Vektorprojektion-Rechner

s = (u · v) ÷ |v| proj_v u = (s ÷ |v|) · v = ((u · v) ÷ |v|²) · v

Ausgangsvektor u

Der Vektor, der projiziert wird — der, dessen Schatten gesucht ist. Zwei oder drei Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas. Er darf der Nullvektor sein, und seine Projektion ist dann einfach null

Zielvektor v

Der Vektor, auf den der Schatten fällt, und der, der die Richtung liefert. Dieses Feld und das andere sind nicht austauschbar: Wer sie vertauscht, bekommt eine andere Antwort, deshalb sind sie nach ihrer Rolle benannt und nicht durchnummeriert

u · v

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren: jedes Komponentenpaar multipliziert und die Produkte addiert. Es steht im Zähler beider Formeln, und deshalb lohnt der Hinweis, dass ein Skalarprodukt von null heißt, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen — genau der Fall, der eine Projektion von null erzeugt

|v|

Der Betrag des Zielvektors, und durch ihn wird das Skalarprodukt geteilt. Hat der Zielvektor zufällig die Länge 1, ändert diese Division nichts, und die skalare Projektion ist dann einfach das Skalarprodukt — die erste Zeile der Referenztabelle ist dieser Fall, und sie ist die Zeile, die sich am leichtesten von Hand nachprüfen lässt

s

Die skalare Projektion: wie weit der Ausgangsvektor in Richtung des Zielvektors reicht, als Zahl mit Vorzeichen. Sie ist negativ, wenn die beiden grob in entgegengesetzte Richtungen zeigen, und null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Sie ist nicht die Länge des Ausgangsvektors und auch nicht das Skalarprodukt, sondern das Skalarprodukt geteilt durch die Länge des Zielvektors

proj_v u

Der Projektionsvektor: die skalare Projektion mal dem Einheitsvektor des Zielvektors, wodurch die Richtung wieder hineinkommt und ein Vektor entsteht, der genau auf der Geraden des Zielvektors liegt. Seine Länge ist der Betrag von s

Vorzeichen von s

Was das Umdrehen des Zielvektors bewirkt. Wird der Zielvektor negiert, wechselt die skalare Projektion das Vorzeichen, weil sich der Zähler umdreht und die quadrierte Länge im Nenner nicht — der Projektionsvektor aber bleibt unverändert, weil dieselbe Negation einmal oben und einmal unten steht

Nullvektor als Zielvektor

Wird abgelehnt. Der Zielvektor liefert die Richtung und den Divisor, und der Nullvektor hat beides nicht: Der Nenner wäre null, und es gibt keine Gerade, auf die projiziert werden könnte. Ein Nullvektor als Ausgangsvektor ist etwas anderes und wird angenommen, die Projektion ist dann null

Ohne Einheit

Die skalare Projektion und die drei Komponenten des Projektionsvektors sind hier reine Zahlen. Die skalare Projektion trägt dieselbe Einheit wie die Eingabekomponenten, denn sie ist eine in ihnen gemessene Länge, aber nichts auf dieser Seite weiß, welche das war

Vier Nachkommastellen

So breit werden die Ausgaben geschrieben. Die skalare Projektion ist häufig ein sauberer Bruch der Eingaben — 11 geteilt durch 5 ergibt genau 2,2 —, während die Vektorkomponenten fast immer gerundet werden

