儿童身高百分位计算器

z = ((身高 ÷ M)^L − 1) ÷ (L · S) · 百分位 = Φ(z) × 100% · X = M · (1 + L · S · z)^(1 ÷ L)

身高

孩子站着量的身高。这是这一页唯一要你动手量的数——其余的都由那张图给出来 (cm)

年龄

孩子多大了，算到月。年龄与性别合起来只用来选出图上的哪一行，它们不进下面的算式

性别

男孩和女孩是两张图，因为同一个年龄上，两边身高的分布不一样——5 岁男孩的中位数约 109 厘米，女孩约 108 厘米

M

那一行的中位数身高：那个年龄、那个性别的孩子，一半比 M 矮、一半比 M 高

S

那一行里身高的分散程度。它写成一个占 M 的比例，而不是多少厘米——所以它不随身高长高而变大

L

一个把刻度拉一拉的幂，拉过之后分布左右就对称了。它随年龄变，而且有些年龄上它是负的

z

这个身高离中位数有多远，用上面那个分散程度作单位——在中位数以下是负的，以上是正的

Φ

正态曲线在 z 以下的那块面积。把距离变成百分位的就是这一步，它也是整条式子里唯一一个必须查表、不能靠心算得到的量

百分位

把上面那块面积写成百分比。多数人打开这一页要的就是它，它同时也是「第 3 百分位那条线画在哪」这个说法的来源

X

某个百分位对应的身高——同一个式子反过来读。本页只用它一次，就是第三个结果：这个年龄、这个性别，第 3 百分位那条线的高度 (cm)

手边有一个 2 岁以上、20 岁以下孩子的站立身高，想知道这个身高排在哪儿，就用这一页——它就是为这一个问题做的。2 岁以下不合适：那个年龄量的是躺着的身长而不是站着的身高，图也是另外一套（CDC 把两套分开印）。它也不是用来看生长趋势的：看趋势要把几次测量连成一条线、看这个孩子自己那条线的形状，而单独一个身高给不出形状。它更不会告诉你孩子算不算「矮」——把一个只是天生个子小的孩子与一个长得慢的孩子分开的，是几次就诊之间的走势，加上父母的身高和孩子自己的病史，这几样这一页一样都收不到。它不做成年身高预测，也不看体重：体重那一半走的是一张 BMI-for-age 图，2 岁以上孩子的胖瘦是照它读的。

1. 男孩，5 岁 0 个月，110 厘米

   1. 先找行：60 个月、男孩。这一行上 M ＝ 108.90 厘米、S ＝ 0.042541、L ＝ 1.260744——而这一行的第 3 百分位那条线是 100.1 厘米
   2. 身高除以中位数：110 ÷ 108.90 ＝ 1.010079
   3. 把商取 L 次幂：1.010079 ^ 1.260744 ＝ 1.012723，所以分子是 1.012723 − 1 ＝ 0.012723
   4. 分母是 L 乘 S：1.260744 × 0.042541 ＝ 0.053633
   5. 相除：z ＝ 0.012723 ÷ 0.053633 ＝ 0.24
   6. 查正态曲线在 0.24 处的面积：0.59376 的男孩在这个身高或它以下，所以百分位是 59.4

   刚满 5 岁的男孩身高中位数是 108.9 厘米，所以 110 厘米排在中间偏上一点；而这一行的第 3 百分位那条线在 100.1 厘米，比他低将近 10 厘米。这个距离正是这一页要让人看见的东西：同样一个 110 厘米，换个年龄就换一个位置。半年之后的 5 岁 6 个月，110 厘米是第 32.8 百分位；到 6 岁只剩第 14.3 百分位。这中间孩子什么都没变，变的只是年龄指向了图上另一行——这就是年龄那一格值得填准的原因。

