Kovarianz-Rechner

Kovarianz = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ Divisor, für die Stichprobe n − 1, für die Grundgesamtheit n; Korrelationskoeffizient r = Kovarianz ÷ (sₓ × s_y)

xᵢ, yᵢ

Ein Paar zusammengehöriger Werte: der i-te Wert der ersten Reihe und der i-te der zweiten. Beide Reihen müssen gleich lang sein und dürfen nicht sortiert werden — die Paarung entsteht über die Position, und wer eine der beiden Reihen umstellt, ändert das Ergebnis

x̄, ȳ

Die Mittelwerte der beiden Reihen, beide auf dem Panel. Jeder Wert wird von seinem eigenen Mittelwert abgezogen, deshalb bleibt die Kovarianz unverändert, wenn zu allen Werten einer Reihe dieselbe Konstante addiert oder von ihnen abgezogen wird

n

Die Anzahl der Paare, also die Länge einer der beiden Reihen, auf dieser Seite höchstens 200. Die Kovarianz der Grundgesamtheit teilt durch sie, die der Stichprobe durch sie minus eins

sₓ, s_y

Die Standardabweichungen der beiden Reihen, im selben Verfahren gerechnet wie die Kovarianz. Sie sind der Schritt, der aus der Kovarianz den Korrelationskoeffizienten macht, und stehen auf dem Panel, damit sich r dort nachrechnen lässt

Kovarianz

Die Kovarianz selbst: positiv, wenn beide Reihen gemeinsam steigen und fallen, negativ, wenn eine steigt, während die andere fällt, und nahe null, wenn der lineare Zusammenhang schwach ist. Ihre Einheit ist die Einheit von x mal der Einheit von y

r

Der Korrelationskoeffizient nach Pearson, also die Kovarianz geteilt durch das Produkt der beiden Standardabweichungen. Die Einheiten kürzen sich dabei heraus, der Wert liegt immer zwischen −1 und 1, er ändert sich nicht, wenn eine Reihe in eine andere Einheit gebracht wird, und er ist bei Stichprobe und Grundgesamtheit derselbe

Wenn an denselben Objekten zwei Größen gemessen wurden und die Frage lautet, ob sie sich gemeinsam bewegen, ist die Kovarianz die naheliegende Zusammenfassung: Körpergröße und Gewicht, Lernzeit und Prüfungsergebnis, Temperatur und Stromverbrauch, die Messwerte desselben Sensors zu zwei Zeitpunkten. Sie ist die Übertragung der Standardabweichung auf zwei Merkmale und die Zutat jedes Korrelationskoeffizienten, jeder Regressionssteigung und jeder Formel für die Streuung einer Summe — es lohnt sich, sie einmal von Hand zu rechnen und zu sehen, wo diese Formeln herkommen. Gelesen wird bei ihr das Vorzeichen und nicht die Größe: Wird eine Reihe in Metern und die andere in Zentimetern gemessen, ist die Kovarianz hundertmal so groß, ohne dass sich am Zusammenhang der beiden Reihen irgendetwas geändert hätte. Der Korrelationskoeffizient auf dem Panel ist die um die Einheiten bereinigte Fassung, und wenn es um die Frage geht, wie stark ein Zusammenhang ist, wird er berichtet. Zwei Einschränkungen gehören dazu: Die Kovarianz sagt nichts über Ursachen, und sie kennt nur gerade Linien — bei einem perfekten, aber gebogenen Zusammenhang kann sie trotzdem null sein. Wo beide Größen wenige verschiedene Werte annehmen oder die Reihen sehr kurz sind, lohnt ein Blick auf die Wertepaare selbst; ein Streudiagramm ersetzt keine Zahl, aber es verhindert die schlimmsten Fehldeutungen.

1. Fünf Zahlenpaare, die gemeinsam steigen: Kovarianz 1,5, r = 0,7746

   1. Mittelwerte: x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ÷ 5 = 3, ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) ÷ 5 = 4
   2. Die Abweichungen der x-Reihe: −2, −1, 0, 1, 2; die der y-Reihe: −2, 0, 1, 0, 1
   3. Summe der Produkte: (−2)(−2) + (−1)(0) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(1) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6
   4. Divisor der Stichprobe ist n − 1 = 4: Kovarianz = 6 ÷ 4 = 1,5
   5. Die beiden Standardabweichungen sind 1,5811 und 1,2247, also r = 1,5 ÷ (1,5811 × 1,2247) = 0,7746

   Das Vorzeichen ist positiv, und genau diese Hälfte der Kovarianz wird gelesen: Ein überdurchschnittliches x bekommt ein überdurchschnittliches y. Die 1,5 trägt die Einheit von x mal der Einheit von y, ändert sich also mit jeder Einheitenumstellung einer der beiden Reihen — deshalb steht der Korrelationskoeffizient daneben. Die 0,7746 heißt: Der Aufwärtstrend ist deutlich, aber von einer Geraden noch entfernt, und schuld daran ist das Paar (4, 4), das unter dem Trend liegt.

