卷积计算器
结果
卷积结果
- 总和
- 90.000000
- 结果项数
- 5
卷积计算器把两个序列合成第三个：也就是常说的错位相乘：凡是能对上的一对一对乘起来，再把每一组乘积相加。这是两个有限序列的离散卷积，而「滑动」在这里是字面意思——一个序列一位一位地从另一个上面滑过去，每滑到一个位置就产生结果里的一项。结果的第一项是一个序列的首项乘另一个序列的首项，第二项是那里重叠的两个乘积之和，一直这样算到另一端。两个三项序列卷出来是五项，因为全卷积的长度等于两个长度之和减一。结果按顺序印出，位置本身就是索引；旁边还给出所有项的总和，那是一个一眼就能验的量，它永远等于两个序列各自之和的乘积。小数与负数照收，只填一个数也允许——与它卷积就是把这个序列整体缩放。
默认那对序列，逐个索引算一遍
| 索引 k | 各项相乘 | 数值 |
|---|---|---|
| 0 | 1 × 4 | 4 |
| 1 | 1 × 5 + 2 × 4 | 13 |
| 2 | 1 × 6 + 2 × 5 + 3 × 4 | 28 |
| 3 | 2 × 6 + 3 × 5 | 27 |
| 4 | 3 × 6 | 18 |
这是面板那个读数背后的推导，每一项的索引都写明了——面板上不标索引，因为逗号分隔的一行本身已有顺序，而「第几项对应哪个索引」正是这张表要说的事。沿着中间那一列往下读，滑动的过程就看得见：乘积的个数往中间越来越多、到另一端又变少，而每一行只用到在那里真正重叠的那些项。数值都是整数，因为默认的两个序列都是整数序列；小数项会让这一列出现小数，而这张表一律用普通句点，因为表格单元格不做本地化。
公式
(a * b)[k] ＝ Σᵢ a[i] × b[k − i] length ＝ m ＋ n − 1
- a、b
- 两个序列，按分号分隔输入。它们的先后无关紧要——卷积是可交换的，把两个框对调会得到完全相同的结果。两个序列的长度不必相同，也都可以带小数或负数。每个框最多收两百项。
- k
- 正在产生的那一项的索引，从 0 一直取到结果长度减一。它不会印在每一项旁边，因为逗号分隔的一行本身就有顺序：第一个数是 k ＝ 0，第二个是 k ＝ 1。下面那张参考表把默认那对序列的索引逐行写了出来，要核对位置就去那里看。
- a[i] × b[k − i]
- 求和式里的一项乘积。对每个 k，索引 i 取遍两个序列都有值的一切位置，所以相加的乘积个数从两端的一项升到中间的最短序列长度。重叠的图案就是整个思想的所在：一个序列从另一个上面滑过，乘积一列一列地被收集起来。
- Σᵢ
- 这些乘积的和，也就是结果里的一项。每一项舍到六位小数，而旁边报出的总和是由舍入后的项相加得到的，不是由原始项——所以你把手印在面板上的数加起来，得到的就是印着的那一个总和。
- m ＋ n − 1
- 结果的长度，它自己也是一个读数。两个三项序列得到五项；一个单数序列与一个三项序列卷积得到三项。比两个序列中较长的那个多出来的那几项，正是它是全卷积、而不是只保留完全重叠那一段的卷积的原因。
要把两个序列合成一个分布时用这一页：两颗骰子的点数和各有几种组合、滑动平均窗口对一串数做了什么、两个多项式的乘积系数是什么。问的是单个序列本身——它的项、它的和、它的规律——用数列计算器；而关心的是滑动平均的窗口怎么取时，就是平均数计算器那一页的事。
算例
一二三 与 四五六
- k ＝ 0：只有首项重叠，1 × 4 ＝ 4
- k ＝ 1：1 × 5 ＋ 2 × 4 ＝ 5 ＋ 8 ＝ 13
- k ＝ 2：1 × 6 ＋ 2 × 5 ＋ 3 × 4 ＝ 6 ＋ 10 ＋ 12 ＝ 28
- k ＝ 3：2 × 6 ＋ 3 × 5 ＝ 12 ＋ 15 ＝ 27
- k ＝ 4：只有末项重叠，3 × 6 ＝ 18
- 结果是 4, 13, 28, 27, 18，总和是 90，也就是 6 × 15
最后一行是让这一页容易信任的那个检查：卷积的各项之和永远等于两个序列各自之和的乘积，这里是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6 与 4 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 15。它来自代数本身，因为结果里的每一项都是两个序列各取一个相乘，而每一对可能的组合都恰好出现一次。
