根式计算器
结果
精确形式
- 小数写法
- 9.899495
这一页做的是化简根式：把每一项里最大的那个完全平方因子提到根号外面，再把根号内剩下的数相同的项合并起来——课本里管这一步叫合并同类项。拿 √72 ＋ 3√2 − √8 来说，√72 里的 36 提出来变成 6√2，√8 里的 4 提出来变成 2√2，三项于是都成了 √2 的多少倍，系数 6 ＋ 3 − 2 一加，并成 7√2。最简根式就是停下来的地方：根号里再抽不出平方因子，也没有两项还能再并。√2 ＋ √3 两项的被开方数不同，已经是最简，式子照原样写着出去。
√72 ＋ 3√2 − √8，逐项看清楚
| 项 | 系数 | 被开方数 | 化简后的系数 | 化简后的被开方数 |
|---|---|---|---|---|
| √72 | 1 | 72 | 6 | 2 |
| 3√2 | 3 | 2 | 3 | 2 |
| -√8 | -1 | 8 | -2 | 2 |
一行一项，按输入的顺序排。前三栏是它进来时的样子，后两栏是提出最大平方因子之后的样子。这张表要看的正是最后一栏从上往下读——三项都落到 2，这个发现才让第四栏的系数加得起来：6 ＋ 3 − 2 ＝ 7。被开方数本来就不含平方因子的项（比如 3√2）原样穿过。表里的数全是整数，所以它在十个语言版本里长得一模一样。
公式
c√r → (c × m)√(r ÷ m²)，其中 m² 是能整除 r 的最大完全平方数 同类项：k₁√r ＋ k₂√r ＝ (k₁ ＋ k₂)√r
- √r
- 根式本身：一个整数 r 的平方根。这一页的每一项都是某个 √r 的若干倍，而两项是不是同类项，只看根号里的 r 是否相同——相加的是前面那个系数，r 一动不动。
- c
- 系数：根号前面那个整数，不写就是 1。它数的是有几个 √r 在相加，所以 3√2 加 2√2 是五个 √2，3√2 减 3√2 一个不剩。
- r
- 被开方数：根号里那个数。化简一项就是找出能整除 r 的最大完全平方数 m²，把 m 提到根号外面，根号里留下一个更小的 r。r 最小能降到 1，而 √1 就是 1。
- m²
- 能整除被开方数的最大的那个完全平方数——72 是 36，50 是 25，8 是 4。取最大的那一个，答案才叫最简根式而不只是「小了一点」：72 除以 4 得 18，而 18 里还留着平方因子。
- 同类项
- 化简之后根号里的数相同的那几项。根式相加永远只是在合并同类项：被开方数是那个被数的「单位」，两个同类项加起来时它不变。所以 6√2 与 3√2 并成 9√2，而不是 9√4。
当一串平方根要写成最简根式时用它——对作业答案、把结果整理干净再代进别的公式，或者看两个样子差很远的根式是不是其实同一个数。配套的验算办法是把系数平方再乘回根号里：6√2 是 36 × 2 ＝ 72，可见 6√2 与 √72 确实是同一个数。
算例
√72 ＋ 3√2 − √8
- √72：72 ＝ 36 × 2，最大的平方因子 36 提出来是 6，留下 6√2
- 3√2：被开方数 2 没有平方因子，这一项已经是最简
- √8：8 ＝ 4 × 2，4 提出来是 2，留下 −2√2
- 三项现在都是 6√2 ＋ 3√2 − 2√2——同为 √2 的倍数，被开方数不动，系数相加
- 6 ＋ 3 − 2 ＝ 7，所以和是 7√2
- 7√2 取六位小数是 9.899495
默认算例，也是这一页存在的理由：三个根式（72、2、8）看上去毫无关系，化简之后却是同一个根式数出来的 6 个、3 个、2 个。相加的过程中被开方数一次都没变，变的只有它前面那个个数。
√50 ＋ 5 − √18
- √50：50 ＝ 25 × 2，25 提出来是 5，留下 5√2
- √18：18 ＝ 9 × 2，9 提出来是 3，留下 −3√2
