Kreuzprodukt-Rechner

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sin θ = Flächeninhalt des Parallelogramms

Vektor u

Der erste Vektor: genau drei Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas, etwa 1 2 3. Drei ist die einzige angenommene Anzahl, weil das Kreuzprodukt eine dreidimensionale Operation ist — ein zweidimensionales Paar wird abgelehnt statt mit einer Null aufgefüllt, was die Antwort still verändern würde

Vektor v

Der zweite Vektor, ebenfalls genau drei Zahlen. Die Reihenfolge der beiden Vektoren spielt hier eine Rolle, die sie beim Skalarprodukt nicht spielt: Vertauscht man sie, wechselt jede Komponente der Antwort das Vorzeichen

x-Komponente

Die erste Komponente der Antwort: die zweite Komponente des ersten Vektors mal der dritten des zweiten, minus dessen dritter mal der zweiten des zweiten. Jede Komponente eines Kreuzprodukts ist eine Differenz zweier Produkte, und daher kommen die Vorzeichen

y-Komponente

Dasselbe Muster um eine Stelle weitergedreht: die dritte Komponente des ersten Vektors mal der ersten des zweiten, minus dessen erster mal der dritten des zweiten. Diese Verschiebung falsch zu machen ist der häufigste Fehler — es kommt keine unsinnige Antwort heraus, sondern eine Komponente mit dem falschen Vorzeichen

z-Komponente

Das Muster noch einmal weitergedreht: die erste Komponente des ersten Vektors mal der zweiten des zweiten, minus dessen zweiter mal der ersten des zweiten. Die drei Komponenten zusammen sind der Vektor, der auf beiden Eingaben senkrecht steht

Betrag

Der Betrag des Ergebnisvektors: die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner drei Komponenten. Er ist zugleich der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Eingabevektoren aufspannen, und das Doppelte des Flächeninhalts des Dreiecks mit diesen beiden Seiten — was meist die nützlichere Lesart ist

|u| × |v| × sin θ

Dieselbe Länge von der anderen Seite geschrieben, mit θ als dem Winkel zwischen den beiden Eingaben. Sie sagt, dass die Länge am größten ist, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen, und gegen null geht, wenn sie sich in eine Linie legen; deshalb bedeutet ein Kreuzprodukt von null parallel — und deshalb ist das Skalarprodukt, das sich genau umgekehrt verhält, die Ergänzung zu dieser Seite

Senkrecht auf beiden

Die Eigenschaft, die die Ausgabe wertvoll macht: Das Ergebnis steht auf jeder der beiden Eingaben senkrecht. Im Ergebnis nachprüfbar, indem man eines der beiden Skalarprodukte bildet — beide sind, bis auf Rundung, null

Vier Nachkommastellen

So breit werden die Ausgaben geschrieben. Die Komponenten sind exakt, solange die Eingaben ganzzahlig und klein sind, was die meisten Handrechnungen abdeckt; wo sie es nicht sind, werden die Zahlen gerundet

Das Kreuzprodukt beantwortet eine andere Frage als das Skalarprodukt, und die beiden ergänzen sich, statt Alternativen zu sein. Das Skalarprodukt nimmt zwei Vektoren und liefert eine Zahl, die am größten ist, wenn beide in dieselbe Richtung zeigen; das Kreuzprodukt nimmt zwei Vektoren und liefert einen Vektor, der am längsten ist, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Nehmen Sie dieses, wenn Sie eine Richtung im rechten Winkel zu zwei bekannten Richtungen brauchen — die Normale einer Fläche, die Achse einer Drehung, die Richtung, in die eine magnetische Kraft eine bewegte Ladung drückt. Nehmen Sie es, wenn Sie den Flächeninhalt eines Parallelogramms oder eines Dreiecks aus zwei Seitenvektoren wollen: Der Betrag der Antwort ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, die Hälfte davon der des Dreiecks. Nehmen Sie es, wenn Sie prüfen wollen, ob zwei Vektoren parallel sind, denn die Antwort besteht genau dann aus drei Nullen. Und nehmen Sie es, wenn Sie die senkrechte Richtung in der richtigen Orientierung brauchen; dort kommen die Reihenfolge der beiden Vektoren und die Rechte-Hand-Regel ins Spiel: Der erste Vektor ist der, von dem die Finger wegkrümmen, der zweite der, zu dem sie hinkrümmen, und der Daumen gibt die Antwort. Zwei Warnungen. Das Ergebnis steht senkrecht auf beiden Eingaben, es ist also keine Richtung, in die einer der beiden gezeigt hat — wenn Sie eine Antwort entlang eines der Eingabevektoren erwartet haben, wollten Sie das Skalarprodukt. Und ein Betrag von null ist eine echte Antwort und kein Fehler: Er sagt, dass die beiden Vektoren parallel sind, einschließlich des Falls, dass einer von ihnen der Nullvektor ist.

