Vektoraddition-Rechner

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) u − v = u + (−v) |u + v| = √(w₁² + w₂² + w₃²)

Vektor u

Der erste Vektor, als Liste aus zwei oder drei Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas. In welchem der beiden Felder er steht, ändert beim Addieren nichts und dreht beim Subtrahieren nur das Vorzeichen um; man darf ihn also schlicht als den ersten behandeln

Vektor v

Der zweite Vektor, genauso geschrieben. Er muss gleich viele Komponenten haben wie der erste: Für das Addieren eines zweikomponentigen zu einem dreikomponentigen Vektor gibt es keine Regel, weil die dritte Zahl nichts hätte, womit sie sich paaren könnte

u + v

Die Summe, komponentenweise ausgerechnet. Jede Komponente der Antwort benutzt nur die Komponenten an derselben Stelle der beiden Eingaben — die ersten zusammen, die zweiten zusammen und so weiter

u − v

Die Differenz, also die Summe, nachdem zuvor jede Komponente des zweiten Vektors negiert wurde. Das Vorzeichen des zweiten Vektors umzudrehen ist der ganze Unterschied zwischen Addieren und Subtrahieren, deshalb dient ein Schalter beiden

x-, y- und z-Komponente des Ergebnisvektors

Die drei Zeilen der Antwort, zusammen als ein Vektor gelesen. Die dritte ist 0, sobald beide Eingaben zweikomponentige Vektoren sind: Diese Null ist keine Auffüllung, sondern das, was dieselbe Richtung in drei Koordinaten geschrieben ergibt

|u + v|

Der Betrag der Resultierenden, also die Wurzel aus der Summe der Quadrate ihrer Komponenten. Das ist eine andere Frage als die nach den drei Komponenten und verdient eine eigene Zeile: Die Komponenten sagen, wohin das Ergebnis zeigt, der Betrag sagt, wie weit es reicht

Addieren oder subtrahieren

Die eine Entscheidung, die diese Seite verlangt, und das Einzige, was sich zwischen den beiden Betriebsarten ändert. Es sind dieselben zwei Felder und dieselben vier Ergebniszeilen; nur die Rechnung ändert sich

Nullvektor

Ein Vektor, dessen Komponenten alle 0 sind. Eine Summe oder eine Differenz kann der Nullvektor sein, und das ist eine korrekte Antwort und kein Fehler — ein Vektor plus sein Negatives ergibt genau das, und die Tabelle enthält eine Zeile, in der es passiert

Vier Nachkommastellen

So breit werden die Ausgaben geschrieben. Die Komponenten sind exakt, solange die Eingaben ganze Zahlen sind, denn es wird nur addiert und subtrahiert; gerundet wird für den Betrag, also für eine Wurzel

Nehmen Sie diese Seite, wenn zwei Vektoren gleichzeitig auf dieselbe Sache wirken und Sie ihre gemeinsame Wirkung wissen wollen. Zwei Kräfte auf einen Körper, zwei Geschwindigkeiten in einer Strömung, zwei hintereinander gegangene Verschiebungen — das alles sind komponentenweise Additionen, und die Antwort ist der eine Vektor, der die Aufgabe beider erledigen würde. Die Subtraktion beantwortet die andere Hälfte derselben Frage: u − v ist der Vektor, der von der Spitze von v zur Spitze von u führt; deshalb ist sie die Operation hinter jeder Relativlage und jeder Relativgeschwindigkeit. Dass Vektoren sich so leicht addieren lassen, liegt daran, dass die Komponenten sich nie vermischen — jede Stelle der Antwort hängt nur von derselben Stelle der Eingaben ab und von nichts sonst —, und das ist wissenswert, weil es für die Multiplikation nicht gilt: Dort hängt jede Komponente der Antwort von jeder Komponente beider Eingaben ab, und es tritt ein Winkel auf. Zwei und drei Komponenten sind beide in Ordnung, die beiden Eingaben müssen zueinander passen. Eine Summe von null ist ein gewöhnliches Ergebnis: ein Vektor plus sein Negatives ist null, und null ist ein völlig brauchbarer Vektor. Eines sollte man auseinanderhalten: Der danebenstehende Betrag ist der Betrag des Ergebnisses und nicht die Summe der beiden Eingabebeträge — außer wenn die beiden Vektoren in dieselbe Richtung zeigen, sind das verschiedene Zahlen, und dieser Unterschied ist der ganze Grund, warum man Vektoren nicht addiert, indem man ihre Längen addiert.