- 5 本来就是个整数，根号底下没有东西可化简
- 两个根式项是 5√2 − 3√2 ＝ 2√2
- 整数留在原地不动，所以答案是 5 ＋ 2√2
- 5 ＋ 2√2 取六位小数是 7.828427
整数项与根式项不是同类项，只能并排写着，不能并成一个数。但印法仍然有固定次序：有理项在前，所以这里是 5 ＋ 2√2；把同一个式子倒过来写，答案还是 5 ＋ 2√2。
√2 ＋ √3：并不动也是答案
- √2：被开方数 2 除了 1 没有别的平方因子，提不出东西
- √3：3 也没有平方因子，同样提不出东西
- 两个被开方数是 2 和 3，不相同，所以两项不是同类项
- 和就按原样写：√2 ＋ √3
- √2 ＋ √3 取六位小数是 3.146264
这里什么都没做，而这就是答案：被开方数不同的根式并不成一个根号，因为没有任何一个数的平方等于 5 能顶替 √2 ＋ √3。小数照样给出来——这个值是确定的，只是没有更短的精确写法。
局限
只收平方根。三次以上的根合并规则一模一样（比的还是根号里的数，加的也还是系数），但写法要带上指数（3∛2 里的 3 到底是系数还是指数），而这一页的记号只有一个 √，放不下；更高次的根请用 root-calculator，它一次化简一项。系数与被开方数都只收整数：2.5√2 的精确形式是 (5√2)/2，那需要分数，而 √2.5 同理是 √10 ÷ 2，两者都写不进这一格。根号里是负数一律拒收，因为没有实数平方之后是负的。最多收八项，系数与被开方数各自不超过一百万。结果里的小数是六位四舍五入，是那个精确值的近似，不是精确值本身。
常见问题
- 化简一个根式到底是在做什么？
- 把根号里的平方因子挪到根号外面变系数。√72 变成 6√2，因为 72 ＝ 36 × 2 而 36 是完全平方数。值一点没变——6√2 是 8.485281，√72 也是——但化成这个形状，后面的计算才用得下去。
- 什么样的两个根式算同类项？
- 化简之后根号里的数相等的两个。6√2 与 3√2 是同类项，并成 9√2；√2 与 √3 不是，它们的和写不成一个根号。相加的只有系数，被开方数是被数的那个单位，一直原样不动。
- 为什么答案给的是精确形式而不是小数？
- 因为绝大多数根式是无理数，小数只能近似它们。7√2 是精确值，9.899495 是同一个数取六位小数的结果，第七位就已经不对了。留着精确形式，答案才能接着参与后面的计算而不让误差累积。
- 能输入立方根吗？
- 这一页不行。∛8 ＋ ∛2 的合并规则与平方根完全一样，但记号要把指数写进根号里，而这一页印的是光秃秃一个 √。单项、任意次数的根请用 root-calculator（指数 2 到 12 都收）。
- 为什么整数也能跟根式写在一起？
- 因为整数就是被开方数降到 1 的根式——√25 是 5，5 就是 5√1。这样归成一类之后，整数与根式合用同一条合并规则，也顺带定下了印法次序：有理项在前，写成 5 ＋ √2。
- 怎么验算？
- 把系数平方再乘回根号里。7√2 验出来是 49 × 2 ＝ 98，跟原式对不上——所以验算要逐项做：6√2 是 36 × 2 ＝ 72，3√2 是 18，2√2 是 8，而 72 ＋ 18 − 8 ＝ 82。那正是各项被开方数按原样相加的结果，所以验算必须在合并之前做。
参考资料
- 二次不尽根（Quadratic Surd）——a√b 且 b 不含平方因子的标准形，正是表中「化简后的被开方数」那一栏的含义 — Wolfram MathWorld（美国）
- 根式（Radical）——根号这个记号与它所指的运算，包括为什么被开方数相同的两个根式才能相加 — Wolfram MathWorld（美国）
- 同类项（Like terms）——什么样的两项才能相加，在根式这里由根号内的数决定 — SplashLearn（美国）