1. 1 2 3 und 4 5 6

   1. x-Komponente: 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
   2. y-Komponente: 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
   3. z-Komponente: 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
   4. Betrag: √(9 + 36 + 9) = √54 = 7,348469…, angezeigt als 7,3485

   Die Eingabe, mit der die Seite startet, und die Zeile, die zeigt, wie gewöhnlich die Rechnung ist: drei Differenzen aus je zwei Produkten und sonst nichts. Alle drei Komponenten sind von null verschieden, was diese Zeile am nützlichsten macht, um einen von Hand gerechneten Schritt gegen die Seite zu prüfen, denn ein Vorzeichenfehler kann sich hier nicht hinter einer Null verstecken. Die Länge 7,3485 ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das diese beiden Vektoren aufspannen — das Dreieck mit diesen beiden Seiten hat die Hälfte davon.

2. 1 0 0 und 0 1 0

   1. x-Komponente: 0 × 0 − 0 × 1 = 0
   2. y-Komponente: 0 × 0 − 1 × 0 = 0
   3. z-Komponente: 1 × 1 − 0 × 0 = 1
   4. Betrag: √(0 + 0 + 1) = 1

   Die Einheitsvektoren entlang der ersten beiden Achsen, und das Kreuzprodukt kommt als der dritte zurück. Das ist die Zeile, die die zyklische Reihenfolge zeigt, auf der die Seite aufbaut: x kreuz y ist z, und die Länge 1 sagt, dass die beiden Eingaben senkrecht aufeinander standen und das Parallelogramm ein Einheitsquadrat ist. Die drei Komponenten hier einmal von Hand auszuschreiben lohnt sich — in diesem Fall verschwindet jeder Term, der verschwinden soll.

3. 0 1 0 und 1 0 0

   1. x-Komponente: 1 × 0 − 0 × 0 = 0
   2. y-Komponente: 0 × 1 − 0 × 0 = 0
   3. z-Komponente: 0 × 0 − 1 × 1 = −1
   4. Betrag: √(0 + 0 + 1) = 1

   Die vorige Zeile mit vertauschten Feldern, und der ganze Unterschied ist das Vorzeichen der dritten Komponente. Das ist die reihenfolgeabhängige Eigenschaft dieser Operation, und diese Seite führt sie ohne jede Algebra vor: dasselbe Paar zweimal eingeben, die Felder vertauschen, eine Komponente das Vorzeichen wechseln sehen. Der Betrag bleibt mit 1 unverändert, und das ist die andere Hälfte der Aussage — das Vertauschen der beiden Vektoren kehrt die Richtung der Antwort um, aber nicht ihre Größe.

4. 1 2 3 und 2 4 6

   1. x-Komponente: 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
   2. y-Komponente: 3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
   3. z-Komponente: 1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
   4. Betrag: √(0 + 0 + 0) = 0

   Zwei Vektoren, die entlang derselben Geraden zeigen — der zweite ist genau das Doppelte des ersten —, und die Antwort sind drei Nullen. Das ist der parallele Fall, und er ist der, den man erkennen können sollte, denn die Länge eines Kreuzprodukts ist der Flächeninhalt, den die beiden Vektoren aufspannen, und parallele Vektoren spannen keinen Flächeninhalt auf. Drei Nullen zurückzubekommen ist eine korrekte Antwort und kein Fehler: Sie sagt, dass die beiden Richtungen dieselbe Gerade sind, und auf diese Gerade steht kein Vektor so senkrecht, wie es eine Flächennormale täte.

5. 3 4 0 und 4 3 0

   1. x-Komponente: 4 × 0 − 0 × 3 = 0
   2. y-Komponente: 0 × 4 − 3 × 0 = 0
   3. z-Komponente: 3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
   4. Betrag: √(0 + 0 + 49) = 7

   Zwei Vektoren, die in der flachen Ebene liegen, die senkrechte Richtung zeigt also gerade aus ihr heraus und die ersten beiden Komponenten sind null. Die Länge 7 ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit diesen beiden als Seiten, und das Dreieck mit diesen beiden Seiten hat 3,5. Das Vorzeichen der dritten Komponente sagt, auf welche Seite der Ebene die Antwort zeigt, und es ist hier negativ, weil der erste Vektor derjenige ist, der gesehen von der anderen Seite gegen den Uhrzeigersinn in den zweiten schwingt. Beide Vektoren haben die Länge 5, ihr Skalarprodukt ist 24, und 7, 24 und 25 sind ein pythagoreisches Zahlentripel — anders gesagt: Die Länge hier und das Skalarprodukt sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse das Produkt der beiden Längen ist.

