骰子生成器

取法数(和) = (x + x² + … + x^面数)^骰子个数 展开后 x^和 那一项的系数 → 概率 = 取法数(和) / 面数^骰子个数

diceCount

掷几颗骰子，最多 20 颗。一颗骰子是均匀的，每个面一样可能；两颗以上中间的和会堆起来，这正是「和的概率」值得单独给出来的原因

sides

每颗骰子有几个面，从 2 到 100。常见的 d6 在这里，二十面骰与一百面骰也在这里

取法数(和)

有多少种掷法能得到这个和。取法数才是骰子上最诚实的单位——两颗六面骰掷出 7 有 6 种取法，36 种里的这 6 种就是它的概率

seed

这一掷的起点，可以取 0 到 4294967295 之间的任意整数。同一个种子配同一组骰子给出同一手点数，于是这一掷可以被重跑、被核对

和

各颗骰子点数相加。它从「骰子个数」（全是 1）到「骰子个数 × 面数」（全掷出最高面），所以一组骰子能掷出的和的个数是 骰子个数 × 面数 − 骰子个数 + 1

在意的是和、而具体每一颗骰子只是细节时用它：算 3d6 能不能压过一个目标值、开局之前先看一眼 2d6 的和的分布、或者要一掷可复现的固定种子局。固定种子是它不止于「好玩」的那一半——程序生成关卡、一群人复盘同一场、以及测试一条规则，都需要一掷可以重来的骰子，而种子正是把「这一掷」变成「谁都能重跑的这一掷」的东西。它不是物理意义上的公平骰子：这些点数来自一段确定性序列，所以任何「参与者不该能预测点数」的场合都不该用它。

1. 两个六面骰，种子 1：掷出 4 和 1，和是 5

   1. 两颗六面骰一共 6 × 6 = 36 种等可能的点数组
   2. 种子 1 把这一手定在 4 和 1 上，和是 4 + 1 = 5
   3. 和为 5 的取法有 1+4、2+3、3+2、4+1 四种，36 种里占 4 种
   4. 4 / 36 = 0.1111…，所以概率是 11.11%

   把这一掷和概率印在一起，要看的正是这个 11.11%：和是 5 看起来平平无奇，它确实是并列第三常见的和，可也只有大约九分之一的掷法能掷出来。和 2 与和 12 各只有一种取法，是最罕见的 2.78%；和 7 有六种取法，16.67%。一颗骰子完全没有这套结构——每个面都是 1/面数——所以概率出乎意料时，第一个该看的就是骰子个数。

2. 三个六面骰，种子 5：掷出 5、5、2，和是 12

   1. 三颗六面骰一共 6 × 6 × 6 = 216 种等可能的点数组
   2. 种子 5 给出的点数是 5、5、2，相加是 12
   3. 这组骰子能掷出 3 × 6 − 3 + 1 = 16 种和，从 3 到 18
   4. 和为 12 的取法有 25 种，216 种里占 25 种，概率 11.57%

   三颗骰子比两颗把中间挤得更密：最常见的是 10 和 11，各 12.5%，12 紧跟在后面 11.57%。同样是和 12，放在两颗骰子里却是最罕见的结果，只有 2.78%——所以一个和脱离骰子组谈概率是没意义的。这 16 种和也说明「个数不等于面数」：三颗六面骰的和从 3 到 18 一共 16 种，既不是 18 也不是 6。

3. 一颗二十面骰，种子 7

   1. 只有一颗骰子就没有点数可合并，每个面都一样可能
   2. 种子 7 给出的是 1 点
   3. 20 个面里占 1 个，1 / 20 = 5%

   这是分布退化成均匀分布的那一端：没有中间堆高的现象，因为只有一颗骰子，掷出 1 和掷出 20 一样可能。它也是看清「多出来的骰子在做什么」最直观的一格——2d6 的两端罕见，1d20 什么都不罕见，而机制完全在于每种和有多少种取法。旁边的随机数生成器讲的是同一件事的另一面：一次均匀抽取，和一串抽取之和，不是一回事。