2. Dieselben Daten als Grundgesamtheit: Kovarianz 1,2, r unverändert

   1. Die Summe ändert sich nicht: Die Produktsumme bleibt 6, die beiden Mittelwerte bleiben 3 und 4
   2. Divisor der Grundgesamtheit ist n = 5: Kovarianz = 6 ÷ 5 = 1,2 — kleiner als bei der Stichprobe, weil der Divisor größer ist
   3. Die beiden Standardabweichungen werden ebenfalls kleiner: 1,4142 und 1,0954
   4. r = 1,2 ÷ (1,4142 × 1,0954) = 0,7746 — genau wie oben

   Ein anderer Divisor verändert die Kovarianz und beide Standardabweichungen, lässt den Korrelationskoeffizienten aber unberührt: In diesem Verhältnis kürzen sich n − 1 und n heraus. Die Wahl zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit ist für die Kovarianz also wichtig und für r völlig belanglos — und das ist der Punkt, den man kennen sollte, bevor man die eigene Kovarianz mit einer anderswo berichteten Zahl vergleicht: Zwei Quellen können 1,5 und 1,2 nennen, während sie sich über die Stärke des Zusammenhangs einig sind.

3. Ein perfekt gebogener Zusammenhang mit Kovarianz 0

   1. Mittelwerte: Beide Reihen haben 3
   2. Die Abweichungen der x-Reihe: −2, −1, 0, 1, 2; die der y-Reihe: −2, 1, 2, 1, −2
   3. Summe der Produkte: 4 − 1 + 0 + 1 − 4 = 0
   4. Kovarianz: 0 ÷ 4 = 0, und r = 0 ÷ (1,5811 × 1,8708) ist ebenfalls 0

   Die zweite Reihe ist ein umgedrehtes U — 1, 4, 5, 4, 1 ist eine sehr regelmäßige Form —, und ihre Kovarianz mit 1 bis 5 ist genau 0. Die Kovarianz kennt nur gerade Zusammenhänge: Hier steigt die zweite Reihe erst und fällt dann, und die positiven und negativen Beiträge heben sich exakt auf. Eine Kovarianz nahe null heißt deshalb: kein linearer Zusammenhang — und keinesfalls kein Zusammenhang. Genau deshalb hat die Zahlenreihe das Streudiagramm nicht ersetzt.

Eine Kovarianz ist kein Korrelationskoeffizient und darf nicht wie einer gelesen werden. Ihre Größe hängt von den Einheiten beider Reihen ab, deshalb lassen sich Werte aus verschiedenen Maßeinheiten nicht miteinander vergleichen, und sie hat keine Obergrenze, an der man ablesen könnte, ob ein Wert groß ist — eindeutig deutbar ist nur das Vorzeichen. Sie erfasst zudem allein gerade Zusammenhänge und kann bei einem starken, aber gebogenen Verlauf nahe null liegen. Weil sie paarweise rechnet, müssen die beiden Reihen Zeile für Zeile zusammenpassen: gleich viele Werte, jeder Wert gepaart mit dem an derselben Position. Ein Wert zu viel oder zu wenig in einer der beiden Reihen verschiebt alle folgenden Paarungen. Hat eine Reihe überhaupt keine Streuung — sind alle ihre Werte gleich —, ist der Korrelationskoeffizient nicht definiert, und diese Seite verweigert die Antwort, statt das Ergebnis einer Division durch null auszugeben. Die Kovarianz sagt außerdem nichts über Ursachen: Zwei Größen, die sich gemeinsam bewegen, können beide von einer dritten Größe getrieben sein, die in keiner der beiden Reihen vorkommt — und umgekehrt kann ein Zusammenhang in Teilmengen der Daten anders aussehen als in der Gesamtheit. Wird eine der beiden Reihen in einer anderen Einheit gemessen, ändert das die Kovarianz um den Umrechnungsfaktor. Beide Listen fassen je 200 Werte, und eine Schreibweise wie 1.500 wird abgewiesen statt geraten, weil ein Trennzeichen zwischen Ziffern in manchen Ländern ein Dezimaltrenner und in anderen ein Tausendertrenner ist.

Wie wird die Kovarianz berechnet?

Zuerst die beiden Reihen über ihre Position paaren, dann jede Reihe um ihren eigenen Mittelwert bereinigen und schließlich jedes Paar dieser Abweichungen multiplizieren. Die Produkte werden addiert und die Summe durch n − 1 (Stichprobe) oder n (Grundgesamtheit) geteilt. Für x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ist die Produktsumme 6, die Stichprobenkovarianz also 6 ÷ 4 = 1,5. Beide Mittelwerte, beide Standardabweichungen und das Ergebnis stehen auf dem Panel, jeder Schritt lässt sich also mitverfolgen.

