热膨胀计算器

ΔL = α · L · ΔT；对各向同性固体，体应变 ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

线膨胀系数，单位是「每度百万分之几」（10⁻⁶/℃）。它是一个靠「让一根棒在已知温差下伸长多少」量出来的材料常数，而且它是一个小得需要说出来的数：铝的 23.1×10⁻⁶ 意思是每米每开尔文长 23.1 微米——这就是日常生活中看不出东西在膨胀的原因。常见材料之间它可以差三十倍以上：因瓦合金（Invar）只有约 1.5×10⁻⁶，它是专门为了「不受这个效应影响」而造出来的，用在精密仪器的摆杆上；而 PVC 之类的塑料在 55×10⁻⁶ 以上。所以这一页的工作量主要花在「选对材料」上，剩下的只是一次乘法。

L

起始温度下的长度，单位毫米，可以按你习惯的单位填。它是原始长度，不是变形后的长度，也不是两者的平均值——这个区别只有在反着用的时候才显出来（从量到的末长反推系数），而手算里悄悄错在那一步的人相当多。本页的基准单位取毫米，取的是「让答案读得出来」：1 m 的铝升温 40 K 长 0.924 mm，写成 0.000924 m 对谁都没帮助。0 是合法输入（零长的杆不膨胀，读数 0/0/0 是自洽的），负数不合法——所以输入框的下界是闭的，再往里 compute 还会再拦一道。

ΔT

温度变化，单位开尔文（或摄氏度——每一度的宽度相同，而这里要的是「一段差」而不是「一个温度」，两者都成立）。负值是正常用法，表示降温：钢降温 40 K 会收缩，算出来的伸长量是负的，这正是算式该说的话。±500 K 的上下限覆盖了从液氮到熔炉的量级，对绝大多数只在几十度里打转的读者来说是敞开着的。

ΔL

伸长量，单位毫米，与变形后的总长一起印出来，这样「涨了多少」与「涨完是多长」同时可见。绝对数值很小，而这正是最容易掉进去的地方：0.9 mm 听起来无关紧要，直到这根杆两头都没有地方可去。被约束住的杆不会「不膨胀」——膨胀会转成应力，而材料的弹性模量很大，于是力一点也不小。这就是铁轨要留缝、长桥要设伸缩缝的原因。本页给的是自由膨胀的长度变化；膨胀被阻止之后出现的那个应力是第二道计算，而真正出事故的地方在那里。

3 · α · ΔT

体膨胀那一部分，按百分比印成应变而不是印成体积，因为这是同一次测量白送的结果：三个方向各涨 α · ΔT，于是实心体的体积大约涨 3 · α · ΔT。这个「3」有两个前提。它只对各向同性材料成立——金属、玻璃，以及被当作均匀材料的塑料——木材不行（顺纹与横纹的膨胀完全不同），层压复合材料不行，单晶也不行。另外它是一个小应变近似：准确值是 (1 + α·ΔT)³ − 1，在这些量级下它与 3αΔT 到小数点后很多位都一致，但温差大到一定程度时就不一致了。

在两头顶死在刚性结构上之前用它：铺铁轨、在固定支架之间走一段管道、装一块卡得很紧的玻璃、把铝件用螺栓拧在钢件上、给桥面定缝宽。日常里同一道题的小版本也用它——用热水烫过的金属盖为什么拧得开、玻璃罐为什么要泡一下才松，机理是盖子先胀（系数更大或质量更小）。它回答的是「自由膨胀」的问题。如果零件两端都被约束住，本页告诉你它「想」变成多长，而更有用的那个数——因此积起来的应力——来自材料的弹性模量，不在这里。

1. 首屏：1 m 铝，升温 40 K

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23.1×10⁻⁶ · 1000 mm · 40 K
   2. 23.1×10⁻⁶ · 1000 = 0.0231 mm/K
   3. 0.0231 · 40 = 0.924 mm
   4. 变形后总长：1000 + 0.924 = 1000.924 mm
   5. 体应变：3 · 23.1×10⁻⁶ · 40 = 0.2772%