4. 种子取到上界

   1. 种子最大可以填 4294967295，也就是 2³² − 1，生成器状态能存下的最大值
   2. 与第一条算例同样的两颗骰子，换了种子，所以是另一手点数
   3. 6 和 2 相加是 8，而和为 8 的取法有五种，36 种里占 5 种
   4. 5 / 36 = 13.89%

   种子填 4294967295 值得试一次，因为这是唯一一个「状态那一步写错也看不出来」的种子取值：状态按 32 位无符号整数保存，而最大值正好是那个差一位不再隐身的地方。这里看得见的结果是一手普通的 6 和 2——面板本来就不该看起来不一样——这正是把边界写成测试、而不是写成给用户看的功能的原因。

这些点数不是不可预测的。它们来自普通软件里那种又小又快的种子式序列：知道种子就能复现整手点数，看过几手就能反推出种子。所以任何「参与者不该能预测或还原这一掷」的场合都不该用它——带钱的对赌、密钥、令牌、一次性验证码，那些场合只有密码学随机源才是对的答案；固定种子局是给复盘、生成与测试用的，可复现在那里是目的本身。另外两条限制要说清楚：计算器下面那张参考表描述的是两个六面骰，它不跟着你填的骰子变——那张表是固定参考，跟着你的骰子走的是结果面板上的概率。以及，这里算的是公平骰子：有偏的实体骰子对不上这些数，无论骰子组是什么。

为什么计算器下面那张表和我填的骰子对不上？

因为那张参考表锁定在两个六面骰上。它是从常数算出来的、不是从输入算出来的，所以你改骰子时它不动；跟着你的骰子走的是结果面板上的概率，两者不一致时读面板。放这张表是因为 2d6 正是人们问「骰子概率」时心里想的那个分布：7 在中间，2 和 12 在两头。真要看别的骰子组的概率，面板给出的就是你掷出来的那个和的概率，同一个种子再掷一次、换一个和对照也可以。

种子是干什么的？为什么每次都是同一手点数？

种子是这一掷开始的状态，所以同一个种子配同一组骰子永远给出同一手点数。这是它的用处而不是偷懒：一场跑团复盘、一个生成出来要保持不变的关卡、一条要拿固定点数反复测的规则，靠的都是这个。换个种子，同一组骰子就是另一手。想让每次都不一样，就在两次之间改种子——面板不会背着你把种子往后推。

这些点数能用在「谁都不许提前猜到结果」的场合吗？

不能，而且这个区分很重要。点数来自一段又小又确定的序列：知道种子就能复现整手点数，看过几手就能把种子反推出来。凡是参与者不该能预测或还原这一掷的场合，都要换成密码学随机源。桌面复盘、生成关卡、测试规则、可复现的抽样都没问题——那正是「能重跑」本身就是理由的场合。

为什么两颗骰子时和 7 最常见，三颗骰子时却不是？

因为堆在中间的是「一个和有多少种取法」，而取法数取决于骰子组。两颗六面骰一共 36 种点数组，和 7 占 6 种（1+6 到 6+1），比其他任何和都多。三颗骰子时最常见的是 10 和 11，各 12.5%，7 就掉到后面去了。同一个和在骰子组不同时含义不同，所以面板总是把「和」和「你这一组骰子的概率」一起给出。

一组骰子能掷出多少种和？

从最小的和（全是 1）到最大的和（每颗都掷出最高面）：骰子个数乘以面数，再减去骰子个数，加 1。2d6 是 11 种、从 2 到 12；3d6 是 16 种、从 3 到 18；20d100 是 1981 种。所以它不是面数的个数；而且两端的和永远最罕见，因为各只有一种取法。

面板上的概率是「点数之和」的概率，还是「具体哪几点」的概率？

是点数之和的概率。两颗骰子掷出 4 和 1，与掷出 1 和 4，和都是 5，面板给的是这个和出现的概率，把所有加起来等于它的组合都算进去——和为 5 是 36 种里的 4 种。具体到有序的某一手是另一个小得多的概率（任意指定的一对是 1/36），面板给的不是它，因为决定「这一掷压不压得过目标值」的是和。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Dice — from Wolfram MathWorld（英文原版；骰子之和的生成函数写法，以及「取法数就是那个系数」这一条，本页参考表与 totalChance 的共同依据） — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods（英文原版；频率分布与「从取法数读出概率」的一般定义） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）