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie den Anteil eines Vektors wollen, der in Richtung eines anderen zeigt — das ist der Schritt hinter jedem Zerlegen in Komponenten. Der Horizontal- und der Vertikalanteil einer Kraft sind eine Projektion auf die beiden Achsen; die Arbeit einer Kraft ist die Projektion der Kraft auf die Wegrichtung mal der Strecke; ein Schatten, ein Anteil entlang einer Steigung und der Koeffizient einer Ausgleichsgeraden sind dieselbe Operation. Die beiden Ausgaben beantworten dabei zwei verschiedene Fragen. Der Skalar mit Vorzeichen beantwortet, wie viel — und in welche Richtung: Er ist der, mit dem man weiterrechnet, und ein negativer Wert heißt, dass der Ausgangsvektor vom Zielvektor weg lehnt. Der Vektor beantwortet, wo, und er ist der, den man nimmt, wenn die Antwort ein Vektor sein muss: Er liegt genau auf der Geraden des Zielvektors, lässt sich also zu etwas anderem addieren oder zeichnen. Den Zielvektor umzudrehen ist der schnellste Weg, den Unterschied zu sehen: Der Skalar wechselt das Vorzeichen, der Vektor nicht, weil der Skalar relativ zu einer Orientierung gemessen wird und der Vektor nicht. Senkrecht aufeinander stehende Vektoren ergeben in beiden Ausgaben eine Projektion von null, und null ist eine echte Antwort — sie sagt, dass der Ausgangsvektor überhaupt keinen Anteil entlang des Zielvektors hat. Die eine Eingabe, die nicht verwendet werden kann, ist der Nullvektor als Zielvektor, denn eine Richtung und einen Divisor ist genau das, was er nicht liefert.

1. 3 4 auf 1 0

   1. Skalarprodukt: 3 × 1 + 4 × 0 = 3
   2. Betrag des Zielvektors: |1 0| = 1
   3. Skalare Projektion: 3 ÷ 1 = 3
   4. Projektionsvektor: (3 ÷ 1) × (1, 0) = (3, 0, 0)

   Die Eingabe, mit der die Seite startet, und der Fall, in dem nichts verborgen bleibt: Der Zielvektor ist ein Einheitsvektor, die Division durch seine Länge ändert also nichts, und die skalare Projektion ist einfach das Skalarprodukt. Es ist zugleich der Fall, der sich am leichtesten mit dem Auge nachprüfen lässt, denn der Zielvektor liegt auf der x-Achse, und die Projektion ist der Ausgangsvektor ohne seine y-Komponente. Genau das tut eine Projektion im einfachsten Fall: Sie behält den Teil des Vektors, der in Richtung des Zielvektors zeigt, und wirft den Rest weg.

2. 1 2 auf 3 4

   1. Skalarprodukt: 1 × 3 + 2 × 4 = 11
   2. Betrag des Zielvektors: √(9 + 16) = 5
   3. Skalare Projektion: 11 ÷ 5 = 2,2
   4. Projektionsvektor: (2,2 ÷ 5) × (3, 4) = (1,32, 1,76, 0)

   Der gewöhnliche Fall, in dem der Zielvektor kein Einheitsvektor ist und beide Divisionen gemacht werden müssen. Die skalare Projektion kommt glatt heraus — 11 geteilt durch 5 ist 2,2 —, die Komponenten des Vektors dagegen nicht. Prüfen Sie nach, dass die Antwort wirklich auf der Geraden des Zielvektors liegt: 1,32 geteilt durch 3 ist 0,44, und 1,76 geteilt durch 4 ist ebenfalls 0,44, die beiden Komponenten stehen also im selben Verhältnis wie die des Zielvektors, und das heißt, auf dieser Geraden zu liegen. Die Länge der Projektion ist 2,2, also der Skalar, wie es sein soll.

3. 3 4 auf −1 0

   1. Skalarprodukt: 3 × (−1) + 4 × 0 = −3
   2. Betrag des Zielvektors: |−1 0| = 1
   3. Skalare Projektion: −3 ÷ 1 = −3
   4. Projektionsvektor: (−3 ÷ 1) × (−1, 0) = (3, 0, 0)

   Derselbe Ausgangsvektor und dieselbe Gerade wie im ersten Beispiel, nur zeigt der Zielvektor andersherum — und damit führt diese Zeile am deutlichsten vor, was die beiden Ausgaben jeweils wissen. Die skalare Projektion ist auf −3 gekippt: Sie wird entlang einer Orientierung gemessen, und die Orientierung hat sich geändert. Der Projektionsvektor ist Bit für Bit der aus dem ersten Beispiel, (3, 0, 0), denn das Negieren des Zielvektors bringt ein Minuszeichen in den Zähler und ein zweites in den quadrierten Nenner, und die beiden heben sich auf. Der Skalar weiß, wohin der Zielvektor zeigt; der Vektor kennt nur seine Gerade.

