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CalcMax

Matrix-Rechner

Ergebnis

25,0000

Ergebnis, Zeile 1 Spalte 1

Ergebnis, Zeile 1 Spalte 2
36,0000
Ergebnis, Zeile 2 Spalte 1
20,0000
Ergebnis, Zeile 2 Spalte 2
28,0000
Determinante von A
10,0000

Ein Rechner für 2×2-Matrizen, der Matrizen addiert, multipliziert oder invertiert und die vier Elemente des Ergebnisses zusammen mit der Determinante der ersten Matrix ausgibt. Füllen Sie jede Matrix zeilenweise, eine Zeile pro Feld: Die Zeile 4 7 kommt in ein Feld und die Zeile 2 6 ins nächste, die beiden Zahlen durch ein Leerzeichen oder ein Komma getrennt. Wählen Sie die Operation im Auswahlfeld, und die Seite erledigt den Rest. Nur die Felder der zweiten Matrix dürfen leer bleiben, und ob sie gefüllt sein müssen, hängt davon ab, was Sie verlangt haben: Addieren und Multiplizieren brauchen beide Matrizen, das Invertieren nur die erste, bei gewähltem Invertieren wird die zweite Matrix also gar nicht gelesen. Drei Operationen, und jede ist eine andere Art von Sache. Zwei Matrizen zu addieren heißt, sie Element für Element zu addieren — oben links zu oben links und so weiter —, und es ist die einzige der drei, die sich so verhält wie gewöhnliche Zahlen. Sie zu multiplizieren ist nicht Element für Element: Jedes Element der Antwort entsteht aus einer ganzen Zeile der ersten Matrix und einer ganzen Spalte der zweiten, paarweise multipliziert und addiert, und deshalb verwendet der Eintrag oben links nicht einfach die beiden Einträge oben links. Und das Invertieren fragt nach der Matrix, die die erste rückgängig macht, also nach der, mit der Sie multiplizieren müssten, um die Einheitsmatrix zu bekommen. Das Invertieren ist die Operation mit einer Bedingung: Es braucht eine Determinante ungleich null, und wenn die Determinante null ist, lehnt die Seite ab, statt irgendetwas zurückzugeben, weil die Matrix, die das rückgängig machen würde, nicht existiert. Eine Matrix mit Determinante null zu addieren oder zu multiplizieren ist dagegen vollkommen normal — nur die Inverse fehlt. Die Determinante selbst wird bei jeder Rechnung ausgegeben, welche Operation Sie auch gewählt haben, und sie gehört immer zur ersten Matrix. Das ist Absicht: Sie ist eine Tatsache über diese Matrix und nicht über die Rechnung, die Sie verlangt haben, sie bleibt also stehen, während Sie bei derselben Eingabe zwischen Addieren, Multiplizieren und Invertieren wechseln. Sie ist die Zahl, die darüber entscheidet, ob die Inverse existiert, und ihr Vorzeichen sagt, ob die Matrix die Ebene umklappt — deshalb ist sie neben der Antwort nützlicher als auf einer eigenen Seite.

2×2-Matrizen und ihre Inversen

Matrix A, Zeile 1Matrix A, Zeile 2Determinante von AErgebnis, Zeile 1 Spalte 1Ergebnis, Zeile 1 Spalte 2Ergebnis, Zeile 2 Spalte 1Ergebnis, Zeile 2 Spalte 2
4 72 6100.6-0.7-0.20.4
1 00 111001
1 23 4-2-211.5-0.5
2 00 360.5000.3333
0 11 0-10110
2 41 321.5-2-0.51
3 51 212-5-13
1 11 212-1-11