1. 3 4 + 1 2

   1. x-Komponente: 3 + 1 = 4
   2. y-Komponente: 4 + 2 = 6
   3. z-Komponente: 0 + 0 = 0, weil beide Eingaben zweikomponentige Vektoren sind
   4. Betrag: √(16 + 36 + 0) = √52 = 7,211103…, angezeigt als 7,2111

   Die Eingabe, mit der die Seite startet, und ein Fall, in dem jeder Schritt sichtbar ist. Die beiden Vektoren zeigen ungefähr in dieselbe Richtung, die Antwort ist also lang: 7,2111 gegenüber Eingabelängen von 5 und 2,2361, deren Summe 7,2361 wäre. Hier liegen die beiden nah beieinander, aber nicht gleich, und gleich sind sie nur, wenn die beiden Vektoren in genau dieselbe Richtung zeigen — zwei Zeilen der Tabelle sind dieser Fall, und überall sonst in ihr fällt die Summe kürzer aus als die beiden Längen zusammen.

2. 3 4 − 1 2

   1. x-Komponente: 3 − 1 = 2
   2. y-Komponente: 4 − 2 = 2
   3. z-Komponente: 0 − 0 = 0
   4. Betrag: √(4 + 4) = √8 = 2,828427…, angezeigt als 2,8284

   Dieselben zwei Vektoren wie im ersten Beispiel, nur die andere Option gewählt, und geändert hat sich allein das Vorzeichen, das auf die zweite Eingabe angewandt wird. Die Antwort ist praktisch 2u − (u + v) und fällt viel kürzer aus als jede der beiden Eingaben, weil die Vektoren in ähnliche Richtungen zeigen und beim Auseinandernehmen wenig übrig bleibt. Zwischen diesem und dem ersten Beispiel hin und her zu schalten ist der schnellste Weg zu sehen, was der Schalter tut.

3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

   1. x-Komponente: 1 + (−1) = 0
   2. y-Komponente: 2 + (−2) = 0
   3. z-Komponente: 3 + (−3) = 0
   4. Betrag: √(0 + 0 + 0) = 0

   Ein Vektor, zu seinem eigenen Negativen addiert, ergibt den Nullvektor. Es ist nichts schiefgegangen: Die beiden Pfeile sind gleich lang und zeigen in entgegengesetzte Richtungen, die beschriebene Bewegung endet also dort, wo sie begonnen hat. Die Seite berichtet das, statt die Eingabe abzulehnen, und die siebte Zeile der Tabelle ist derselbe Fall. Stellen Sie bei derselben Eingabe auf Subtrahieren um, verdoppelt sich die Antwort stattdessen — 2 4 6 mit einem Betrag von 7,4833 —, deutlicher lässt sich die Wirkung des Vorzeichens nicht zeigen.

4. −1 2 − 3 −5

   1. x-Komponente: −1 − 3 = −4
   2. y-Komponente: 2 − (−5) = 2 + 5 = 7
   3. z-Komponente: 0 − 0 = 0
   4. Betrag: √(16 + 49) = √65 = 8,062258…, angezeigt als 8,0623

   Der Fall, in dem sich die Vorzeichen nicht aufheben und sorgfältig gerechnet werden muss. Minus fünf zu subtrahieren addiert fünf, die y-Komponente wächst also auf 7, und die x-Komponente wird negativ, weil die erste Komponente des zweiten Vektors größer ist. Das Ergebnis ist länger als jede der beiden Eingaben, und das passiert immer, wenn die beiden Vektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen — der Betrag ist das deutlichste Anzeichen dafür, denn die Komponenten −4 und 7 sehen nicht ohne Weiteres nach einem langen Vektor aus, bis man sie quadriert und addiert.

Beide Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben, und jeder muss zwei oder drei haben: Das Ergebnisfeld hat drei Komponentenzeilen, und ein Missverhältnis ließe die dritte Zahl der einen Eingabe ohne Partner zurück. Ein Vektor mit zwei Komponenten wird nicht auf drei aufgefüllt — er liegt in der flachen Ebene, und die 0 in der dritten Zeile ist das, was diese Richtung in drei Koordinaten geschrieben ergibt. Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt zwei Komponenten, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb), und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500. Die Tabelle zeigt nur die Addition, weil sie erzeugt wird, ohne zu wissen, welche Option gewählt ist; die Subtraktion sind dieselben Zeilen mit umgedrehten Vorzeichen des zweiten Vektors, und die Rechenbeispiele unten decken sie ab. Der neben dem Ergebnis gedruckte Betrag ist der Betrag des Ergebnisses und nicht die Summe der beiden Eingabebeträge. Die beiden Längen zusammenzuzählen gibt nur dann die richtige Antwort, wenn die Vektoren in genau dieselbe Richtung zeigen; einen Vektor zu seinem Negativen zu addieren ergibt 0 statt des doppelten Betrags, und weiter auseinander können diese beiden Fälle nicht liegen. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit. Nichts hier weiß, worin die Komponenten gemessen wurden, und die Antwort trägt deren Einheit — Komponenten und Betrag stehen alle in derselben Einheit, die drei Komponenten sollten also nicht für sich als Länge gelesen werden.