4. 1 0 auf 0 1

   1. Skalarprodukt: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
   2. Betrag des Zielvektors: |0 1| = 1
   3. Skalare Projektion: 0 ÷ 1 = 0
   4. Projektionsvektor: (0 ÷ 1) × (0, 1) = (0, 0, 0)

   Zwei Vektoren im rechten Winkel, und die Projektion ist in beiden Ausgaben null. Das ist eine echte Antwort und kein Fehlschlag: Sie sagt, dass der Ausgangsvektor keinen Anteil hat, der in Richtung des Zielvektors zeigt, und genau das bedeutet senkrecht. Ein Skalarprodukt von null ist das Signal, nach dem man Ausschau halten sollte, und es ist der einzige Weg zu einer skalaren Projektion von null, ohne dass einer der Vektoren selbst null ist. Beide Vektoren sind hier eine Einheit lang, keiner ist also klein — eine Projektion von null zwischen zwei Vektoren voller Länge ist beim ersten Mal einen Moment des Innehaltens wert.

5. 0 0 auf 3 4

   1. Skalarprodukt: 0 × 3 + 0 × 4 = 0
   2. Betrag des Zielvektors: √(9 + 16) = 5
   3. Skalare Projektion: 0 ÷ 5 = 0
   4. Projektionsvektor: (0 ÷ 5) × (3, 4) = (0, 0, 0)

   Der Nullvektor als Ausgangsvektor: Jedes Produkt im Skalarprodukt ist null, beide Ausgaben sind also null, ohne dass irgendein Divisionsproblem entsteht. Nichts auf dieser Seite lehnt diese Eingabe ab. Die Ablehnung läuft andersherum — der Zielvektor ist derjenige, der nicht null sein darf, weil er die Richtung und den Divisor liefert, und eine Projektion auf den Nullvektor hat keine Gerade, auf der sie landen könnte.

Beide Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben, und jeder muss zwei oder drei haben. Die beiden Felder sind nicht austauschbar, und die Beschriftungen sagen, welches welches ist: Der Ausgangsvektor wird projiziert, der Zielvektor ist der, auf den projiziert wird. Wer sie vertauscht, bekommt eine andere Antwort, die vollkommen vernünftig aussieht — wenn Sie ein Ergebnis überrascht, prüfen Sie deshalb die beiden Felder, bevor Sie die Rechnung prüfen. Der Zielvektor darf nicht der Nullvektor sein, weil er sowohl die Richtung als auch den Divisor liefert; der Ausgangsvektor darf null sein, und seine Projektion ist dann null. Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt zwei Komponenten, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb), und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und der Projektionsvektor wird aus der ungerundeten skalaren Projektion gerechnet: Eine Komponente zurückzulesen und durch die zugehörige Komponente des Zielvektors zu teilen ergibt deshalb nicht unbedingt genau die angezeigte skalare Projektion. Die Referenztabelle zeigt Ziel- und Ausgangsvektor so, wie sie eingetippt wurden, und danach die vier Ausgaben; eine Zeile mit einem Nullvektor als Zielvektor hat sie mit Absicht nicht, weil diese Seite den Fall nicht rechnen kann. Eine Überschneidung, die man benennen sollte: Das Skalarprodukt steht in der Projektionsformel als Zähler, und der Einheitsvektor steht in der zweiten Formel als die Richtung, die wieder hineinmultipliziert wird — diese Seite stützt sich also auf beide Werkzeuge, ohne eines davon zu sein, und die Projektion ist der Quotient, nicht das Skalarprodukt und kein normierter Vektor.

Was ist der Unterschied zwischen der skalaren Projektion und dem Projektionsvektor?

