimension einstellen müsste. Der Betrag ist dieselbe Wurzel mit zwei Summanden darunter, und der Einheitsvektor sind die zwei Komponenten geteilt durch diese Länge.

• Vector — the object this page describes, including the definition of its components and of the two quantities derived from them here, its magnitude and its direction — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the first of this page's three readings — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is how the direction reading is expressed and what the division by the magnitude produces — Wolfram MathWorld (United States)
• Vektor — die Grundbegriffe zu Komponenten, Betrag und Richtung, mit Rechenregeln und Beispielen (der Betrag eines Vektors wird dort als Länge über den Satz des Pythagoras eingeführt) — Mathebibel (Deutschland)