Калькулятор стандартного отклонения

Стандартное отклонение = √( Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) ) для выборки или та же сумма, делённая на n, для генеральной совокупности

xᵢ

Одно значение из набора данных. Каждое входит как расстояние от среднего, и возведение этого расстояния в квадрат — то, что не даёт расстояниям выше среднего погасить расстояния ниже него

x̄

Среднее данных: сумма всех значений, делённая на их количество. Оно напечатано рядом с ответом, чтобы вычисление можно было проверить

n

Сколько значений в наборе, здесь не больше двухсот. Делитель равен n − 1 для выборки и n для генеральной совокупности, и это единственная разница между двумя стандартными отклонениями

Σ (xᵢ − x̄)²

Сумма квадратов отклонений: расстояние каждого значения от среднего возводится в квадрат, а квадраты складываются. Она выражается в квадратных единицах — именно поэтому последний шаг и извлекает квадратный корень

s

Само стандартное отклонение, в исходных единицах данных. Прибавление одной и той же постоянной ко всем значениям оставляет его неизменным; удвоение всех значений удваивает его

Берите его, когда одно число должно передать, насколько разбросаны измерения: повторные показания одной величины, оценки за экзамен, дневная выручка, вес партии деталей. Называйте выборочное стандартное отклонение, когда имеющиеся числа — выборка из чего-то большего, и переходите к генеральному, только когда список и есть вся группа целиком. Это же число превращает сырое значение в z-оценку и то, на чём построено большинство правил поиска выбросов. Обратите внимание, что даёт квадратный корень: сумма квадратов отклонений несёт квадратные единицы, и именно извлечение корня, по словам раздела Measures of Scale из NIST, возвращает единицы разброса к исходным единицам данных, тогда как дисперсия оставляет их в квадрате. Двух вещей стандартное отклонение не скажет: симметричен ли разброс и опечатка ли крайнее значение. Скошенный набор данных лучше описывают его квартили и медиана, чем стандартное отклонение.

1. Восемь значений: выборка и генеральная совокупность рядом

   1. Количество: 8 значений; сумма: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Среднее: 40 ÷ 8 = 5
   3. Отклонения от среднего: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   4. Квадраты отклонений: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. Выборочная дисперсия: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   6. Выборочное стандартное отклонение: √4,5714 = 2,1381

   Те же восемь значений как генеральная совокупность дают дисперсию 32 ÷ 8 = 4 и стандартное отклонение ровно 2. Неверно выбранный делитель — самая частая причина расхождения со другим калькулятором, и здесь ответ меняется примерно на 7 %: сильнее при малом n, слабее при большом.

2. Пять оценок за экзамен

   1. Сумма: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433 на пять оценок
   2. Среднее: 433 ÷ 5 = 86,6
   3. Квадраты отклонений: 2,56 + 11,56 + 73,96 + 29,16 + 1,96 = 119,2
   4. Выборочная дисперсия: 119,2 ÷ 4 = 29,8
   5. Выборочное стандартное отклонение: √29,8 = 5,4589

   Прочитайте отклонения и их квадраты рядом друг с другом: 78 стоит на 8,6 балла ниже среднего и даёт 73,96 в сумму — больше, чем остальные четыре оценки вместе. Возведение расстояния в квадрат и придаёт далёким значениям такой вес, и из-за него же один неудачный день сдвигает стандартное отклонение сильнее, чем среднее.

3. Генеральная совокупность из трёх значений, где делители далеки друг от друга

   1. Сумма: 4 + 8 + 6 = 18 на три значения, поэтому среднее равно 6
   2. Отклонения: −2, 2, 0; квадраты: 4, 4, 0, то есть сумма квадратов равна 8
   3. Генеральная дисперсия: 8 ÷ 3 = 2,6667
   4. Генеральное стандартное отклонение: √2,6667 = 1,633

   Три значения — самый короткий список, который эта страница ещё согласна считать выборкой, и именно здесь делитель показывает зубы: выборочный вариант делит те же 8 на 2 и сообщает 2 вместо 1,633, то есть разницу больше 20 %. Выборочное стандартное отклонение всегда больше генерального, и этот разрыв сужается по мере роста набора данных.