Die skalare Projektion ist eine einzige Zahl mit Vorzeichen: wie weit der Ausgangsvektor in Richtung des Zielvektors reicht, negativ, wenn die beiden auseinanderstreben. Der Projektionsvektor ist dieselbe Strecke, geschrieben als Vektor entlang der Geraden des Zielvektors. Der Skalar weiß, wohin der Zielvektor zeigt, der Vektor nicht — drehen Sie den Zielvektor um, wechselt der Skalar das Vorzeichen, während der Projektionsvektor unverändert bleibt. Nehmen Sie den Skalar zum Weiterrechnen und den Vektor, wenn die Antwort ein Vektor sein muss.

Warum wird die skalare Projektion negativ?

Weil der Ausgangsvektor vom Zielvektor weg zeigt statt zu ihm hin. Die skalare Projektion wird entlang einer Orientierung gemessen, wenn die beiden Vektoren also grob in entgegengesetzte Richtungen zeigen, ist die Antwort negativ. Das ist kein Fehler und auch keine Vorzeichenkonvention, die man fallen lassen könnte: Eine Kraft, die entlang einer Richtung nach hinten zieht, hat dort tatsächlich eine negative Komponente, und aus demselben Grund kann Arbeit negativ herauskommen.

Welcher Vektor ist der, der projiziert wird?

Der Ausgangsvektor im ersten Feld. Das zweite Feld ist der Zielvektor, der die Richtung liefert, entlang derer der Schatten fällt. Die beiden sind auf dieser Seite nicht austauschbar: u auf v zu projizieren und v auf u zu projizieren sind verschiedene Zahlen, und wer die beiden Felder vertauscht, bekommt eine andere Antwort, ohne dass irgendetwas kaputt aussieht. Deshalb sind die Felder nach ihrer Rolle benannt und heißen nicht Vektor u und Vektor v.

Was passiert, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen?

Beide Ausgaben sind null, und das ist eine echte Antwort und kein Fehlschlag. Ein Skalarprodukt von null heißt, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen — es ist der einzige Weg zu einer skalaren Projektion von null, ohne dass einer der Vektoren selbst null ist —, und eine Projektion von null sagt, dass der Ausgangsvektor keinen Anteil in Richtung des Zielvektors hat. Die vierte Zeile der Referenztabelle ist dieser Fall. Senkrecht aufeinander stehende Kräfte verrichten aneinander keine Arbeit, was dieselbe Aussage in der Physik ist.

Darf der Vektor, der projiziert wird, der Nullvektor sein?

Ja, und beide Ausgaben sind dann null: Jedes Produkt im Skalarprodukt ist null, und geteilt wird durch die Länge des Zielvektors, was unproblematisch ist. Die Ablehnung auf dieser Seite läuft andersherum. Der Zielvektor ist derjenige, der nicht null sein darf, weil er die Richtung und den Divisor liefert, und es gibt keine Gerade, auf die man den Nullvektor projizieren könnte.

Wie lautet die Projektionsformel?

Die skalare Projektion ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren geteilt durch die Länge des Zielvektors: s = (u · v) ÷ |v|. Der Projektionsvektor multipliziert diesen Skalar mit dem Einheitsvektor des Zielvektors, was dasselbe ist wie das Skalarprodukt mal dem Zielvektor geteilt durch dessen quadrierte Länge. Hat der Zielvektor bereits die Länge 1, vereinfachen sich beide Formeln, und die skalare Projektion ist einfach das Skalarprodukt; deshalb ist die erste Zeile der Referenztabelle die, die man von Hand nachprüfen sollte.

• Scalar projection — the length of the shadow one vector casts along another, signed, which is the first of this page's two outputs — Wolfram MathWorld (United States)
• Dot product — the sum of the products of corresponding components, which is the numerator of the projection and the quantity whose being zero means the vectors are perpendicular — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing along the target, which is what the scalar projection is multiplied by to give the projection vector — Wolfram MathWorld (United States)
• Skalarprodukt — Definition, Rechenregeln und die geometrische Deutung, deren Quotient mit der Länge des Zielvektors die Projektion ergibt; mit Beispielen zum Nachvollziehen — Mathebibel (Deutschland)