Winkel-zwischen-Vektoren-Rechner

cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|) θ = arccos(cos θ) u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ

Vektor u

Der erste Vektor, geschrieben als seine Komponenten, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas: 1 1 0 für drei Dimensionen, 0 3 für zwei, oder so viele, wie Sie brauchen. Eine feste Anzahl von Feldern gibt es nicht, weil die Seite jede Dimension annimmt, und beide Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben

Vektor v

Der zweite Vektor, genauso geschrieben und mit gleich vielen Komponenten wie der erste. Die beiden zu vertauschen ändert nichts — der Winkel zwischen ihnen ist in beide Richtungen derselbe

u · v

Das Skalarprodukt, das diese Seite verwendet, aber nicht ausgibt: die beiden ersten Komponenten multiplizieren, die beiden zweiten und so weiter und die Produkte addieren. Hier ist es das Rohmaterial des Winkels und keine Antwort für sich

|u| und |v|

Die Länge jedes Vektors, in welcher Einheit die Komponenten auch gemessen wurden: die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten. Durch diese beiden Zahlen wird das Skalarprodukt geteilt, und jede ist die eigene Sache ihres Vektors — dass die eine groß ist, sagt nichts über die andere

cos θ

Der Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren: das Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der beiden Längen. Er läuft von 1 für gleich gerichtete Vektoren über 0 beim rechten Winkel bis −1 für entgegengesetzt gerichtete und verlässt diesen Bereich nie. Aus dieser Zahl wird der Winkel tatsächlich gerechnet, deshalb gibt die Seite sie aus

θ

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren in Grad, von 0, wenn sie gleich gerichtet sind, über 90, wenn sie senkrecht aufeinander stehen, bis 180, wenn sie entgegengesetzt gerichtet sind. Er ist der Arkuskosinus der Zahl darüber, übernimmt also deren Bereich und kann nie außerhalb davon zurückkommen

Bogenmaß

Derselbe Winkel anders geschrieben: 180 Grad sind π im Bogenmaß, 90 ist die Hälfte davon, und die Ausgabe ist eine reine Zahl ohne Einheit. Formeln in der Analysis und in den meisten Programmiersprachen wollen das Bogenmaß, deshalb gibt die Seite beides aus, statt Sie mit π multiplizieren und durch 180 teilen zu lassen

Grad

Die Einheit der Hauptausgabe und die einzige Ausgabe der Seite, die überhaupt eine Einheit hat. Der Kosinus und der Wert im Bogenmaß sind reine Zahlen

Vier Nachkommastellen

So breit wird jede Ausgabe geschrieben. Der Kosinus ist nur in den Sonderfällen exakt — 0, 0,5, 1 und −1 —, und der Winkel ist nur exakt, wenn der Kosinus einer dieser Werte ist, also trägt fast jede Zeile dieser Seite gerundete Zahlen

Das ist die Seite für den Fall, dass Sie den Winkel selbst wollen und nicht nur die Beziehung zwischen zwei Richtungen. Drei Winkel erkennt man ohne jede Rechnung: Ein Kosinus von 1 heißt 0 Grad und die Vektoren sind gleich gerichtet, ein Kosinus von 0 heißt 90 Grad und sie stehen senkrecht aufeinander, und ein Kosinus von −1 heißt 180 Grad und sie sind entgegengesetzt gerichtet. Alles andere ist ein echter Winkel, und die Seite gibt ihn auf vier Nachkommastellen aus. Der häufigste praktische Einsatz ist, eine Richtung gegen eine Referenz zu prüfen — wie weit ein Wind von Nord gedreht hat, wie weit sich eine Kamera gedreht hat, wie weit eine gemessene Richtung von der abgewichen ist, die sie haben sollte. Aufgaben aus der Geometrie mit zwei bekannten Richtungen sind dieselbe Rechnung, und der Winkel zwischen zwei Geraden ebenfalls, sobald man jede als Vektor geschrieben hat. Die nützliche Gegenprobe bei jeder Antwort ist, dass Kosinus und Winkel dieselbe Geschichte erzählen müssen: Ein Kosinus über null gehört immer zu einem Winkel unter 90 Grad, ein negativer Kosinus zu einem darüber, und ein Kosinus von null zu genau 90. Wenn die beiden sich widersprechen, sind die Komponenten nicht die, für die Sie sie gehalten haben. Die Ausgabe im Bogenmaß ist für den Fall da, dass der Winkel gleich in eine Formel oder eine Zeile Code eingesetzt wird: Die wollen fast immer das Bogenmaß, und beim Umrechnen von Hand entstehen die Vorzeichenfehler und die Faktor-180-Fehler.

