Калькулятор средневзвешенного

Средневзвешенное = Σ wᵢxᵢ ÷ Σ wᵢ

xᵢ

Одно значение из набора — оценка, цена, измерение. Указать нужно каждое значение, включая те, чей вес окажется нулевым: пропущенное значение и значение с нулевым весом — не одно и то же

wᵢ

Вес этого значения, записанный на той же позиции во втором поле. Это может быть процент, число кредитов, количество человек или любая другая доля — значение имеет только отношение весов, и страница не требует ни целых чисел, ни суммы 100

Σ wᵢxᵢ

Взвешенная сумма: каждое значение, умноженное на свой вес, а затем сложенное. Это числитель, и именно он сдвигает ответ в сторону значений с большим весом

Σ wᵢ

Сумма весов, напечатанная на панели результатов. Деление на неё и превращает взвешенную сумму обратно в среднее — а заодно служит проверкой: если это число не то, что вы ожидали, где-то перепутан вес, и ответ неверен так, как не выдаст ни одна другая строка

Берите средневзвешенное значение всюду, где значения должны считаться по-разному, и простое среднее — там, где одинаково. Учебные курсы — бытовой случай: экзамен весом 30 % и тест весом 10 % — это не две оценки, которые усредняются как равные, и та же арифметика покрывает средний балл, среднюю цену покупки в портфеле и оценку удовлетворённости клиентов, где у каждого филиала своё число ответов. Это ещё и верный инструмент для числа, которое само является средним: если филиал A сообщает среднее 40 по десяти продажам, а филиал B — 90 по двум, то среднее из 40 и 90 даёт 65, которых не платил ни один покупатель, а взвешивание по количествам даёт цифру, которую компания действительно заработала. Не используйте его, чтобы придать значению больше влияния потому, что оно надёжнее или важнее в каком-то другом смысле: вес — это доля в общем итоге, и ответ получается ровно таким, какой дало бы простое среднее, если повторить каждое значение столько раз, каков его вес.

1. Пять оценок с весами в процентах

   1. Умножьте каждую оценку на её вес: 85 × 20 = 1 700, 90 × 20 = 1 800, 78 × 10 = 780, 92 × 20 = 1 840, 88 × 30 = 2 640
   2. Сложите произведения: 1 700 + 1 800 + 780 + 1 840 + 2 640 = 8 760
   3. Сложите веса: 20 + 20 + 10 + 20 + 30 = 100
   4. Разделите: 8 760 ÷ 100 = 87,6

   Простое среднее этих пяти оценок равно 86,6, так что веса дают здесь прибавку ровно в один балл. Прибавка берётся от того, где стоит вес: 78 — самая низкая оценка, и на ней всего 10, а на 88 стоит 30, самая большая доля. Поэтому средневзвешенное значение сдвигается вверх — не потому, что веса несправедливы, а потому, что этого от них и просили. Тот же набор, прочитанный наоборот, достраивает картину: если бы 30 стояло на 78, а не на 88, ответ был бы 85,6, то есть на балл ниже простого среднего. Средневзвешенное значение осмысленно ровно настолько, насколько осмысленны веса, — поэтому сумма весов и печатается рядом с ним.

2. Средний балл по пяти предметам

   1. Умножьте каждый балл на кредиты этого предмета: 4 × 3 = 12, 3,7 × 4 = 14,8, 3,3 × 3 = 9,9, 3 × 2 = 6, 4 × 3 = 12
   2. Сложите произведения: 12 + 14,8 + 9,9 + 6 + 12 = 54,7
   3. Сложите кредиты: 3 + 4 + 3 + 2 + 3 = 15
   4. Разделите: 54,7 ÷ 15 = 3,6467

   Это и есть расчёт среднего балла, и именно поэтому страница печатает сумму весов: 15 кредитов — знаменатель дроби, и средний балл, полученный из 15 кредитов, — не то же утверждение, что средний балл из 60. Простое среднее пяти баллов равно 3,6, то есть кредиты сдвигают ответ на 0,0467 — меньше, чем в предыдущем примере, потому что кредиты меняются всего от 2 до 4, тогда как веса там шли от 10 до 30. Полезно знать и невзвешенную цифру: если бы все предметы весили одинаково, в зачётке этого студента стояло бы 3,6, а не 3,65.

3. Веса, не дающие в сумме 100

   1. Умножьте каждое значение на его вес: 10 × 1 = 10, 20 × 2 = 40, 30 × 3 = 90
   2. Сложите произведения: 10 + 40 + 90 = 140
   3. Сложите веса: 1 + 2 + 3 = 6
   4. Разделите: 140 ÷ 6 = 23,3333

   Эти веса дают в сумме 6, и это совершенно нормально: ответ был бы тем же, запиши их как 10, 20 и 30 или как 0,1, 0,2 и 0,3. Значение имеет только отношение, поэтому набор весов лучше читать как рецепт, а не как проценты: сколько бы веса ни давали в сумме, значения смешиваются именно в такой пропорции. Меняется одно — напечатанная рядом с ответом сумма весов, и она следует за тем, что вы ввели. Заметьте ещё, что ответ стоит куда ближе к наибольшему значению 30, чем простое среднее 20: самый большой вес стоит на самой большой величине, а средневзвешенное значение — это точка равновесия, поэтому оно смещается к тому, что весит больше.