Acht Matrizen mit ihren Inversen, und die Tabelle zeigt eine Operation statt drei: Jede Zeile hier ist eine Inverse, weil das die Operation ist, gegen die die Spalten gelesen werden müssen, und weil Addieren und Multiplizieren eine zweite Matrix brauchen, die eine Tabelle einzelner Matrizen nicht liefern kann. Die erste Zeile ist die, mit der die Seite startet: Determinante 10 und vier Elemente, die glatt herauskommen, weil 10 die getauschten Einträge ohne Rest teilt. Die zweite Zeile ist die Einheitsmatrix, deren Inverse sie selbst ist. Die dritte ist die kleinste Matrix mit negativer Determinante, und das negative Vorzeichen dreht jedes Element der Inversen um — der schnellste Weg zu sehen, was das Vorzeichen der Determinante bewirkt. Die vierte ist diagonal, und die Inverse sind einfach die beiden Diagonaleinträge auf dem Kopf; genau daraus kommt auch die häufigste unordentliche Antwort dieser Seite, denn ein Drittel geht nicht glatt auf. Die fünfte hat ihre Einsen neben der Diagonalen statt darauf — die Matrix, die die beiden Koordinaten eines Vektors vertauscht. Ihre Determinante ist −1, die Inverse ist also wieder exakt, und die Matrix ist ihre eigene Inverse. Die sechste hat Determinante 2 und liefert Halbe. Die siebte hat Determinante 1 und liefert ganze Zahlen — genau das, was eine Determinante von 1 einbringt, denn die ganzzahlige Adjunkte durch 1 zu teilen kann sie nicht verändern. Eine Determinante von 1 erkennt man deshalb mit Gewinn. Die achte hat ebenfalls Determinante 1 und kommt ebenfalls ganzzahlig heraus. Keine Zeile hier hat eine Determinante von null, und das ist Absicht: Diese Matrizen sind die, deren Invertierung die Seite ablehnt, und eine Zeile mit vier leeren Feldern in einer Referenztabelle würde weniger sagen als der Satz in den Einschränkungen. Jede Zahl wird beim Bau der Seite neu gerechnet, und die Leerzeichen in den ersten beiden Spalten sind die Trennzeichen und nicht Teil der Zahlen. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (0.6 statt 0,6), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen.

Formel

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁)

Matrix A, Zeile 1 / Zeile 2
Die erste Matrix, eine Zeile pro Feld und zwei Zahlen in jeder, etwa 4 7 und 2 6. Zeilen statt vier einzelner Zellen, weil eine Matrix ein Objekt ist: Sie in vier Felder zu zerlegen würde eine einzige Eingabe zu vier machen und es möglich machen, etwas einzutragen, das gar keine Matrix ist
Matrix B, Zeile 1 / Zeile 2
Die zweite Matrix, genauso geschrieben, und die einzige optionale Eingabe der Seite. Addieren und Multiplizieren brauchen sie, Invertieren ignoriert sie vollständig, bei dieser Operation dürfen also beide Felder leer bleiben. Leer zu bleiben ist kein Fehler — der Schlüssel fehlt dann einfach
Operation
Welche der drei Möglichkeiten ausgeführt wird: die beiden Matrizen addieren, sie multiplizieren oder die erste invertieren. Eine Seite statt drei, weil alle drei dieselbe Eingabe nehmen und sich nur in der Rechnung unterscheiden, die auf sie angewandt wird
Ergebnis, Zeile 1 Spalte 1
Das Element oben links in der Antwort und mit ihm die drei anderen unter denselben Beschriftungen. Beim Addieren sind es die beiden Zahlen oben links, addiert; beim Multiplizieren ist es die ganze erste Zeile von A gegen die ganze erste Spalte von B, und deshalb ist es nicht einfach das Produkt der beiden Einträge oben links
det A
Die Determinante der ersten Matrix: oben links mal unten rechts, minus oben rechts mal unten links. Sie wird bei jeder Operation ausgegeben und gehört immer zu A, nicht zur Antwort — sie ist eine Eigenschaft der Matrix, die Sie eingetippt haben, und ändert sich deshalb nicht, wenn Sie vom Addieren zum Multiplizieren zum Invertieren derselben Zahlen wechseln
1 ÷ det A
Der Skalierungsfaktor in der Inversen und der Grund, warum eine Determinante von null abgelehnt wird: Durch diese Zahl wird die Inverse geteilt. Weder das Addieren noch das Multiplizieren braucht sie, deshalb funktionieren diese beiden auch bei einer Matrix mit Determinante null weiter
A⁻¹
Die Matrix, die A rückgängig macht: Beide in beliebiger Reihenfolge miteinander multipliziert ergeben die Einheitsmatrix, Einsen auf der Diagonalen und Nullen daneben. Das macht sie wertvoll, und sie existiert genau dann, wenn die Determinante nicht null ist
Einheitsmatrix
Die Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen daneben, die für die Matrizenmultiplikation dasselbe ist wie die Zahl 1 für die gewöhnliche Multiplikation. Die Probe, ob eine Inverse stimmt, ist, sie zurückzumultiplizieren und diese hier zu erhalten
Vier Nachkommastellen
So breit werden die Ausgaben geschrieben. Addieren und Multiplizieren ganzer Zahlen ergibt exakte Ergebnisse, ebenso das Invertieren jeder Matrix mit Determinante 1 oder −1; der Rest wird gerundet, und eine Diagonalmatrix mit einer 3 darauf ist der häufigste Fall, der nicht glatt aufgeht

