Калькулятор среднего, медианы, моды

Среднее = Σ xᵢ ÷ n Медиана = серединное значение отсортированного списка Мода = значение с наибольшей частотой

xᵢ

Одно значение из набора данных. Каждое считается один раз — и то, что стоит близко к середине, и то, что ушло в край

n

Сколько всего значений, здесь не больше двухсот. Все три центра делят на количество, а не на n − 1, поэтому переключателя «выборка или генеральная совокупность» на этой странице нет

x̄

Среднее. Единственный из трёх, который способно сдвинуть любое значение набора, — поэтому одно крайнее значение тянет за собой именно его и не трогает остальные два

M

Медиана: отсортируйте значения и возьмите серединное, а при чётном количестве — среднее двух средних. Половина данных лежит ниже неё, половина выше

f

Частота моды: сколько раз встречается самое частое значение. Частота 1 означает, что ни одно значение не повторяется, и тогда первое место делят все значения списка

Называйте медиану, когда в списке есть выбросы или длинный хвост: цены на жильё, доходы, время ожидания — всё, где одно значение может оказаться огромным. Медиану не сдвигает то, насколько далеко ушло крайнее значение, — только то, сколько значений лежит с каждой стороны. Называйте среднее, когда все значения должны весить одинаково и важен итог: средняя оценка, средний чек покупателя, ставка. Называйте моду, когда вопрос в том, что типично в смысле «чаще всего»: какой размер обуви завозить, сколько пассажиров обычно бывает. Если все три совпали, набор более или менее симметричен и выбор неважен. Если разошлись, сообщайте медиану и объясняйте почему: у скошенного вправо набора мода лежит ниже медианы, а среднее выше неё, и тянут как раз среднее.

1. Скошенная неделя: три центра расходятся

   1. Отсортировано: 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 — значений семь, значит, серединное из них четвёртое
   2. Медиана: 3
   3. Сумма: 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9 = 28, поэтому среднее равно 28 ÷ 7 = 4
   4. Мода: 2 встречается дважды, а трижды не встречается ничто, поэтому мода — это 2 с частотой 2

   Читайте три ответа как форму, а не как три оценки одного и того же: мода 2, медиана 3, среднее 4 — именно в этом порядке они и служат подписью скошенного вправо набора, ведь 7 и 9 подтянули среднее выше медианы, а мода осталась на месте. Замените 9 на 90 — среднее подскочит до 15,6, а медиана не сдвинется вовсе.

2. Две моды и неочевидная середина

   1. Отсортировано: 2, 2, 5, 5, 9 — серединное значение равно 5
   2. Сумма: 23, поэтому среднее равно 23 ÷ 5 = 4,6
   3. Два значения встречаются по два раза каждое: 2 и 5, значит, мод две и панель сообщает меньшую из них

   Этот набор бимодальный — два значения делят первенство по частоте, — и такой набор часто оказывается двумя группами, случайно сваленными в одну: здесь это скопление двоек и скопление пятёрок. Страница сообщает меньшее из совпавших значений и число мод рядом с ним, и это честное чтение: само по себе число 2 не больше мода, чем 5, оно просто первое по порядку.

3. Ни одно значение не повторяется

   1. Каждое значение встречается ровно один раз, значит, ничто не чаще остального
   2. Частота моды: 1; число мод: 3, то есть все значения набора
   3. Среднее и медиана: оба равны 2

   Частота 1 при числе мод, равном количеству значений, — это способ страницы сказать «моды нет», и такое утверждение полезнее пустого ответа: три отдельных числа вместе сообщают, что совпали все значения. В строке моды всё равно стоит число — наименьшее в списке, — просто чтобы строка не осталась пустой.

Все три описывают середину, а размах, напечатанный рядом, говорит лишь о том, насколько далеко разошлись два крайних значения, — и это не то же самое, что разброс данных между ними: два набора могут иметь одно и то же среднее, одну и ту же медиану и один и тот же размах и быть совершенно непохожими, один плотно собран, другой растянут от края до края. Скошенный набор лучше описывают медиана и квартили, чем среднее: среднее уезжает в сторону хвоста, а медиана — нет. Мода из трёх наименее устойчива: от изменения одной записи она может перескочить на другое значение, а на непрерывных измерениях полезной моды часто нет вовсе, и то, что кажется модой, может быть просто округлением. Эта страница читает обычные числа, поэтому таблицу частот придётся развернуть в её значения, прежде чем ею здесь воспользоваться, а список ограничен двумястами значениями.

Как найти среднее, медиану и моду?

Для среднего сложите значения и разделите на их количество. Для медианы отсортируйте список и возьмите серединное значение, а при чётном количестве — среднее двух серединных. Для моды сосчитайте, сколько раз встречается каждое значение. У набора 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 сумма равна 28 на семь значений, поэтому среднее равно 4; четвёртое из семи отсортированных значений равно 3, поэтому медиана равна 3; а 2 встречается дважды, поэтому мода равна 2.

Какую из трёх мер выбрать?

Берите медиану, когда есть выбросы или длинный хвост: ей неважно, насколько далеко ушло крайнее значение, — важно только, сколько значений лежит по каждую сторону от неё. Берите среднее, когда все значения должны считаться одинаково и важен итог: средняя оценка, ставка. Берите моду, когда нужно самое частое значение, а не серединное: например, чтобы решить, какой размер завозить. Совпадение всех трёх — полезный сигнал сам по себе: он означает, что данные близки к симметричным и выбор не так уж важен.

Что значит, когда моды нет?

Это значит, что все значения встречаются одинаковое число раз и ни одно не чаще остальных. Страница говорит об этом прямо, а не оставляет строку пустой: частота моды равна 1, а число мод равно количеству значений, поэтому набор 1, 2, 3 возвращается как три моды. Это не ошибка — для короткого списка без повторов такой ответ и ожидается, а для непрерывных измерений он обычен.

Может ли у набора быть несколько мод?

Да, и это встречается часто. Если два значения делят наибольшую частоту, обе являются модами, а набор называют бимодальным; панель сообщает меньшее из них и показывает рядом число мод. Две моды часто означают, что случайно смешали две группы — скопление одного размера и скопление другого, — и это стоит заметить, прежде чем называть один общий центр для всего списка.

Есть ли у этих мер версия для выборки и для генеральной совокупности?

Нет, и переключателя для этого на странице намеренно нет. Все три центра делят на количество значений; поправка на n − 1 принадлежит мерам разброса, а не середине. Среднее остаётся средним независимо от того, выборка это или вся группа целиком. Если нужна разница между выборкой и генеральной совокупностью, это страницы стандартного отклонения и дисперсии, где такой выбор действительно есть.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• Skewness and the Mean, Median, and Mode — Introductory Statistics 2e, section 2.6 — OpenStax, Rice University