Веса должны быть нулевыми или положительными, и хотя бы один из них должен быть больше нуля: у набора, все веса которого равны нулю, средневзвешенного значения нет, и такой ввод отклоняется вместо деления на ничто. Один нулевой вес допустим и означает, что это значение не учитывается: оно по-прежнему входит в количество и по-прежнему стоит среди значений, но в ответ не вносит ничего, — и это стоит понимать, прежде чем читать ноль как просто маленький вес. Ничего не нормируется за вас, поэтому веса, дающие в сумме 150, — это нормально, как и веса, дающие в сумме 0,4; на результат влияет только их отношение. Поля позиционные: веса нужно записать в том же порядке, что и значения, и их должно быть столько же, — при несовпадении страница откажет, а не станет угадывать, какой вес к какому значению относится, и этот отказ и есть защита от худшего здешнего провала — правдоподобного ответа, собранного из перепутанных пар. Отрицательный вес тоже отклоняется, причём без красной строки под полем: подпись появляется только у строки результата, потому что проверка идёт по всем парам сразу, а не по одному полю. Это не средневзвешенное по таблице частот, где одно значение представляет много измерений: для такого случая введите значение один раз, а его весом сделайте количество — ответ будет тем же, но скопированная как есть таблица не сработает. В наборе может быть не больше двухсот пар, а запись вроде 1,500 не принимается: запятая, после которой стоит ровно три цифры, одинаково похожа на 1,5 и на тысячу пятьсот, поэтому поле отказывается угадывать — пишите 1500 или 1,5.

Как посчитать средневзвешенное значение?

Умножьте каждое значение на его вес, сложите произведения и разделите на сумму весов. Для пяти оценок на этой странице произведения равны 1 700, 1 800, 780, 1 840 и 2 640, в сумме 8 760, а веса дают в сумме 100, поэтому ответ — это 8 760 ÷ 100 = 87,6. Оба операнда этого деления напечатаны на панели результатов, так что расчёт можно проверить, не перемножая всё заново вручную.

Чем средневзвешенное значение отличается от взвешенного среднего?

Это одно и то же число, и оба названия употребляются как взаимозаменяемые. Взвешенное среднее — более формальный вариант, он встречается в учебниках по статистике, а средневзвешенное значение — то, что чаще ищут в интернете. Смысл у обоих один: каждому значению даётся вес, а ответ представляет собой точку равновесия, которая стоит ближе к значениям с большим весом. Простое среднее — это то, во что всё превращается, когда все веса равны.

Должны ли веса давать в сумме 100?

Нет, и ничто на этой странице не делит на 100. Веса — это доля, поэтому значение имеет только отношение между ними: 1, 2 и 3 дают тот же ответ, что 10, 20 и 30, и тот же, что проценты. Наборы, не дающие в сумме 100, обычны, как только веса перестают быть процентами, — кредиты курсов, число ответов, доли портфеля. За тем, что вы ввели, следует только одно число — сумма весов, и страница печатает её рядом с ответом.

Что будет, если один из весов равен нулю?

Это значение полностью выпадает из среднего, как если бы его вовсе не было в списке, — но оно по-прежнему входит в количество и его всё равно нужно ввести в оба поля, потому что поля сопоставляются по позициям. Ноль — это не маленький вес, а отсутствие веса, и это два разных утверждения. Чего страница не примет, так это всех весов, равных нулю: тогда сумма весов равна нулю, у деления нет ответа, и ввод отклоняется вместо того, чтобы выдать бесконечность.

Можно ли посчитать этим калькулятором средний балл или оценки за курс?

Да, и это два стандартных применения. Оценки с весами считаются той же арифметикой, что и в первом примере: оценки идут в первое поле, а вес каждой работы — во второе. Средний балл считается так же, только значениями служат баллы, а весами — кредиты, и это второй пример: ответ будет тем самым числом, которое посчитал бы деканат, а напечатанная рядом сумма весов и есть сумма кредитов.

Зачем показывать сумму весов, если ответ от неё не зависит?

Потому что это знаменатель, по которому проверяют деление, и потому что именно здесь раньше всего видна опечатка. Если вы имели в виду проценты, а сумма весов вышла 97, значит, один вес набран неверно, — и полученное средневзвешенное значение неверно так, как не выдаст ни одна другая строка панели: и значения, и количество выглядят правильными. Если же веса — это количество чего-то настоящего, кредитов, ответов или людей, сумма интересна и сама по себе.

• Weighted Mean — MathWorld — Wolfram MathWorld
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (why the mean is a balance point, and how weights move it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)