Калькулятор дисперсии

Дисперсия = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) для выборки или та же сумма, делённая на n, для генеральной совокупности

xᵢ

Одно значение из набора данных. Оно входит в расчёт как расстояние от среднего, и это расстояние возводится в квадрат до того, как что-либо складывается

x̄

Среднее данных: сумма всех значений, делённая на их количество. Оно напечатано рядом с результатом, чтобы арифметику можно было проверить

n

Сколько значений в наборе, здесь не больше двухсот. Делитель равен n − 1 для выборки и n для генеральной совокупности — это и есть единственная разница между двумя дисперсиями

Σ (xᵢ − x̄)²

Сумма квадратов отклонений: каждое расстояние от среднего возводится в квадрат, а потом они складываются. Возведение в квадрат придаёт значениям, далёким от среднего, куда больший вес: точка в 10 единицах добавляет к этой сумме 100, тогда как точка в 2 единицах — всего 4

σ²

Сама дисперсия. Она выражается в квадратных единицах, и это делает её подходящей величиной для сложения и неподходящей для чтения

Берите дисперсию, когда нужна именно квадратичная величина: дисперсии независимых источников складываются, поэтому дисперсия суммы равна сумме дисперсий, а стандартные отклонения так не складываются; дисперсионный анализ, регрессия и почти вся машинерия, на них построенная, берут на вход дисперсию, а не стандартное отклонение. Берите стандартное отклонение всякий раз, когда число должен прочитать человек: разброс в 4,5714 квадратной оценки не значит ничего, а 2,1381 оценки можно сравнить с самими оценками. Панель даёт и то и другое, так что выбор здесь о том, какое число называть. Заметьте, что дисперсия куда чувствительнее к одному крайнему значению, чем стандартное отклонение, ведь расстояние этого значения возводится в квадрат, прежде чем его учтут.

1. Восемь значений, выборочная дисперсия

   1. Сумма: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 на восемь значений, поэтому среднее равно 5
   2. Отклонения: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   3. Квадраты отклонений: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. Выборочная дисперсия: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   5. Стандартное отклонение для сравнения: √4,5714 = 2,1381

   Дисперсия равна 4,5714, а стандартное отклонение 2,1381, и это не совпадение: одно есть квадрат другого. Прочитайте две средние строки, прежде чем поверить ответу: сумма квадратов отклонений — единственное число в расчёте, которое трудно оценить на глаз, и панель печатает её, чтобы не приходилось верить ей на слово.

2. Те же восемь значений как генеральная совокупность

   1. Сумма квадратов отклонений та же: 32
   2. Генеральная дисперсия: 32 ÷ 8 = 4
   3. Генеральное стандартное отклонение: √4 = 2

   Две дисперсии из одного набора данных — 4,5714 и 4, — различающиеся только делителем. Переключить этот список стоит один раз на своих собственных числах: если таблица и эта страница расходятся, делитель почти всегда и есть причина. Дисперсия из этих двух куда чувствительнее к такому выбору, потому что её не уменьшил квадратный корень.

3. Четыре одинаковых показания, где разброс ровно нулевой

   1. Каждое значение равно 3, поэтому среднее равно 3, а каждое отклонение равно 0
   2. Сумма квадратов отклонений: 0
   3. Генеральная дисперсия: 0 ÷ 4 = 0
   4. Генеральное стандартное отклонение: √0 = 0

   Нулевая дисперсия означает, что разброса у значений нет вовсе, и это единственный случай, когда дисперсия, равная нулю, — настоящий ответ, а не признак того, что что-то пошло не так. Отсюда же и условие у коэффициента вариации: он требует положительного среднего, а не ненулевой дисперсии, ведь нулевой разброс, делённый на положительное среднее, — совершенно законный 0 %.

Это обычная невзвешенная дисперсия списка чисел: значение, введённое один раз, считается один раз, поэтому таблица частот или взвешенный опрос требуют другого расчёта. Её единицы квадратные — граммы превращаются в граммы в квадрате, — поэтому число нельзя сравнить с данными, из которых оно получено; для этого и служит напечатанное рядом стандартное отклонение. Поскольку каждое отклонение возводится в квадрат, одно крайнее значение начинает всем управлять: показание, завышенное в десять раз, вносит в сто раз больше, чем показание, отстоящее от обычного вдвое. Скошенный набор данных лучше описывать квартилями, чем дисперсией или стандартным отклонением. Список ограничен двумястами значениями, а запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: запятая между цифрами во многих странах десятичная; пишите 1500 или 1,5.

Как посчитать дисперсию?

Четыре шага. Найдите среднее, сложив значения и разделив на их количество. Вычтите среднее из каждого значения. Возведите каждую из этих разностей в квадрат и сложите их — эта сумма и есть сумма квадратов отклонений. Разделите её на n − 1 для выборки или на n для генеральной совокупности. Для значений 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 сумма квадратов равна 32, поэтому выборочная дисперсия равна 32 ÷ 7 = 4,5714, а генеральная — 32 ÷ 8 = 4.

В чём разница между дисперсией и стандартным отклонением?

В квадратном корне. Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии, то есть каждое из них есть квадрат другого: здесь дисперсия равна 4,5714, а стандартное отклонение 2,1381. Дисперсия — та, которую осмысленно складывать, потому что дисперсии независимых источников складываются, а стандартные отклонения нет. Стандартное отклонение — та, которую осмысленно читать, потому что оно возвращается в единицах данных, а не в квадратных единицах.

Почему дисперсия не меняется, когда ко всем значениям прибавляют постоянную?

Потому что дисперсия смотрит только на расстояния от среднего, а сдвиг всех значений сдвигает среднее на столько же. Прибавьте 100 к каждому из 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — и среднее поднимется с 5 до 105, а каждое отклонение останется прежним, поэтому сумма квадратов отклонений по-прежнему равна 32. Умножение всех значений на постоянную — обратный случай: дисперсия умножается на квадрат этой постоянной, а стандартное отклонение — на саму постоянную.

Может ли дисперсия быть отрицательной?

Нет. Каждое слагаемое в сумме квадратов отклонений — это квадрат, поэтому сумма никогда не отрицательна, а делитель — положительное количество. Наименьшая возможная дисперсия равна нулю, и это бывает только тогда, когда все значения одинаковы: четыре показания, равные ровно 3, дают дисперсию 0. Отрицательная дисперсия на экране означает, что расчёт пошёл не так, а не то, что данные необычны.

Можно ли вставить столбец прямо из таблицы?

Да. Переводы строк, табуляции, точки с запятой, пробелы и запятая с пробелом после неё разделяют значения, поэтому вставленный столбец подходит как есть, а пустые куски пропускаются, а не отклоняются. Читается до двухсот значений. Запись вида 1,500 или 1.500 отклоняется намеренно: три цифры после разделителя в одних странах означают разделитель разрядов, в других десятичную точку, поэтому пишите 1500 или 1,5.

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University