Das Addieren ist die Operation, die fast niemand will, und sie steht vor allem deshalb hier, damit die drei nebeneinander stehen können: Sie addiert Element für Element, sie funktioniert immer, und sie ist die eine Stelle, an der sich Matrizen wie gewöhnliche Zahlen verhalten. Das Multiplizieren ist das, worauf es bei Abbildungen ankommt — auf dieselbe Figur erst eine Drehung und dann eine Skalierung anzuwenden heißt, ihre beiden Matrizen zu multiplizieren, und die Reihenfolge, in der Sie multiplizieren, ist die Reihenfolge, in der Sie anwenden. Das Invertieren ist zum Rückgängigmachen da: Dreht eine Matrix Koordinaten in eine Richtung, dreht ihre Inverse sie zurück, und genau das will man, wenn man das Ergebnis einer Abbildung hat und die Eingabe braucht, die es erzeugt hat. Die Determinante, die daneben ausgegeben wird, lohnt für sich gelesen zu werden. Eine Determinante von null heißt, dass die Matrix die Ebene auf eine Gerade plattdrückt, verschiedene Eingaben landen also auf derselben Ausgabe, und nichts lässt sich rückgängig machen — das ist dieselbe Aussage wie die, dass die Inverse nicht existiert. Ihr Vorzeichen sagt, ob die Matrix die Orientierung der Ebene erhält oder umkehrt. Zwei Dinge, die man bei der Benutzung im Auge behalten sollte. Die Multiplikation ist nicht kommutativ: Die beiden Matrizen zu vertauschen ergibt eine andere Antwort, wenn Sie also Abbildungen zusammensetzen, ist die Reihenfolge Teil der Aufgabe und kein Detail. Und es wird nur die Determinante der ersten Matrix gezeigt; wollen Sie auch die der zweiten, invertieren Sie sie für sich allein — das Auswahlfeld entscheidet darüber, welche Matrix als die erste zählt, nicht die Felder.

Rechenbeispiele

  1. 4 7 über 2 6, mal 1 2 über 3 4

    1. Oben links: (4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
    2. Oben rechts: (4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
    3. Unten links: (2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
    4. Unten rechts: (2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
    5. Determinante von A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

    Die Eingabe, mit der die Seite startet. Jedes Element der Antwort ist eine ganze Zeile der ersten Matrix gegen eine ganze Spalte der zweiten, und genau darauf sollte man hier schauen: Oben links in der Antwort steht 25, und keine der beiden Zahlen, die in der Eingabe oben links stehen — 4 und 1 —, ist 25. Ihr Produkt ist 4. Die Determinante von 10 wird ebenfalls ausgegeben, und sie gehört zu A — 4 und 7 über 2 und 6 —, nicht zur Antwort.

  2. Dieselben zwei Matrizen, addiert

    1. Oben links: 4 + 1 = 5
    2. Oben rechts: 7 + 2 = 9
    3. Unten links: 2 + 3 = 5
    4. Unten rechts: 6 + 4 = 10
    5. Determinante von A: unverändert 10, denn A ist dieselbe Matrix wie im vorigen Beispiel

    Das vorige Beispiel mit einer einzigen Änderung: dem Auswahlfeld. Jedes Element ist jetzt eine schlichte Summe, und das ist die einzige der drei Operationen, bei der sich Matrizen wie gewöhnliche Zahlen verhalten — die Reihenfolge spielt keine Rolle, und es kann nichts schiefgehen. Die Determinante ist weiterhin 10, weil sie eine Tatsache über A ist und A sich nicht geändert hat. Das Auswahlfeld zwischen Addieren und Multiplizieren hin und her zu schalten ist der schnellste Weg zu sehen, dass die Determinante keine Eigenschaft der Rechnung ist.