   一米涨不到一毫米，而这点温差一个下午的太阳就能给——这就是这一页存在、并且把结果印到小数点后三位的理由。体应变那一行是同一件事的另一面：0.28% 的体积不算大，但它不是零，而三个方向都被卡住的零件没有地方消化它。另外注意面板把系数回显了出来：那一行就是你选的材料，摆在那里是为了让你在相信其余数字之前先核对一遍下拉框。

2. 最经典的一例：25 m 钢轨，温差 60 K

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25000 mm · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25000 = 0.3 mm/K
   3. 0.3 · 60 = 18 mm
   4. 变形后总长：25000 + 18 = 25018 mm

   一根钢轨，从冬夜到夏天午后，长 18 mm。铁轨的缝留多宽就是被这个数决定的；而今天的长钢轨之所以能焊成一根连续的长条，靠的不是钢不膨胀，而是把同样的 18 mm 变成分摊在整条轨上的拉力——在受控的张力下锁定并锚固，让它以应力的形式被消化掉，而不是在某一个接头处憋成 18 mm 的鼓包。两种做法都承认这 18 mm 存在，区别只是让它去哪儿。

3. 降温与负值：不锈钢缩短 40 K 的那一段

   1. ΔL = 17.3×10⁻⁶ · 500 mm · (−40 K)
   2. 17.3×10⁻⁶ · 500 = 0.00865 mm/K
   3. 0.00865 · (−40) = −0.346 mm
   4. 变形后总长：500 − 0.346 = 499.654 mm

   除了温度变化的符号，什么都没变，而计算器把收缩报成负的伸长量与更短的总长。这是诚实的口径，也是装配时该保留的口径：在液氮里冷缩过的不锈钢套可以滑进常温下套不进去的轴，而它此时的总长是上面那个 499.654 mm，不是图纸上写的 500 mm。两行都要印，因为两行都有用——收缩量决定配合，总长决定装配图。

4. 表里最极端的一行：100 m 铸铁，升温 500 K

   1. ΔL = 10.8×10⁻⁶ · 100000 mm · 500 K
   2. 10.8×10⁻⁶ · 100000 = 1.08 mm/K
   3. 1.08 · 500 = 540 mm
   4. 变形后总长：100000 + 540 = 100540 mm
   5. 体应变：3 · 10.8×10⁻⁶ · 500 = 1.62%

   一百米涨半米，从常温一路升到炉温。铸铁的系数小，正是它当年成为发动机缸体与机床床身的材料的理由——常见金属里它动得最少；这个算例放在这里是为了说明效应该在什么规模上不再可以被忽略：540 mm 不是公差，而是一个设计要素。它也说明了输入框的上下限为什么开得那么宽——总会有读者真的有一段一百米的管道要从冷走到热，这一页宁可回答他，而不是拒绝他。

体应变那一行默认材料在各个方向上膨胀得一样多。金属与玻璃成立，木材不成立（顺纹与横纹的膨胀可以差一个数量级），单晶与层压复合材料也不成立——对它们来说，每个方向要有各自的系数，那个「3」什么也不代表。系数本身通常标在 20 ℃ 附近，而 α 会随温度缓慢上升，所以跨 500 K 的答案是从室温测量值外推出来的，不是那个温度下的测量。不同手册给出的值也会有出入：下面两份参考文献里，铝一边是 23×10⁻⁶、另一边是 25×10⁻⁶，差几个百分点，所以任何答案的第三位小数是装饰，第一位才是信息。本页给的是自由膨胀的长度变化，对两端被约束住的情况一句话也没说——同样一个膨胀量被拦住之后会变成量级为 E·α·ΔT 的应力，对钢、温差 60 K，那是一百多兆帕，足够把钢轨顶弯或者把焊缝拉裂，而上面那几个数字里一点也看不出这件事。它也不管时间：厚铸件受热不均匀，膨胀是以温度梯度的形式到来的，结果是变形与翘曲，而不是整块均匀变长。最后，它假定温度变化发生在材料软化点以下——接近玻璃化转变的塑料、或者接近熔点的任何东西，都不是一个系数能描述的了。