2. 女孩，10 岁 0 个月，125.8 厘米

   1. 先找行：120 个月、女孩。这一行上 M ＝ 137.99 厘米、S ＝ 0.048612、L ＝ 0.273317，第 3 百分位那条线是 125.79 厘米
   2. 身高除以中位数：125.8 ÷ 137.99 ＝ 0.911659
   3. 取 L 次幂：0.911659 ^ 0.273317 ＝ 0.975038，所以分子是 0.975038 − 1 ＝ −0.024962
   4. 分母：0.273317 × 0.048612 ＝ 0.013286
   5. 相除：z ＝ −0.024962 ÷ 0.013286 ＝ −1.88
   6. 查正态曲线在 −1.88 处的面积：0.030139 的女孩在 125.8 厘米或它以下，所以百分位是 3.0

   这个身高是特意挑的：它本身就是第 3 百分位那条线（那条线的精确值是 125.79 厘米，四舍五入到 1 位就是 125.8），所以填进去应当原样读回 3.0%。这个来回是核对「页面与下面的对照表是不是同一张图」最快的办法——把表里第 3 百分位那一列的任意一个数填进来，百分位都该回到 3 附近。注意 z 的符号：−1.88 表示在中位数以下，第 3 百分位那条线就在中间往下 1.88 个分散单位处。这条线下面坐着大约 3% 的参照女孩——那是一句关于图的话，不是一句关于孩子的话。

3. 男孩，2 岁 0 个月，93 厘米

   1. 先找行：24 个月、男孩——这是图上第一行，不涉及插值。这一行上 M ＝ 86.45 厘米、S ＝ 0.040322、L ＝ 0.941524，第 3 百分位那条线是 79.9 厘米
   2. 身高除以中位数：93 ÷ 86.45 ＝ 1.075739
   3. 取 L 次幂：1.075739 ^ 0.941524 ＝ 1.071156，所以分子是 0.071156
   4. 分母：0.941524 × 0.040322 ＝ 0.037964
   5. 相除：z ＝ 0.071156 ÷ 0.037964 ＝ 1.87
   6. 查正态曲线在 1.87 处的面积：0.969557 的男孩在 93 厘米或它以下，所以百分位是 97.0

   93 厘米正好是这一行的上边界，也就是 2 岁男孩的第 97 百分位——所以它是上一个算例的镜像：z 在中间往上 1.87 个分散单位，而不是往下。表里首尾两列的间距，说的就是这个年龄上百分位在干什么：2 岁时第 3 百分位那条线是 79.9 厘米、第 97 百分位是 93.0 厘米，中间这 94% 的男孩只跨了 13 厘米左右。到 20 岁，同样这两列是 163.3 厘米和 190.2 厘米。所以一厘米在小年龄这一段很值钱，到了大的那一头几乎不值钱。

有两样东西在限制这一页算出来的百分位能说明什么，两样都不是算式的问题。第一样是测量本身。在家里量的站立身高，光手法就差着几毫米——穿着鞋、脚跟没并拢、下巴抬着、背没靠住墙——而在长得最快的这几年，一厘米值好几个百分位。男孩 5 岁，108、109、110、111、112 厘米依次落在第 42.3、50.8、59.4、67.5、74.9 百分位：大约每厘米八到九个百分位点。也就是说，「第 50 百分位」与「第 60 百分位」的差别，可能只是量得认真与量得马虎的差别；早上量比晚上量还要再高一点。第二样是作对照的那群孩子。这一页背后的图来自美国世纪之交前后几次调查里量出来的参照人群；那是一份参照，不是「孩子应该长成什么样」的标准，别的国家、别的年代的孩子不会正好落在这套数上。而且单独一次测量只是一个点：它分不出「天生个子小」与「长得慢」，因为那个区别藏在几次就诊之间连起来的那条曲线的形状里。早产的孩子在这里没有按胎龄做校正；体重也不在这一页的范围内——2 岁以上孩子的胖瘦要照 BMI-for-age 图来读。最后，「百分位」不是「百分比」：第 3 百分位不是「比正常矮 3%」，而是参照人群里大约有 3% 的孩子落在它下面。

身高百分位是什么意思？

它是同龄、同性别的孩子里，身高在这个数或它以下的比例。一个 5 岁男孩落在第 59.4 百分位，意思是他比刚满 5 岁的男孩里大约 59% 的人高，比另外 41% 的人矮。这句话里有两处措辞值得留意。「或它以下」是其中一处：这个数不是「身高正好 110 厘米的孩子有多少」，那种问法的答案会小得多。另一处是它说的是一群孩子，不是一个孩子——它只交代一个测量值在一排测量值里排在哪，没有说这个孩子以后会长成什么样、也没说这个数是什么决定的，那些本来就不是百分位能装的东西。