  3. 4 7 über 2 6 invertiert

    1. Determinante von A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
    2. Die beiden Diagonaleinträge tauschen: 6 und 4
    3. Die beiden übrigen Einträge negieren: −7 wird 7, 2 wird −2
    4. Jeden durch die Determinante teilen: 6 ÷ 10 = 0,6, −7 ÷ 10 = −0,7, −2 ÷ 10 = −0,2, 4 ÷ 10 = 0,4
    5. Probe: (4 × 0,6) + (7 × −0,2) = 2,4 − 1,4 = 1, und das ist der Eintrag oben links in der Einheitsmatrix

    Die erste der drei Operationen mit einer Bedingung, und die Felder der zweiten Matrix sind mit Absicht leer — das Invertieren liest nur A, und die Seite stört sich nicht daran. Das Rezept sind jedes Mal dieselben vier Schritte: die Diagonale tauschen, die beiden anderen negieren, durch die Determinante teilen. Die Probe am Ende lohnt sich einmal von Hand: Die Antwort zurück in die Ausgangsmatrix zu multiplizieren ergibt Einsen auf der Diagonalen und Nullen daneben, und alles andere heißt, dass sich ein Vorzeichen eingeschlichen hat.

  4. 1 2 über 3 4, mal 5 6 über 7 8

    1. Oben links: (1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
    2. Oben rechts: (1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
    3. Unten links: (3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
    4. Unten rechts: (3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
    5. Determinante von A: (1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

    Die Zeile zum Tauschen. Geben Sie dieselben vier Zahlen mit vertauschtem A und B ein, und die Antwort wird 23, 34, 31 und 46 — eine völlig andere Matrix aus denselben Eingaben in anderer Reihenfolge. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, und genau das heißt es in der Praxis: Sind die beiden Matrizen zwei Abbildungen, dann ist die Reihenfolge, in der multipliziert wird, die Reihenfolge, in der sie angewandt werden. Beachten Sie, dass die Determinante von A hier −2 ist und dort ebenfalls −2, weil beide Matrizen zufällig dieselbe Determinante haben — die beiden Antworten unterscheiden sich in den vier Ergebniselementen, und die Determinantenspalte kann sie nicht auseinanderhalten.

  5. Eine Matrix mit Determinante null, multipliziert

    1. Oben links: (1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
    2. Oben rechts: (1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
    3. Unten links: (2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
    4. Unten rechts: (2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
    5. Determinante von A: (1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

    Die erste Matrix hat die Determinante null — ihre zweite Zeile ist genau das Doppelte ihrer ersten, sie quetscht die Ebene also auf eine Gerade —, und die Multiplikation wird trotzdem normal gerechnet. Das ist der Punkt des Beispiels: Eine Determinante von null ist ein Problem für das Invertieren und für sonst nichts. Bitten Sie dieselbe Seite, diese Matrix zu invertieren, und sie lehnt ab. Bitten Sie sie zu addieren oder zu multiplizieren, und sie antwortet, weil beide hier vollkommen wohldefinierte Ergebnisse haben. Die Determinantenspalte zeigt so oder so 0.

Einschränkungen

Es werden nur 2×2-Matrizen angenommen, eine Zeile pro Feld, zwei Zahlen in jeder. Größere Matrizen bräuchten ein anderes Layout statt eines größeren Feldes, weil die Anzahl der Zellen mit dem Quadrat der Größe wächst. Die Felder der zweiten Matrix dürfen leer bleiben, und ob sie gefüllt sein müssen, hängt an der Operation und nicht am Feld: Addieren und Multiplizieren brauchen beide Matrizen, das Invertieren liest nur die erste. Die Inverse existiert nur, wenn die Determinante ungleich null ist, und diese Prüfung läuft gegen genau null statt gegen fast null, was eine echte Einschränkung und zugleich eine Entscheidung ist. Eine Toleranz müsste wirklich invertierbare Matrizen ablehnen, um die Fälle nahe der Grenze zu erwischen, deshalb gibt es keine; der Preis ist, dass eine Matrix mit Dezimaleinträgen, die in exakter Arithmetik singulär ist, eine Determinante wie 1,4e-17 statt 0 liefern und invertiert werden kann — sie ergibt dann vier riesige Zahlen statt einer Ablehnung. Ganze Zahlen einzugeben vermeidet das vollständig, und eine so kleine Determinante ist für sich schon ein Signal. Es wird nur die Determinante der ersten Matrix gezeigt, die der zweiten muss man also ermitteln, indem man sie an die erste Stelle setzt. Komponenten werden als gewöhnliche Zahlen gelesen: ein Komma mit einem Leerzeichen dahinter trennt die beiden Zahlen einer Zeile, ein Komma ohne Leerzeichen dahinter gilt als Dezimaltrennzeichen (1,5 ist eineinhalb), und eine Tausendergruppierung wird abgelehnt statt geraten — schreiben Sie 1500, nicht 1.500. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und die Inverse wird aus der ungerundeten Determinante gerechnet: Die angezeigte Antwort zurück in A zu multiplizieren ergibt deshalb auf den angezeigten Zahlen nicht unbedingt genau Einsen und Nullen. Einheiten gibt es auf dieser Seite nirgends, und es sind auch keine gemeint: Die Elemente sind reine Zahlen, und die vier Nachkommastellen sind das Einzige, was über sie behauptet wird.