Beide Vektoren müssen genau drei Komponenten haben, und ein Paar mit zwei oder vier wird abgelehnt statt aufgefüllt. Ein zweidimensionales Kreuzprodukt gibt es nicht: Die Operation ist von der Definition her dreidimensional, und einem zweidimensionalen Paar still eine Null anzuhängen, um es passend zu machen, würde eine Richtung erzeugen, die mit der Ebene der beiden Vektoren nichts zu tun hat. Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt zwei Komponenten, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb), und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit. Der Nullvektor wird hier angenommen, anders als auf den Seiten zum Skalarprodukt und zum Winkel, und dieser Unterschied ist beabsichtigt: Ein Kreuzprodukt mit dem Nullvektor ist tatsächlich der Nullvektor, weil der Nullvektor mit nichts einen Flächeninhalt aufspannt, es gibt also eine wahre Antwort zu geben statt einer Rechnung auszuweichen. Drei Nullen zurückzubekommen ist deshalb in einer Weise mehrdeutig, die die Seite nicht für Sie auflösen kann — es heißt, dass die beiden Vektoren parallel sind, und es heißt zugleich, dass einer von ihnen der Nullvektor ist, und nur Sie wissen, welcher Fall vorliegt. Beide Fälle sind korrekte Ausgaben. Eine Einheitenbehandlung gibt es nicht: Die Komponenten sind reine Zahlen und der Betrag der Antwort ebenso, wobei der Betrag die Einheit trägt, zu der die Eingaben quadriert wurden. Nichts auf der Seite prüft die Orientierung des Ergebnisses gegen eine physische rechte Hand; wenn Sie die Ausgabe als Normale oder als Drehachse verwenden, entscheidet die Reihenfolge, in der die beiden Vektoren eingegeben wurden, welche der beiden senkrechten Richtungen Sie bekommen.

Warum kann ich keine zweidimensionalen Vektoren eingeben?

Weil es kein Kreuzprodukt zweier Vektoren in der Ebene gibt. Die Operation ist in drei Dimensionen definiert — die Antwort muss auf beiden Eingaben senkrecht stehen, und in einer flachen Ebene bleibt keine Richtung übrig, in die sie zeigen könnte. Ein zweidimensionales Paar mit einer Null passend zu machen würde eine Antwort erzeugen, die mit der Ebene nichts zu tun hat, deshalb lehnt die Seite ab.

Was bedeutet die Antwort geometrisch?

Sie ist der Vektor, der im rechten Winkel auf beiden Eingaben steht, und ihre Länge ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Eingaben aufspannen. Die Hälfte dieser Länge ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Diese doppelte Lesart ist der Grund, warum dieselbe Rechnung sowohl beim Wunsch nach einer Flächennormalen als auch beim Wunsch nach einem Flächeninhalt auftaucht.

Ich bekomme drei Nullen. Ist etwas schiefgegangen?

Nein — ein Kreuzprodukt von null ist eine echte Antwort. Es bedeutet, dass die beiden Vektoren parallel sind und keinen Flächeninhalt aufspannen, und es kommt auch zurück, wenn einer von ihnen der Nullvektor ist. Beides sind korrekte Ergebnisse und keine Fehler, und die Seite kann Ihnen nicht sagen, welcher der beiden Fälle vorliegt, weil beide dieselben drei Nullen ergeben.

Spielt die Reihenfolge der beiden Vektoren eine Rolle?

Ja, und das ist die eine Stelle, an der sich diese Seite scharf von der Skalarproduktseite unterscheidet. Das Vertauschen der beiden Vektoren kehrt die Richtung der Antwort um: jede Komponente wechselt das Vorzeichen, während die Länge genau gleich bleibt. Geben Sie dasselbe Paar zweimal mit vertauschten Feldern ein, und Sie können es beobachten. Welche der beiden senkrechten Richtungen Sie wollen, entscheidet die Rechte-Hand-Regel.

Welche Komponente kommt zuerst?

Zuerst die x-Komponente, dann y, dann z, und die Antwort wird als Vektor genauso gedruckt, wie die Eingaben eingetippt wurden. Jede ist eine Differenz zweier Produkte, wobei das Muster für jede um eine Stelle im Zyklus weiterwandert: Die y-Komponente wiederholt das Rezept der x-Komponente mit zyklisch vertauschten Komponenten, und die z-Komponente wandert noch einmal weiter.

Worin unterscheidet sich das vom Skalarprodukt?

Das Skalarprodukt nimmt zwei Vektoren und gibt eine Zahl, am größten, wenn beide in dieselbe Richtung zeigen; das Kreuzprodukt gibt einen Vektor, am längsten, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Die beiden ergänzen sich. Wollen Sie eine einzelne Zahl — einen Winkel, eine Projektion, ein Maß für Ähnlichkeit —, ist das Skalarprodukt richtig; wollen Sie eine Richtung im rechten Winkel zu beiden, sind Sie auf dieser Seite richtig.

• Cross product — the operation this page computes, with the component-by-component definition and the two properties the page leans on, that the result is perpendicular to both inputs and that the order of the factors flips its sign — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the array of numbers whose evaluation is exactly the cross product's component formulas, which is why the same cycle turns up in both places and why this page points at the matrix calculator — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the figure whose area the length of a cross product gives, and the reason the answer is three zeros exactly when the two vectors are parallel — Wolfram MathWorld (United States)
• Kreuzprodukt / Vektorprodukt — Definition über die Komponenten, Rechenregeln, die Rechtssystem-Orientierung und Beispiele, mit einem Online-Rechner zum Nachvollziehen — Mathebibel (Deutschland)