两颗骰子，以及点数和的形状
- 一颗骰子出现每个面的方式都只有一种，所以两个序列都是六个一
- 把它们卷起来就是在数「和为某个数」的组合有多少对：k ＝ 0 给出 1 × 1 ＝ 1，也就是和为 2 的一种情况
- k ＝ 1 给出 1 ＋ 1 ＝ 2 种和为 3 的情况，往后一路升高
- 峰值是 6，落在中间那一项，也就是和为 7
- 结果是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1，总和是 36
这是中心极限定理的一个微缩演示：两个平坦的分布卷在一起得到一个三角形，再卷进第三颗骰子就会进一步向钟形靠拢。总和 36 同时也是检查——两个序列之和的乘积是 6 × 6，也就是每一对有序的点数组合各算一种。
单个数把整个序列缩放
- 只有一项的序列没有可以重叠的对象，所以结果的每一项都是它乘以另一个序列的一项
- k ＝ 0：2 × 1 ＝ 2
- k ＝ 1：2 × 2 ＝ 4
- k ＝ 2：2 × 3 ＝ 6
- 结果是 2, 4, 6，总和是 12，也就是 2 × 6
这个退化情形值得跑一次，因为它说明滑动的画面是有尽头的：当一个序列长度是 1 时，永远不会有超过一项的乘积需要相加，卷积退化成了乘法。长度公式 m ＋ n − 1 给出 1 ＋ 3 − 1 ＝ 3 而不是更大的数，是同一件事的另一面。
局限
这一页只算全卷积，也只算全卷积。两种只保留部分结果的变体不提供：一种是返回与较长输入等长的序列，另一种是只返回两个序列完全重叠的那些位置。这两者对两个偶数长度的序列都没有良好定义，而全卷积是同时包含它们的结果——那两个短变体是它的切片，不是另外的计算。每个序列最多两百项，每个数的绝对值不超过 1000000，这是显示上的限制：卷积先乘后加，大数在溢出双精度之前早就溢出了可读的范围。结果的每一项舍到六位小数，报出的总和是舍入后的项相加得到的，所以手算加起来会重现印出来的那个总和而不是一个略微不同的数。结果是一行逗号分隔的数字，不做本地化，所以小数点在任何语言下都是句点。位置本身承载索引，不逐项标注；默认那对序列的索引在参考表里逐行写明。
常见问题
- 两个序列怎么手算卷积？
- 让一个序列从另一个上面滑过去，每到一个位置就把对上的乘积加起来。1、2、3 与 4、5、6 卷起来，第一项是 1 × 4 ＝ 4，第二项是 1 × 5 ＋ 2 × 4 ＝ 13，一路到最后 3 × 6 ＝ 18。结果一共五项，因为两个三项序列的全卷积长度是 3 ＋ 3 − 1。
- 怎么验算卷积算得对不对？
- 把结果的各项加起来，与两个序列各自之和的乘积比一比。1、2、3 与 4、5、6 卷出来是 90，而 6 × 15 也是 90，两者必须一致。原因在于结果里的每一项都是成对乘积之和，而两个序列之间每一对可能的组合都恰好落在其中某一项里。
- 为什么结果的项数比两个序列都多？
- 因为全卷积保留了只有部分重叠的那些位置。1、2、3 与 4、5、6 一共有五个这样的位置：两端各有一个只有一对相遇的位置，中间三个有多对相遇。另外两种更短的变体——返回与较长输入等长的，与只保留完全重叠的——都是这个结果的两个切片。
- 两颗骰子与概率有什么关系？
- 卷积在数组合数。一颗骰子就是六个 1 组成的序列，每个面一种情况；把这个序列与它自己卷积，数出来的就是「和为某个数」的有序组合有多少对：和为 2 有一种，和为 3 有两种，一路升到和为 7 的六种，然后又落回去。结果的总和 36 就是有序点对的总数，所以每一项除以它就得到概率。
- 移动平均也是卷积吗？
- 是。移动平均取一段等权的窗口——比如最近五天的数据各占五分之一——然后把它沿着数列滑过去，这正好就是与那个窗口做卷积。这也是卷积会出现在平滑、滤波与图像处理里的原因：被滑动的那个东西是一组权重，被平滑的那个东西是序列。
参考资料
- Convolution — 卷积的定义、重叠乘积之和，以及结果的长度 — Wolfram MathWorld（美国）
- Cauchy Product — 同一条规则用在两个幂级数的系数上，也就是把两组多项式系数做卷积所算的东西 — Wolfram MathWorld（美国）
- Convolution Theorem — 为什么卷积的变换等于变换的乘积，以及这个运算在信号处理里出现的地方 — Wolfram MathWorld（美国）