Häufige Fragen

Warum ein Feld pro Zeile statt eines pro Zahl?
Weil eine Matrix ein Objekt ist und vier Felder daraus vier Eingaben machen würden, die sich unabhängig voneinander füllen lassen — auch auf Arten, die gar keine Matrix sind. Eine ganze Matrix in einem einzigen Feld hat das umgekehrte Problem: Ein fehlendes Element lässt sich dort nicht von einem verrutschten unterscheiden. Ein Feld pro Zeile hält die beiden Zahlen einer Zeile zusammen und erlaubt der Seite trotzdem zu prüfen, dass jede Zeile genau zwei hat.
Wann darf ich die zweite Matrix leer lassen?
Wenn die gewählte Operation sie nicht braucht. Das Invertieren liest nur die erste Matrix, beide Felder der zweiten dürfen also leer bleiben, und es fehlt nichts. Addieren und Multiplizieren brauchen beide, und die Seite wartet, statt sich zu beschweren, solange Sie noch tippen. Ob ein Feld gefüllt sein muss, entscheidet die Operation und nicht das Feld.
Warum wird das Invertieren einer Matrix manchmal abgelehnt?
Weil die Inverse die Matrix ist, die die erste rückgängig macht, und eine singuläre Matrix — eine mit Determinante null — keine solche Inverse hat: Die erste Matrix quetscht die Ebene auf eine Gerade, verschiedene Eingaben landen also auf derselben Ausgabe, und nichts lässt sich umkehren. Die Seite lehnt ab, statt vier Zahlen zu drucken, die wie eine Antwort aussehen. Addieren und Multiplizieren derselben Matrix funktionieren normal.
Zu welcher Matrix gehört die Determinante?
Immer zur ersten, unabhängig von der gewählten Operation; sie bleibt deshalb stehen, während Sie bei derselben Eingabe zwischen Addieren, Multiplizieren und Invertieren wechseln. Sie ist eine Eigenschaft dieser Matrix und nicht der Antwort, und sie entscheidet darüber, ob die Inverse existiert. Wollen Sie die Determinante der zweiten Matrix, setzen Sie sie an die erste Stelle und invertieren Sie sie.
Spielt die Reihenfolge der beiden Matrizen eine Rolle?
Beim Multiplizieren ja, und das ist ein echter Unterschied und keine Spitzfindigkeit: Die beiden Matrizen zu vertauschen ergibt vier andere Elemente. Sind sie zwei Abbildungen, dann ist die Reihenfolge, in der multipliziert wird, die Reihenfolge, in der sie angewandt werden. Das Addieren ist die Ausnahme — Matrizen addieren sich so wie gewöhnliche Zahlen, und die Reihenfolge macht überhaupt keinen Unterschied.
Wofür ist die Inverse gut?
Um die Matrix rückgängig zu machen. Multiplizieren Sie eine Matrix in beliebiger Reihenfolge mit ihrer Inversen, erhalten Sie die Einheitsmatrix: Einsen auf der Diagonalen, Nullen daneben. Das macht sie für den Rückweg nützlich — von einem transformierten Koordinatensatz zurück zu denen, die ihn erzeugt haben. Die Seite gibt die Determinante daneben aus, weil eine Determinante von null genau der Fall ist, in dem das nicht geht.

Quellen

Verwandte Rechner

Kreuzprodukt-RechnerKreuzprodukt zweier Vektoren und sein Betrag.Skalarprodukt-RechnerSkalarprodukt zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen.Winkel-zwischen-Vektoren-RechnerDer Winkel zwischen zwei Vektoren über das Skalarprodukt.