Einheitsvektor-Rechner

û = u ÷ |u| |u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²) |û| = 1

Vektor u

Der Vektor, der normiert werden soll: zwei oder drei Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas, etwa 3 4. Zwei Komponenten sind ein Vektor in der Ebene, drei ein Vektor im Raum; ein Feld für die Anzahl gibt es nicht, die Länge der Liste sagt, was gemeint ist

|u|

Die Länge des Eingabevektors: die Wurzel aus der Summe der Komponentenquadrate. Das ist die Zahl, durch die alles geteilt wird, und sie ist die vierte Ausgabe im Feld — die Länge des eingetippten Vektors, nicht die des Einheitsvektors, dessen Länge immer 1 ist

û

Der Einheitsvektor: jede Komponente der Eingabe geteilt durch ihre Länge. Er zeigt auf genau dieselbe Gerade wie die Eingabe und hat die Länge 1, die beiden unterscheiden sich also in der Größe und nicht in der Richtung. Der Dachakzent ist die übliche Schreibweise dafür

x-Komponente

Die erste Komponente der Antwort: die erste Komponente der Eingabe geteilt durch die Länge. Ihr Vorzeichen ist das der Eingabe — eine Division durch eine positive Länge kann eine Richtung nicht umdrehen, ein nach links zeigender Vektor ergibt also einen nach links zeigenden Einheitsvektor

y-Komponente

Die zweite Komponente, genauso geteilt. Zusammen mit der x-Komponente legt sie die Richtung in der Ebene fest, unabhängig von der Länge des Ausgangsvektors

z-Komponente

Die dritte Komponente, genauso geteilt, und bei einer zweikomponentigen Eingabe 0. Diese Null ist keine Auffüllung: Ein zweidimensionaler Vektor liegt in der flachen Ebene, und dieselbe Richtung in drei Koordinaten geschrieben hat eine dritte Komponente von genau 0

|û| = 1

Die Eigenschaft, für die die Antwort gebaut ist, und der Grund, warum sie nicht als fünfte Zeile gedruckt wird. Der Betrag eines Einheitsvektors ist in jedem Fall 1, eine Zeile mit 1,0000 wäre also eine Konstante, die sich als Ergebnis verkleidet

Vier Nachkommastellen

So breit werden die Ausgaben geschrieben. Exakt nur, wenn die Länge der Eingabe ganzzahlig oder eine kurze Wurzel ist — 3 4 ergibt 5, und Drittel und Wurzeln gehen im Allgemeinen nicht auf

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie die Richtung für sich wollen, ohne die Größe daran. Der klarste Fall ist der Vergleich zweier Richtungen, deren Beträge in verschiedenen Größenordnungen liegen: Zwei Vektoren, die sich nur in der Länge unterscheiden, haben denselben Einheitsvektor; das Normieren streift also genau den Teil ab, nach dem Sie nicht gefragt haben. Der andere häufige Fall ist die Vorbereitung einer Eingabe für eine Formel, die einen Vektor der Länge 1 voraussetzt — Spiegelungen, Projektionen und Beleuchtungsrechnungen tun das alle, und ihnen einen Vektor der Länge 5 zu übergeben skaliert die Antwort still um den Faktor 5. Die mitgedruckte Länge macht die Division nachprüfbar: 3 4 ergibt 0,6 und 0,8, und man sieht die 5 aus beiden herauskommen. Zwei Dinge sollte man sich merken. Die Ausgabe trägt die Vorzeichen der Eingabe, ein nach links oder unten zeigender Vektor ergibt also einen nach links oder unten zeigenden Einheitsvektor — Normieren ändert, wie lang ein Vektor ist, und sonst nichts. Und die Länge der Ausgabe ist 1, egal was Sie eingetippt haben; deshalb druckt die Seite stattdessen die Länge der Eingabe, und das ist die Zahl, die Information trägt. Ein Vektor mit zwei Komponenten ist in Ordnung und kommt mit einer dritten Komponente von 0 zurück, weil das die Schreibweise derselben Richtung in drei Koordinaten ist. Der Nullvektor ist die eine abgelehnte Eingabe, denn er hat keine Richtung, die sich normieren ließe.