Müssen beide Reihen gleich lang sein?

Ja, und die Reihenfolge muss ebenfalls stimmen — der erste Wert der ersten Reihe gehört zum ersten Wert der zweiten, und keine der beiden Reihen wird sortiert. Deshalb verweigert diese Seite bei unterschiedlich langen Reihen die Antwort, statt die kürzere aufzufüllen: Bei drei Werten in der einen und zwei in der anderen Reihe ist nicht zu erkennen, welcher Wert fehlt, und die ersten beiden stillschweigend zu paaren liefert eine völlig plausibel aussehende falsche Zahl. Vor dem Einfügen lohnt die Prüfung, ob beide Reihen wirklich zu denselben Objekten gehören und Zeile für Zeile zusammenpassen.

Was bedeutet das Vorzeichen der Kovarianz?

Eine positive Kovarianz heißt: Wenn ein Wert über dem Mittelwert seiner Reihe liegt, liegt der zugehörige Wert in der anderen Reihe ebenfalls tendenziell darüber — beide bewegen sich gemeinsam. Ein negatives Vorzeichen bedeutet das Gegenteil: über dem Mittelwert hier, unter dem Mittelwert dort. Ein Wert nahe null spricht für keinen geraden Zusammenhang, aber nicht für keinen Zusammenhang überhaupt: Zwischen 1, 4, 5, 4, 1 und 1, 2, 3, 4, 5 besteht ein sauberes umgedrehtes U, und die Kovarianz ist genau 0.

Warum wird zusätzlich ein Korrelationskoeffizient ausgegeben?

Weil sich eine Kovarianz für sich genommen nicht lesen lässt. Ihre Einheit ist die Einheit der ersten Reihe mal der der zweiten, wird also schon durch eine Einheitenumstellung um den Umrechnungsfaktor größer, ohne dass sich am Zusammenhang etwas ändert. Die Division durch das Produkt der beiden Standardabweichungen kürzt die Einheiten heraus und begrenzt das Ergebnis auf den Bereich zwischen −1 und 1, wodurch Werte über verschiedene Variablen hinweg vergleichbar werden. Die Kovarianz ist die Größe, aus der die Formeln gebaut sind; berichtet wird der Korrelationskoeffizient, wenn nach der Stärke eines Zusammenhangs gefragt wird.

Warum verweigert die Seite die Antwort, wenn eine Reihe keine Streuung hat?

Weil dann durch null geteilt würde: Sind alle Werte einer Reihe gleich, ist ihre Standardabweichung 0, und die Stärke des Zusammenhangs ist nicht definiert. Die Kovarianz selbst ist in diesem Fall definiert (sie ist 0), aber die Seite gibt beide Zahlen zusammen aus, und nur die Hälfte zu berichten würde dazu verleiten, ein bedeutungsloses r für bare Münze zu nehmen. Anderswo auf dieser Website gilt dieselbe Haltung: Die Seite für den Variationskoeffizienten verweigert die Antwort ebenfalls, wenn der Mittelwert nicht positiv ist, statt ein undefiniertes Verhältnis auszugeben.

Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Die Stichprobenfassung mit n − 1 ist die übliche Wahl, wenn die beiden Reihen aus einer größeren Gruppe gezogen wurden und etwas über diese größere Gruppe ausgesagt werden soll. Die Grundgesamtheit mit n passt, wenn die Reihen genau die Daten sind, über die eine Aussage gemacht wird. Die Wahl verändert die Kovarianz und beide Standardabweichungen, berührt den Korrelationskoeffizienten jedoch nie — in diesem Verhältnis kürzen sich n − 1 und n heraus. Für die fünf Paare oben ist die Kovarianz als Stichprobe 1,5, als Grundgesamtheit 1,2, während r in beiden Fällen 0,7746 beträgt.

• Correlation, Variance and Covariance (Matrices) — Referenzdokumentation des stats-Pakets von R zu cov und cor: die Kovarianz wird mit dem Divisor n − 1 gebildet, der Korrelationskoeffizient als Kovarianz geteilt durch die beiden Standardabweichungen definiert — The R Project for Statistical Computing
• scipy.stats.pearsonr — SciPy-Referenz: der Wertebereich des Pearson-Koeffizienten und seine Bedeutung als Maß für die Stärke eines linearen Zusammenhangs — SciPy
• The Regression Equation — Introductory Statistics 2e, section 12.3 — der Korrelationskoeffizient r als Maß für Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zweier Merkmale — OpenStax (Rice University)