Was bedeutet es, zwei Vektoren zu addieren?

Zwei Vektoren addieren heißt, ihre Komponenten Stelle für Stelle zu addieren: die ersten zusammen, dann die zweiten, dann die dritten, und diese drei Summen sind die Komponenten der Antwort. Es wird nichts multipliziert und kein Winkel gebraucht, und genau das macht die Vektoraddition so viel leichter als die Vektormultiplikation — die Komponenten vermischen sich nie, jede Stelle der Antwort hängt also von genau einer Stelle jeder Eingabe ab.

Worin unterscheidet sich die Vektorsubtraktion von der Addition?

Um ein Vorzeichen. Subtrahieren ist Addieren, nachdem der zweite Vektor zuvor negiert wurde; u − v und u + (−v) sind also dieselbe Rechnung in zwei Schreibweisen. Deshalb stecken beide hier hinter einem Schalter: Geändert wird genau ein Vorzeichen, und sie unter denselben Eingaben nebeneinanderzustellen zeigt das am klarsten. Subtrahieren Sie 1 2 von 3 4, kommt 2 2 heraus; addieren Sie sie, kommt 4 6 heraus.

Kann die Summe der Nullvektor sein?

Ja, und das ist eine korrekte Antwort und kein Fehler. Einen Vektor zu seinem genauen Negativen zu addieren ergibt null: Die beiden Pfeile sind gleich lang und zeigen in entgegengesetzte Richtungen, die beschriebene Verschiebung kehrt also zu ihrem Ausgangspunkt zurück. Die Seite meldet für alle drei Komponenten 0 und einen Betrag von 0. Die siebte Zeile der Tabelle ist dieser Fall, und dieselbe Eingabe ergibt beim Subtrahieren stattdessen 2u.

Müssen die beiden Vektoren gleich viele Komponenten haben?

Ja. Für das Addieren eines zweikomponentigen zu einem dreikomponentigen Vektor gibt es keine Regel, weil die dritte Zahl nichts hätte, womit sie sich paaren könnte. Jede Eingabe darf zwei oder drei Komponenten haben — das ist die Grenze des Feldes und nicht die der Rechnung —, aber die beiden Anzahlen müssen übereinstimmen, und die Seite sagt das, statt den fehlenden Eintrag stillschweigend als Null zu behandeln.

Ist der Betrag der Summe die Summe der Beträge?

Nein, und das ist der Fehler, den diese Seite am liebsten verhindern möchte. Der Betrag der Summe ist nur dann die Summe der beiden Beträge, wenn die Vektoren in genau dieselbe Richtung zeigen; zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen, kann er die Differenz der Beträge sein, und stehen sie senkrecht aufeinander, ist er kleiner als jeder von beiden. Der Grund ist, dass sich Komponenten teilweise aufheben können, und wohin diese Aufhebung geht, hängt von den Richtungen ab und nicht von den Größen.

Kann ich einen zweidimensionalen Vektor zu einem dreidimensionalen addieren?

Nein, und die Seite lehnt das ab, statt die fehlende dritte Komponente mit einer Null aufzufüllen. Ein Vektor mit zwei Komponenten ist ein Vektor in der Ebene, was dasselbe ist wie ein Vektor mit drei Komponenten, dessen dritter Eintrag 0 ist — aber das ist eine Aussage darüber, wie die Ebene im Raum liegt, und keine Erlaubnis, eine Zahl zu nichts zu addieren. Schreiben Sie die dritte Komponente ausdrücklich hin, wenn Sie das meinen.

• Vector addition — the component-by-component sum, and the parallelogram rule that says the same thing geometrically, which is what the two input boxes and the resultant row implement — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector subtraction — the difference of two vectors as the sum with the second one negated, which is why one control on this page serves both operations — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object being added, including the rule that two vectors may only be added when they have the same number of components and that the sum of a vector and its negative is the zero vector — Wolfram MathWorld (United States)
• Vektoraddition — die komponentenweise Addition zweier Vektoren mit Rechenregeln, Beispielen und der geometrischen Deutung als Kräfteparallelogramm — Mathebibel (Deutschland)