1. 3 4

   1. Länge: √(9 + 16) = √25 = 5
   2. x-Komponente: 3 ÷ 5 = 0,6
   3. y-Komponente: 4 ÷ 5 = 0,8
   4. z-Komponente: 0 ÷ 5 = 0, weil ein zweikomponentiger Vektor in der flachen Ebene liegt

   Die Eingabe, mit der die Seite startet, und der sauberste Fall überhaupt: Ein 3-4-5-Dreieck macht die Länge ganzzahlig, beide Komponenten gehen also exakt auf. Diese Zeile zeigt, wozu die vierte Ausgabe da ist — die 5 im Feld ist die Länge, durch die 3 und 4 jeweils geteilt wurden, und 0,6 und 0,8 daneben zu lesen ist die ganze Rechnung. Prüfen Sie es durch Quadrieren: 0,36 + 0,64 = 1.

2. 2 3 6

   1. Länge: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   2. x-Komponente: 2 ÷ 7 = 0,285714…, angezeigt als 0,2857
   3. y-Komponente: 3 ÷ 7 = 0,428571…, angezeigt als 0,4286
   4. z-Komponente: 6 ÷ 7 = 0,857143…, angezeigt als 0,8571

   Ein dreidimensionaler Fall, dessen Länge ebenfalls ganzzahlig ausfällt, 7, während es keine der drei Komponenten tut: Alle drei sind periodische Dezimalbrüche, auf vier Stellen gerundet. Diese Kombination ist der gewöhnliche Fall und keine Kuriosität — eine ganzzahlige Länge kommt häufig genug vor, ganzzahlige Komponenten des Einheitsvektors nicht. Die Richtung ist dieselbe wie bei 2 3 6, nur wurde die Länge aus ihr herausgeteilt.

3. -3 4

   1. Länge: √(9 + 16) = √25 = 5, dieselbe wie bei 3 4
   2. x-Komponente: −3 ÷ 5 = −0,6
   3. y-Komponente: 4 ÷ 5 = 0,8
   4. z-Komponente: 0 ÷ 5 = 0

   Das erste Beispiel mit negierter erster Komponente, und der Einheitsvektor behält das Vorzeichen: −0,6 und 0,8. Eine Division durch eine positive Länge kann einen Vektor nicht umdrehen, und in dieser Zeile wird das sichtbar. Ein nach links und oben zeigender Vektor ist eine völlig gewöhnliche Eingabe, und sein Einheitsvektor zeigt ebenfalls nach links und oben. Die Länge ist in beiden Fällen 5, denn das Negieren einer Komponente ändert sie nicht.

4. 0 5

   1. Länge: √(0 + 25) = 5
   2. x-Komponente: 0 ÷ 5 = 0
   3. y-Komponente: 5 ÷ 5 = 1
   4. z-Komponente: 0 ÷ 5 = 0

   Ein Vektor, der bereits auf einer der Achsen liegt, sein Einheitsvektor ist also die Achsenrichtung selbst: 0, 1, 0. Die vierte Ausgabe ist hier die Zeile, auf die es ankommt — sie zeigt 5, nicht 1. Ein Vektor der Länge 5, der gerade nach oben zeigt, hat einen Einheitsvektor der Länge 1, und das Feld sagt das, indem es die herausgeteilte Länge druckt und nicht die Konstante 1, die dabei herauskam.

5. 1 1 1

   1. Länge: √(1 + 1 + 1) = √3 = 1,732051…, angezeigt als 1,7321
   2. Jede Komponente: 1 ÷ 1,732051 = 0,577350…, angezeigt als 0,5774

   Die Raumdiagonale, und die drei Komponenten fallen gleich aus — sie müssen es auch, denn die drei Komponenten der Eingabe waren gleich, und sie alle durch dieselbe Zahl zu teilen kann das Verhältnis nicht zerstören. Die Länge ist eine Wurzel und keine ganze Zahl, exakt ist hier also nichts. Prüfen Sie das Ergebnis so, wie es die Definition dieser Seite verlangt: 0,5774 zum Quadrat ist 0,3334, und drei davon addieren sich im Rahmen der Rundung zu 1.