Это обычное арифметическое стандартное отклонение списка чисел. Веса оно использовать не умеет, поэтому значение, введённое один раз, считается один раз: таблица частот или взвешенный опрос требуют другого расчёта. Оно описывает разброс, а не форму: у скошенного набора одна сторона короткая, а другой тянется длинный хвост, и раздел Measures of the Spread of the Data у OpenStax прямо говорит, что при скошенном распределении стандартное отклонение может мало чем помочь и предпочтительнее квартили и медиана. Каждое значение учитывается, поэтому один неверно набранный выброс раздувает ответ. Список ограничен двумястами значениями. Запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: запятая между цифрами во многих странах десятичная, а в других разделяет разряды; пишите 1500 или 1,5. И наконец, числа читаются ровно так, как набраны, на любом языке: разделитель, которым вы пользуетесь, никогда не меняет смысла списка.

В чём разница между выборочным и генеральным стандартным отклонением?

В одном делителе. Оба исходят из одной и той же суммы квадратов отклонений, а затем выборочный вариант делит её на n − 1, а генеральный на n. Для восьми значений 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 сумма квадратов равна 32, поэтому выборочное стандартное отклонение равно √(32 ÷ 7) = 2,1381, а генеральное √(32 ÷ 8) = 2. Выборочный ответ всегда больше, и с ростом набора данных эти два значения сближаются.

Как найти стандартное отклонение вручную?

Пять шагов. Сложите значения и разделите на их количество, чтобы получить среднее. Вычтите среднее из каждого значения, чтобы получить отклонение. Возведите каждое отклонение в квадрат — именно возведение в квадрат не даёт значениям выше среднего погасить значения ниже него. Сложите квадраты. Разделите на n − 1 для выборки или на n для генеральной совокупности и извлеките квадратный корень. Формула стандартного отклонения в обоих случаях одна и та же; меняется только делитель. Панель выше печатает количество, сумму, среднее и сумму квадратов отклонений, так что каждый шаг можно проверить отдельно.

Почему выборочный вариант делит на n − 1, а не на n?

Потому что среднее, которое вы вычитаете, было измерено по тем же самым значениям, и каждое значение тянуло это среднее к себе. Отклонения, измеренные от среднего, которое выбрали сами данные, в среднем немного меньше истинного разброса, поэтому деление на n занизило бы его. Деление на n − 1 это исправляет. Поправка заметнее всего на коротких списках — при трёх значениях это разница в 22 %, — а когда значений несколько сотен, ею можно пренебречь.

Можно ли вставить столбец прямо из таблицы?

Да. Переводы строк, табуляции, точки с запятой, пробелы и запятая с пробелом после неё разделяют значения, поэтому и вставленный столбец, и строка, набранная через точки с запятой, одинаково подходят. Пустые куски пропускаются, а не отклоняются, так что лишний перевод строки в конце безвреден. Читается до двухсот значений. Одна форма отклоняется намеренно: запись вида 1,500 или 1.500, где после разделителя стоят три цифры, — в одних странах это разделитель разрядов, в других десятичная точка, поэтому пишите 1500 или 1,5.

В каких единицах получается стандартное отклонение?

В тех же, что и данные. Взвесьте партию деталей в граммах — и стандартное отклонение будет в граммах; в этом и смысл извлечения квадратного корня в конце, ведь сумма квадратов отклонений выражается в граммах в квадрате, и дисперсия тоже. NIST говорит об этом прямо: стандартное отклонение возвращает единицы разброса к исходным единицам данных, а дисперсия оставляет их в квадрате. Поэтому стандартное отклонение можно читать рядом с описываемыми значениями, а дисперсию — нет.

Почему мой ответ отличается от того, что даёт другой калькулятор?

В девяти случаях из десяти дело в делителе. Многие калькуляторы возвращают только генеральное стандартное отклонение или только выборочное, не говоря, какое именно. Посмотрите в формулировке другого инструмента, что там: n − 1 или n. Есть ещё две причины, которые стоит исключить: значение, набранное с десятичной запятой, которую другой инструмент прочитал как разделитель, и выброс, который один из вас учёл, а другой нет, — стандартное отклонение чувствительно к каждому отдельному значению, поэтому одно лишнее число его меняет.

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)