1. 1 1 0 und 1 0 1

   1. Skalarprodukt: 1 × 1 + 1 × 0 + 0 × 1 = 1
   2. Länge von u: √(1 + 1 + 0) = √2 = 1,414214
   3. Länge von v: √(1 + 0 + 1) = √2 = 1,414214
   4. Kosinus: 1 ÷ (1,414214 × 1,414214) = 1 ÷ 2 = 0,5
   5. Winkel: Der Arkuskosinus von 0,5 ist 60 Grad oder 60 × π ÷ 180 = 1,047198 im Bogenmaß

   Die Eingabe, mit der die Seite startet, und die sauberste Zeile, die es gibt: Der Kosinus kommt als genau ein Halb heraus und der Winkel als genau 60 Grad. Beachten Sie, dass das Skalarprodukt, also 1, nirgends auf dem Panel steht — diese Seite gibt den Kosinus und den Winkel aus, und das Skalarprodukt ist der Schritt dazwischen. Beide Längen sind die Wurzel aus zwei, multipliziert ergeben sie also genau 2, und deshalb kommen Kosinus und Winkel exakt heraus statt gerundet.

2. 3 4 0 und 4 3 0

   1. Skalarprodukt: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 24
   2. Länge von beiden: √(9 + 16) = 5, weil die dritte Komponente null ist
   3. Kosinus: 24 ÷ (5 × 5) = 0,96
   4. Winkel: Der Arkuskosinus von 0,96 ist 16,2602 Grad oder 0,2838 im Bogenmaß

   Die Zeile, die zeigt, warum sich der Kosinus zu drucken lohnt. Ein Kosinus von 0,96 klingt nach zwei Vektoren, die fast identisch sind, und der Winkel ist 16,2602 Grad — etwa ein Sechstel eines rechten Winkels. Der Kosinus quetscht den ganzen Bereich von 0 bis 90 Grad in die Zahlen zwischen 1 und 0, und er tut das ungleichmäßig; den Kosinus also als Bruchteil von irgendetwas zu lesen, geht schief. Beide Längen sind hier genau 5, das 3-4-5-Dreieck verrichtet also seine übliche Arbeit.

3. 1 0 und 0 1

   1. Skalarprodukt: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
   2. Länge von beiden: 1
   3. Kosinus: 0 ÷ 1 = 0
   4. Winkel: Der Arkuskosinus von null ist genau 90 Grad oder 1,570796 im Bogenmaß

   Die Antwort, für die die Seite am häufigsten geöffnet wird, und der exakte Fall: Ein Kosinus von null heißt senkrechte Vektoren, und der Winkel kommt als genau 90 zurück statt als gerundete Zahl. Diese beiden sind das schlichteste senkrechte Paar überhaupt, der eine entlang der x-Achse, der andere entlang der y-Achse. Der Wert im Bogenmaß, 1,5708, ist π ÷ 2.

4. −1 0 0 und 1 0 0

   1. Skalarprodukt: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
   2. Länge von beiden: 1
   3. Kosinus: −1 ÷ 1 = −1
   4. Winkel: Der Arkuskosinus von −1 ist genau 180 Grad oder 3,141593 im Bogenmaß

   Das andere Ende des Bereichs. Ein Kosinus von −1 ist der größte Winkel, den zwei Vektoren bilden können, nämlich 180 Grad, und im Bogenmaß ist das π. Zwei Vektoren, die in genau entgegengesetzte Richtungen zeigen, sind immer noch zwei Vektoren, und der Winkel zwischen ihnen ist nicht null — das ist die Zeile, die man ansehen sollte, wenn eine Antwort von 180 falsch erscheint. Sie ist es nicht: Entgegengesetzt ist eine Beziehung, genauso wie parallel eine ist.

5. 2 −3 und 4 5

   1. Skalarprodukt: 2 × 4 + (−3) × 5 = 8 − 15 = −7
   2. Länge von u: √(4 + 9) = √13 = 3,605551
   3. Länge von v: √(16 + 25) = √41 = 6,403124
   4. Kosinus: −7 ÷ (3,605551 × 6,403124) = −7 ÷ 23,086793 = −0,303201
   5. Winkel: Der Arkuskosinus von −0,303201 ist 107,6501 Grad oder 1,8788 im Bogenmaß

   Eine stumpfe Antwort, und das ist der Fall, der Leute erwischt: Zwei Vektoren können einen Winkel von mehr als 90 Grad bilden, und sie tun es immer dann, wenn das Skalarprodukt negativ ist. Eine Komponente von u ist hier negativ, und so schreibt man einen Vektor, der nach links oder nach unten zeigt. Der Kosinus von −0,3032 ist klein, aber sein Vorzeichen ist die ganze Botschaft — es sagt, dass die beiden Vektoren voneinander weg lehnen, und der Winkel von 107,6501 Grad stimmt damit überein.