Zwei oder drei Komponenten werden angenommen, und nur diese: Eine einzelne Zahl ist eine vorzeichenbehaftete Größe und keine Richtung, und vier oder mehr passen nicht in die drei Komponentenzeilen des Feldes. Ein Vektor mit zwei Komponenten wird nicht im eigentlichen Sinne auf drei aufgefüllt — er liegt in der flachen Ebene, und die 0 in der dritten Zeile ist das, was dieselbe Richtung in drei Koordinaten geschrieben ergibt; deshalb muss die Seite Sie nicht fragen, was gemeint war. Der Nullvektor wird vollständig abgelehnt: Seine Länge ist null, es gäbe also nichts, wodurch geteilt werden könnte, und er hat keine Richtung, die die Antwort bewahren könnte. Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt zwei Komponenten, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb), und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Genauigkeitsaussage, und die Komponenten werden aus der ungerundeten Länge gerechnet; die gedruckten Zahlen müssen also nicht exakt quadriert und addiert 1 ergeben. Die im Feld gedruckte Länge ist die der Eingabe und nicht die der Antwort; die Länge der Antwort ist per Definition 1, und sie zu drucken hieße, eine Konstante zu drucken. Nichts auf dieser Seite weiß, worin die Komponenten gemessen wurden — ein Einheitsvektor hat keine Einheit, und darin liegt sein Zweck, während die Länge die Einheit der Eingabe trägt. Eine arithmetische Feinheit ist erwähnenswert: Das Vorzeichen jeder Komponente folgt der Eingabe, ein nach links zeigender Vektor ergibt also einen nach links zeigenden Einheitsvektor. Wer eine positive Antwort erwartet hat, hat einen anderen Vektor erwartet.

Was ist ein Einheitsvektor?

Ein Vektor der Länge 1, der in eine gegebene Richtung zeigt. Man bekommt ihn, indem man einen Vektor durch seine eigene Länge teilt; er trägt die Richtung ohne die Größe. Zwei Vektoren, die sich nur in ihrer Länge unterscheiden, haben denselben Einheitsvektor, und genau das macht ihn zum Mittel, Richtungen in verschiedenen Größenordnungen zu vergleichen.

Warum zeigt die vierte Zeile die Länge der Eingabe und nicht 1?

Weil die Länge eines Einheitsvektors in jedem einzelnen Fall 1 ist und eine Zeile, die dauerhaft 1,0000 anzeigt, eine Konstante wäre und kein Ergebnis. Die Länge der Eingabe ist die Zahl, die herausgeteilt wurde; sie zu drucken macht die Division sichtbar: 3 4 eintippen, 5 sehen und ablesen, dass 0,6 und 0,8 jeweils diese 5 im Nenner haben.

Kann ich einen Vektor mit nur zwei Komponenten eingeben?

Ja, und die dritte Komponente kommt als 0 zurück. Das ist keine Auffüllung — ein zweidimensionaler Vektor liegt in der flachen Ebene, und 0 ist seine dritte Komponente, wenn dieselbe Richtung in drei Koordinaten geschrieben wird. Das Ergebnisfeld hat drei Komponentenzeilen, zweikomponentige und dreikomponentige Eingaben teilen sich also ein Layout.

Warum behält die Antwort das Minuszeichen?

Weil eine Division durch eine Länge einen Vektor nicht umdrehen kann. Die Länge ist eine positive Zahl, jede Komponente behält also ihr Vorzeichen: Der Einheitsvektor von −3 4 ist −0,6 und 0,8. Hätten Sie eine positive Antwort erwartet, wäre das eine andere Richtung und nicht dieselbe, normiert.

Warum wird ein Vektor aus lauter Nullen abgelehnt?

Weil Normieren heißt, durch seine Länge zu teilen, und seine Länge ist null. Über die Division hinaus gibt es einen zweiten Grund: Der Nullvektor hat überhaupt keine Richtung, es gäbe also nichts, was die Antwort bewahren könnte. Die Seiten zu Winkeln und zum Skalarprodukt lehnen ihn ebenfalls ab, die Kreuzproduktseite dagegen nimmt ihn an — dort ergibt er tatsächlich den Nullvektor.

Wozu normiert man einen Vektor?

Um eine Richtung von einer Größe zu trennen. Formeln für Spiegelungen, Projektionen und Beleuchtung setzen voraus, dass der übergebene Vektor die Länge 1 hat; reicht man ihnen einen der Länge 5, skaliert das die Antwort ohne jede Warnung um den Faktor 5. Der zweite Anwendungsfall ist der Vergleich zweier Richtungen, die in verschiedenen Größenordnungen gemessen wurden: Beide normieren, und die Größen stören nicht mehr.

• Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is what this page returns, and the normalisation-by-division that produces it — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object being normalised, and the definition of its length as the square root of the sum of the squares of its components — Wolfram MathWorld (United States)
• Norm — the general name for the length of a vector, of which the square-root-of-sum-of-squares is the ordinary Euclidean case used here — Wolfram MathWorld (United States)
• Einheitsvektor — der Vektor der Länge 1 in einer gegebenen Richtung, seine Berechnung durch Division durch den Betrag und die Schreibweise mit Dachakzent — Mathebibel (Deutschland)