绝对值计算器
结果
绝对值
- 相反数
- -7.000000
绝对值计算器把一个数的符号去掉：−9 的绝对值是 9，9 的绝对值也是 9。这一页在它旁边还印第二个数——相反数，那是把符号翻过来而不是去掉所得到的数——因为这两个概念在教材里是放在一起教的，读者理所当然想看清楚它们差在哪里。对正数它们不同，对负数它们落到同一个答案上，而那个重合正是这一页最有用的地方。填任意一个数，正数、负数或小数，两种读法会一起回来。
数轴上的距离
| a | b | 距离 |
|---|---|---|
| -3 | 2 | 5 |
| -5 | -1 | 4 |
| 0 | 7 | 7 |
| -4 | 4 | 8 |
| -10 | -2 | 8 |
| 3 | -6 | 9 |
| -1 | 1 | 2 |
| 12 | 5 | 7 |
| -8 | -8 | 0 |
每一行都是一次减法的绝对值：a 与 b 之间的距离是 |a − b|，它把那次减法产生的符号去掉、留下间隙的长度。a 与 b 都等于 −8 的那一行给出 0，那是两点重合的情形；从 −4 到 4 的那一行给出 8，是从任一点到零的距离的两倍。这些数都是整数，这是有意的——小数距离的表需要本地化，1,5 在好几种语言里那样写、在另一些里写成 1.5，而整数到哪里都写成一个样子。注意这张表展示的是上面那个计算器算不出来的东西：它只收一个数，不是两个。
公式
|x| ＝ x（x ≥ 0） |x| ＝ −x（x < 0） 相反数 ＝ −x
- x
- 你填进去的那个数。页面量程内的任何实数都收：正数、负数、零、整数或小数。输入没有任何限制，因为绝对值对每个实数都有定义——它是这个站上唯一一个没有定义域要声明的运算
- |x|
- 绝对值，面板上的主结果：数轴上从零到该数的距离，所以它永远不会是负的。它写成两条规则而不是一条，因为规则在零那里换了：非负数什么都不用动，负数取它的相反数，而正是那一步让结果变成正的
- −x
- 相反数，位于零的另一侧、离零同样远的那个数。它与绝对值不是同一条指令：7 的相反数是 −7，而 7 的绝对值是 7，只有输入为零或负数时两者才一致。从第二列读出符号不是计算器出了错，而是那个运算的定义用在负数上的样子
凡是问「一个数有多大、符号先不管」的时候都是这一页：算术式里的绝对值符号、判断两个数谁离零更远、以及教材上「绝对值与相反数」那一节的练习题。它也是理解数轴上距离的入口——两个点之间的距离写成 |a − b|，而那个写法里正好有一次绝对值和一次减法。真的要算两个点之间的距离时改用距离计算器，那一页收两个坐标；数轴上的中点归中点计算器；而一组数据的极差就是 |最大值 − 最小值|，那是同一个概念在统计里的样子。
算例
正数的绝对值
- 7 不是负数，所以用第一条规则：|7| ＝ 7
- 绝对值是 7，没有变
- 相反数是 −7，离零同样远，只是在对面的那一侧
- 两种读法不同，这是正数输入通常的样子
页面默认打开的那一格，也是看清两列在回答不同问题最直白的办法。去掉符号与翻转符号写在纸上看着差不多，但对一个正数它们给出不同的答案——看过这一行的读者不会再搞混。
负数的绝对值
- −9 是负数，所以用第二条规则：|−9| ＝ −(−9)
- 结果是 9，也就是从零到 −9 的距离
- −9 的相反数同样是 9
- 两格都印 9——同一个数印了两遍，而不是出错
最常被当成故障报上来的那一行。输入为负时两个运算重合，因为去掉符号与翻转符号走到了同一个地方：对负的 x 来说，−x 正好就是绝对值。两列一致是信息而不是重复计算——它说明输入是负数。
介于 1 与 −1 之间的一个小数
- 0.125 是正数，所以绝对值就是 0.125
- 相反数是 −0.125
- 两个数都小于 1，这不改变任何一条规则
- 绝对值仍然是到零的距离
小数在这里与整数的表现完全一样——规则只管符号，别的都不管，所以大小从来不参与判断。介于 0 与 1 之间的数有一个很小的绝对值和一个同样小的相反数，而这一对仍然对称地落在零的两边。
局限
这一页收一个数，给出它的绝对值与相反数。它不算两点之间的距离，尽管那个距离是用绝对值符号写的——a 与 b 之间那段间隙的长度是 |a − b|，它一开始就需要两个数，而这一页链接的距离计算器收两个坐标。输入为负时两列印同一个数，那是定义的推论而不是舍入误差：对负的 x 来说，绝对值与相反数是同一个表达式 −x。零是唯一等于自己相反数的数，它的绝对值也是零，页面把两列都归一，使得输入为零时两格都印一个普通的 0、没有藏起来的负号。输入的绝对值上限是十五位数，再大就只能改用科学计数法印，而不再是平铺的一个数。结果印六位小数，背后的算术是完整精度。这一页没有分级徽章，因为输入是正、是负还是零，在那两个数里已经看得见了。
常见问题
- 一个数的绝对值是什么？
- 它是数轴上从这个数到零的距离，所以永远不会是负的。−9 的绝对值是 9，9 的绝对值也是 9：两个数都离零九个单位，只是分处两侧。数字两边的两条竖线就是这个距离的记号，不是括号。
- 输入负数时页面为什么把同一个数印两遍？
- 因为对负数来说绝对值与相反数是同一个表达式。定义说 x 为负时 |x| ＝ −x，而相反数按定义就是 −x，所以两列一定一致。−9 的相反数是 9，绝对值也是 9。这远不是重复计算，它告诉你一件事：输入是负数或零。
- 绝对值与相反数有什么区别？
- 绝对值去掉符号，相反数翻转符号。对正数这是两条不同的指令——7 的绝对值是 7，相反数是 −7。对负数它们走到同一个地方，对零则都给出零。页面把两列都印出来，是为了让这个区别看得见，而不是让读者自己去相信。
- 绝对值可以是负数吗？
- 不能。它是距离，而距离不是负的。这对每个实数都成立，包括很大的负数：−1000000 的绝对值是 1000000。如果某次计算得出了负的绝对值，那一定是某一步把定义用错了——最常见的错法是对一个本来就是正数的数再取一次相反数。
- 零的绝对值有符号吗？
- 它就是零，而零是唯一一个等于自己相反数的数。在 JavaScript 的算术里，对零取负会得到一个负零，它印出来是 0，但在严格比较下与 0 不相等。页面把两列都归一，所以输入为零时每一格都是普通的 0，值里没有藏着的负号。
- 这一页会求两个点之间的距离吗？
- 不会。它收一个数，而两点之间的距离需要两个——a 与 b 之间的间隙是 |a − b|。下面的参考表把那次计算在数轴上做了出来，而页面底部链接的距离计算器处理的是平面上的情形，那里的答案涉及两个平方之和的平方根，而不是一次简单的减法。
参考资料
- Absolute Value — 两分支的定义、作为「到零的距离」的数轴读法，以及它的记号 — Wolfram MathWorld（美国）
- Additive Inverse — 一个数的相反数，也就是页面第二列背后的那个运算 — Wolfram MathWorld（美国）
- Real Line — 每个点都对应一个实数的数轴，也就是绝对值作为距离所依附的那张图，以及相反数落在哪里 — Wolfram MathWorld（美国）