Калькулятор среднего значения

Среднее = Σ xᵢ ÷ n

xᵢ

Одно значение из списка. Каждое значение весит одинаково — сказать, что одна запись важнее другой, здесь нечем

n

Сколько всего значений, здесь не больше двухсот. Оно печатается на панели результатов, чтобы деление можно было проверить, не пересчитывая список вручную

Σ xᵢ

Сумма всех значений, тоже напечатанная. Суммы и количества вместе обычно хватает, чтобы заметить опечатку: 433 на пять значений правдоподобно, а 4330 на пять — нет

min / max

Минимум и максимум списка — наименьшее и наибольшее значения. Они ограничивают среднее, которое никогда не выходит за их пределы, и по ним видно, плотный это набор или в нём есть значение, утягивающее ответ в сторону

Берите среднее значение, когда все значения должны весить одинаково и итог осмыслен: средняя оценка за контрольную, средний чек покупателя, среднее повторных измерений. Это верная сводка для ставки или для величины на единицу и самая простая в объяснении. Берите что-то другое, когда в списке есть крайние значения, которым не стоит давать волю: одно ушедшее в сторону значение сдвигает среднее на всё своё расстояние, делённое на количество, поэтому цену квартиры или доход обычно честнее называть медианой. Когда среднее стоит близко к середине между наименьшим и наибольшим, набор более или менее уравновешен и среднее описывает его хорошо; когда среднее прижато к одному из двух краёв, большая часть списка лежит с другой стороны, и среднее тянут.

1. Пять оценок за контрольную

   1. Сложите значения: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Сосчитайте их: 5 оценок
   3. Разделите: 433 ÷ 5 = 86,6
   4. Наименьшее 78, наибольшее 92 — среднее лежит между ними, ближе к середине

   Среднее 86,6 стоит близко к середине промежутка от 78 до 92 — так и выглядит уравновешенный набор, в котором ни одна оценка не тянет ответ на себя. Заметьте, что 86,6 не совпадает ни с одной из пяти оценок: это и не требуется, и набор из пяти значений, среднее которого оказывается шестым числом, — совершенно обычное дело. Сумма и количество напечатаны рядом, чтобы было видно, что 86,6 получилось из 433 на 5, а не взято на веру.

2. Набор с отрицательными значениями

   1. Сложите значения: −5 + (−1) + 3 = −3
   2. Значений три
   3. Разделите: −3 ÷ 3 = −1
   4. Наименьшее −5, наибольшее 3

   Отрицательные значения принимаются потому, что таких списков вокруг много: температуры за неделю, прибыли и убытки, показания, записанные как отклонение от базовой линии. С ними остаются верными две вещи. Среднее может оказаться вне того промежутка, который подсказывали бы одни положительные числа, а наименьшим по-прежнему остаётся самое отрицательное число, а не самое большое по модулю: −5 меньше −1, хотя 5 как число больше 1. Именно на этом месте минимум и максимум чаще всего и меняются местами.

3. Одно-единственное значение

   1. Сумма: 42
   2. Количество: 1
   3. Разделите: 42 ÷ 1 = 42
   4. Наименьшее и наибольшее совпадают — значение всего одно

   Одно значение — законный набор, и ответом будет само это значение, что удивляет тех, кто ждёт минимум из двух чисел. Второе число здесь нигде не нужно: сумма и количество равны 42 и 1, деление определено, а среднее одного измерения — это само измерение. Минимум и максимум схлопываются в одно и то же число, и это честное чтение, а не признак того, что калькулятор сдался.

Это обычное невзвешенное среднее: значение, введённое один раз, считается один раз, поэтому таблица частот или взвешенный опрос требуют другого расчёта, и список, в котором одна запись заменяет много наблюдений, даст здесь неверный ответ. Среднее к тому же легче всего утащить из всех сводных мер: одно значение, далёкое от остальных, сдвигает его на своё расстояние, делённое на количество, — поэтому минимум и максимум и печатаются рядом, а не оставляются на догадки. О разбросе середины набора оно не говорит ничего: два списка могут иметь одно и то же среднее и одни и те же крайние значения и всё равно быть совершенно непохожими — один собран в середине, другой распался на две группы по краям. Список ограничен двумястами значениями, а запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: три цифры после запятой одинаково похожи и на дробь 1,5, и на тысячу пятьсот, поэтому пишите 1500 или 1,5.

Как посчитать среднее значение набора чисел?

Сложите все значения, а потом разделите на то, сколько их было. Для оценок 85, 90, 78, 92 и 88 сумма равна 433, а значений пять, поэтому среднее — это 433 ÷ 5 = 86,6. Оба операнда напечатаны на панели результатов, так что расчёт можно проверить, не пересчитывая список вручную.

Среднее значение и среднее арифметическое — это одно и то же?

В обычной речи — да, это два названия одного числа. Среднее значение набора — это сумма, делённая на количество, а это ровно и есть среднее арифметическое. Слово «среднее» иногда употребляют вольно и о других серединах — о медиане или о средневзвешенном, — и за этой вольностью стоит следить, когда кто-то называет среднее, не уточняя, какое именно.

Можно ли вводить отрицательные значения?

Да. Температуры за неделю, прибыли и убытки, показания, записанные как отклонение от базовой линии, — всё это законные списки, и арифметика от знаков не меняется. Следить нужно за одним: когда в списке есть отрицательные числа, наименьшим считается самое отрицательное число, а не самое большое по модулю, поэтому −5 меньше −1.

Зачем калькулятор показывает минимум и максимум?

Потому что само среднее не говорит, хорошо ли оно описывает набор. Оценки со средним 86,6, разбросанные от 78 до 92, — это ровная группа; а оценки со средним 86,6, разбросанные от 40 до 100, — это группа из двух очень разных половин, и среднее это скрывает. Два крайних значения ограничивают ответ и показывают, как далеко он стоит от каждого края.

Может ли одно крайнее значение сильно изменить среднее?

Среднее сдвигается на расстояние от этого значения до среднего, делённое на количество, поэтому чем длиннее список, тем слабее влияние одной записи. В списке из пяти значений замена 92 на 100 поднимает среднее на 1,6; в списке из пятидесяти значений та же замена подняла бы его на 0,16. Поэтому среднее — честная сводка для длинного списка и хрупкая для короткого, где явно виден выброс.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the mean as the balance point of the data, and why a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)