低于第 3 百分位就是偏矮吗？

不是，这一点值得说准。生长曲线上的一条百分位线，描述的是参照人群自己的分布，所以按定义就有大约 3% 的健康孩子落在第 3 百分位那条线以下——线是一把尺子上的刻度，不是一条健康判线。真正要看的东西这一页手上没有：孩子自己几次测量连起来的那条线的形状、父母的身高、以及孩子自己的病史。一个一直在第 3 百分位那条线附近稳稳长了好几年、和一个原本在第 50 百分位最近掉到第 3 百分位的身高，百分位读数一样，含义完全不同，而只有后一种是一次变化。

这一页管到几岁？

2 岁到 20 岁，而且量的是站立身高。这两个边界就是这一页带的那张图的边界：CDC 的 stature-for-age 图从 24 个月排到 240 个月，计算器把「几岁」与「再加几个月」加起来，让 5 岁 6 个月的孩子落到正确的那一行上。2 岁以下量的是躺着的身长，与站着的身高本来就不是同一个量（躺着量出来会略高一点），图也是另外一套。20 岁以上就没有图了，因为那时候已经不长了。

为什么年龄要分成「岁」和「月」两格填？

因为图上每半个月龄就是一行，也因为一个只写着「年龄」的输入框会让五个月大孩子的家长填一个 5，然后拿到一个算术上完全正确、内容上完全无关的答案。把年龄拆成「几岁」和「生日之后又过了几个月」，这个错误就没有地方可犯。月份本身也值得填准：一个 110 厘米的男孩，5 岁 0 个月时在第 59.4 百分位，5 岁 6 个月时在第 32.8 百分位，6 岁时降到第 14.3 百分位——身高一个字都没变，前半年掉 26.6 个百分位点，后半年又掉 18.5 个。

这一页用的是哪一套图？现在还算数吗？

用的是美国 CDC 2000 生长曲线里的 stature-for-age（2–20 岁），以及 CDC 随图一起公布的 LMS 参数。作参照的那群孩子来自美国全国性调查，这套图 2000 年发布，在这个年龄段上至今仍是被普遍使用的一套。有两点要跟着一起说：参照人群描述的是某一个年代、某一群具体的孩子，别的国家、别的年代的孩子不会正好落在这套数上；而一张图是一份参照，不是标准——图上说一个孩子不常见，并不等于这个孩子有什么不对。

量错一两厘米，影响有多大？

在这个年龄上比多数人想的要大。男孩 5 岁，108、109、110、111、112 厘米依次是第 42.3、50.8、59.4、67.5、74.9 百分位——大约每厘米八到九个百分位点，所以差两厘米，答案就差出去 15 到 17 个百分位点。量的办法：脱鞋、靠墙站、脚跟并拢、背和头贴住墙面、眼睛平视前方（不要仰头）。早上量比晚上量更容易重复出同一个数，因为脊柱在一天里会被压短一点；同一个高度量两次取更接近的那个，比换一把更贵的尺子有用。

• Growth Charts — Percentile Data Files with LMS Values — 美国 CDC 国家卫生统计中心——本页那张图的原始数据文件（stature-for-age，2–20 岁，每半个月龄一组 L / M / S）
• 2000 CDC Growth Charts for the United States: methods and development — Kuczmarski RJ、Ogden CL、Guo SS 等——Vital and Health Statistics, Series 11, No. 246, 2002（这套图的做法与参照人群的出处）
• Smoothing reference centile curves: the LMS method and penalized likelihood — Cole TJ、Green PJ——Statistics in Medicine, 1992, 11(10):1305–1319（LMS 法本身：L 是 Box-Cox 幂、M 是中位数、S 是变异系数，本页两条式子就是它）
• Child and Teen BMI Calculator — 美国 CDC——2 岁以上孩子的体重该走 BMI-for-age 百分位来读，不是 weight-for-age