热膨胀公式是什么？

ΔL = α · L · ΔT：伸长量等于材料的线膨胀系数乘原始长度乘温度变化。对各向同性固体，体积的膨胀是同样的比例再乘三倍，也就是体应变 = 3 · α · ΔT——这个「3」来自空间有三个方向，不是另一条物理规律。本页两个都印出来，第二个按百分比印成应变而不是印成体积，因为那是系数直接给你的形式。要反推系数就把它挪一下：α = ΔL / (L · ΔT)，但注意分母上的 L 是原始长度，不是变形后的。

钢每升高一度会涨多少？

约 12×10⁻⁶/K，也就是每米每度长 0.012 mm——12 微米，大约是一张纸（约 0.1 mm）厚度的八分之一。从冬夜到夏天午后那 60 K 的温差里，一根 25 m 的钢轨要长 18 mm，这就是铁轨为什么要留缝、以及长钢轨为什么要预加应力再锚固的原因。铝的响应大约是钢的两倍（23×10⁻⁶），PVC 超过钢的四倍（55×10⁻⁶），所以同样长度的一段塑料管道比金属管道需要更密的支架和更宽的伸缩弯。

为什么体应变是线应变的三倍？

因为固体在三个方向上同时膨胀。每个方向都涨 α·ΔT 的比例，所以一个立方体的体积涨 (1 + α·ΔT)³ − 1，在这些很小的数下它等于 3·α·ΔT，到小数点后很多位都一致。但这个三倍的前提是各向同性——它假设材料沿每个轴的膨胀完全相同。木材不是（横向的膨胀可以比纵向大一个数量级），单晶不是，层压复合材料也不是；对它们来说，本页那一行体应变给的不是近似答案，而是另一个问题的答案。

我填的长度是原始长度还是变形后的长度？

原始长度，也就是升温之前、起始温度下的那个长度。这比看上去要紧：从量到的末长反推系数时要除以原始长度，用末长去代会引入约 α·ΔT 量级的相对误差——对钢可以忽略，对塑料在大温差下不能忽略。本页把伸长量与变形后的总长都印出来，就是为了让这两个数各自是谁一目了然：伸长量永远是相对你填的那个长度算的，而总长是它加出来的结果。

伸缩缝是干什么用的？

它是「不能让膨胀自由发生」时的办法。两端固定的零件不会停在它想变成的长度上：膨胀被拦住，就转成应力，量级是材料的弹性模量乘上 α·ΔT——对钢、温差 60 K，那是一百多兆帕，足够把钢轨顶弯、把管道拱起、把焊缝拉裂。伸缩缝、伸缩弯、腰形孔、滑动支座都是给材料留出去处的做法，它们存在的原因是本页这个计算量总得有个去向：要么变成位移，要么变成力。

为什么不同手册给的系数不一样？

因为这个系数既不是严格常数，也没有唯一公认值。α 随温度变化，所以「20 ℃ 时的值」与「0 到 100 ℃ 的平均值」是同一个材料的两个不同数；而同一个名字下还盖着一族合金——不锈钢的线膨胀系数从大约 10 到 18×10⁻⁶ 都有，下面参考文献里铝一边是 23×10⁻⁶、另一边是 25×10⁻⁶。多数情况下这点分歧只有几个百分点，不改变结论。当真要紧时（精密仪器、长距离管线、紧配合），它是「该去量实际那批材料」的理由，而不是「换一张表」的理由。

• GB/T 3102.4-1993《热学的量和单位》（等效采用 ISO 31-4:1992）——线膨胀系数、体膨胀系数、热容等量的定义与 SI 单位，本页 α 与体应变的量纲依据 — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids（英文）——ΔL = αLΔT 的英文教材口径、体膨胀 β ≈ 3α 的关系，以及常见金属的系数表与金门大桥的算例 — OpenStax（莱斯大学）
• Linear thermal expansion coefficients of materials（英文）——本页参考表逐条对照的手册来源：铸铁、黄铜、不锈钢、玻璃与 PVC 等材料的线膨胀系数 — The Engineering ToolBox