Beide Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben, und ein Paar, bei dem das nicht stimmt, wird abgelehnt statt mit Nullen aufgefüllt. Der Nullvektor wird vollständig abgelehnt: Ein Vektor, dessen Komponenten alle null sind, hat keine Richtung, der Winkel zwischen ihm und irgendetwas anderem ist also nicht definiert, und die Seite lehnt die ganze Rechnung ab, statt einen Winkel von null zu zeigen, der als gleich gerichtet gelesen würde. Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt zwei Komponenten, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb), und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500. Pro Vektor sind bis zu 200 Komponenten erlaubt, weit über jeden von Hand geschriebenen Fall hinaus, aber unterhalb der Größen, mit denen eine Datenverarbeitung arbeitet. Das Skalarprodukt selbst ist mit Absicht nicht unter den Ausgaben: Es ist der Schritt, aus dem der Winkel gerechnet wird, und die Seite, die es als Antwort ausgibt, ist eine andere. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und beide Ausgaben werden aus den ungerundeten Längen gerechnet: Die angezeigten Zahlen wieder miteinander zu multiplizieren ergibt deshalb nicht unbedingt genau den angezeigten Winkel. Nichts auf der Seite weiß, in welcher Einheit die Komponenten gemessen wurden — die Eingaben sind reine Zahlen, und das sind der Kosinus und der Wert im Bogenmaß auch, wobei Grad die einzige Einheit auf der ganzen Seite ist.

Wie tippe ich die Komponenten ein?

Trennen Sie sie durch Leerzeichen oder durch ein Komma mit Leerzeichen: 1 1 0 und 1, 1, 0 funktionieren beide. Ein Komma zwischen zwei Ziffern ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb); eine Tausendergruppierung wie 1.500 wird abgelehnt statt geraten, schreiben Sie also 1500. Beide Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben, und es gibt keine Grenze für die Anzahl, solange sie übereinstimmt — zwei und drei Dimensionen sind dieselbe Seite.

Wozu ist der Kosinus des Winkels gut?

Er ist die Zahl, aus der der Winkel gerechnet wird, und in den drei Fällen, auf die es ankommt, ist er leichter zu lesen als der Winkel. Ein Kosinus von 1 heißt, die Vektoren sind gleich gerichtet, 0 heißt senkrecht, und −1 heißt entgegengesetzt. Alles dazwischen ist ein echter Winkel, und die Seite gibt ihn in Grad und im Bogenmaß aus.

Woran erkenne ich, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen?

Ihr Kosinus des Winkels ist null, und die Seite liest genau 90 Grad ab. Diese Prüfung braucht nichts von der Trigonometrie, die die Winkelausgabe verwendet — sie stimmt genau dann, wenn das Skalarprodukt null ist, wofür nur die Multiplikationen nötig sind. Diese Seite zeigt den Kosinus, damit der rechte Winkel sichtbar ist, ohne dass man etwas ausrechnen muss.

Warum ist der Winkel nie größer als 180 Grad?

Weil der Kosinus des Winkels zwischen −1 und 1 beschränkt ist und der Arkuskosinus nur Werte von 0 bis 180 Grad zurückgibt. Ein Winkel von 180 Grad heißt, dass die beiden Vektoren in genau entgegengesetzte Richtungen zeigen, und einen Winkel von 200 Grad zwischen zwei Richtungen gibt es nicht — 200 und 160 beschreiben dasselbe Pfeilpaar.

Warum gibt es zwei Winkelausgaben, Grad und Bogenmaß?

Weil die beiden Zielgruppen verschieden sind. Menschen lesen Grad; Formeln und Programmiersprachen wollen fast immer das Bogenmaß, und 180 Grad sind π. Beides auszugeben erspart jedem die Multiplikation mit π und die Division durch 180, und genau daraus entstehen die Faktor-180-Fehler. Der Wert im Bogenmaß ist eine reine Zahl ohne Einheit.

Warum wird ein Vektor aus lauter Nullen abgelehnt?

Weil der Nullvektor keine Richtung hat, der Winkel zwischen ihm und irgendetwas anderem also nicht definiert ist. Seine Länge ist null, und der Kosinus ist das Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der beiden Längen — ihn auszurechnen hieße also, durch null zu teilen. Eine Seite, die 0 Grad zurückgäbe, würde behaupten, er zeige in dieselbe Richtung wie Ihr Vektor, und das ist eine Aussage über eine Richtung, die es nicht gibt.

• Dot product — the sum of the products of corresponding components, and the identity equating it to the two lengths times the cosine of the angle, which is the equation this page solves backwards — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object with a magnitude and a direction whose components this page reads, and whose length is the square root of the sum of the squares of those components — Wolfram MathWorld (United States)
• Perpendicular — the right-angle relation, the one case where the cosine is exactly zero and the angle exactly 90 degrees, and the reason this calculation is worth doing at all — Wolfram MathWorld (United States)
• Winkel zwischen zwei Vektoren — Herleitung über das Skalarprodukt, die Sonderfälle 0°, 90° und 180° und Beispiele zum Nachvollziehen — Mathebibel (Deutschland)