Калькулятор размаха

Размах = max − min

max

Наибольшее значение в наборе. В расчёте участвуют только оно и наименьшее значение, поэтому всё, что стоит между ними, можно как угодно переставлять, не меняя ответ

min

Наименьшее значение в наборе. Вместе с наибольшим оно задаёт весь промежуток, и поэтому размах описывают как меру масштаба, использующую крайние значения и ничего больше

размах

Ширина промежутка, в который попадают все значения, в тех же единицах, что и данные. Он никогда не отрицателен и равен нулю ровно тогда, когда все значения одинаковы

n

Сколько значений в списке, здесь не больше двухсот. На ответ это не влияет никак — количество печатается только для того, чтобы вы убедились, что прочитан весь список

Берите размах, когда нужен разброс в одну строку, а интересны как раз крайние значения: суточный перепад температуры, промежуток между самой дешёвой и самой дорогой ценой, разница между лучшим и худшим временем в забеге. Это и честная сводка процесса, где важны только крайние значения, например проверка допуска: вал либо проходит в разрешённый коридор, либо нет. А неверный это инструмент всегда, когда важно то, что в середине. Поскольку он использует два значения и отбрасывает остальные, одно дикое показание сдвигает его ровно так же, как настоящий сдвиг всего распределения, — поэтому и существуют стандартное отклонение и межквартильный размах: они распределяют влияние данных между всеми значениями и остаются полезными, когда у списка тяжёлый хвост. Размах, названный рядом со средним, — это тревожный признак, если список не короток; а размах, названный рядом с наименьшим и наибольшим значениями, как выше, — просто описание двух концов.

1. Восемь значений: размах равен 7

   1. Отсортируйте: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — наименьшее значение равно 2, наибольшее равно 9
   2. Размах = 9 − 2 = 7
   3. Шесть значений между ними — 4, 4, 4, 5, 5 и 7 — в расчёте не участвовали

   Восемь значений случайно уместились в трёх единицах вокруг середины, а размах сообщает 7, потому что измеряет весь промежуток, а не его плотную часть. Этот зазор между «насколько широк список» и «насколько тесно значения жмутся друг к другу» и есть вся причина, по которой рядом с размахом обычно называют вторую меру разброса.

2. Одно значение выброшено вбок: размах скачет до 88

   1. Изменилось только наибольшее значение, с 9 на 90 — остальные семь совпадают с первым примером
   2. Размах = 90 − 2 = 88
   3. Выборочное стандартное отклонение того же списка равно 30,2864 против 2,1381 прежде

   Обе меры выросли, но по разным причинам. Размах сдвинулся ровно на столько, на сколько сдвинулось крайнее значение, потому что его решают две самые внешние точки и ничто больше. Стандартное отклонение распределено по всем восьми значениям, поэтому то же самое изменение поглощается и разбавляется остальными семью. Ошибки в одну цифру в одном числе достаточно, чтобы размах потерял смысл; чтобы так же сдвинуть стандартное отклонение, нужна настоящая перемена в данных.

3. Отрицательные значения и десятичная дробь

   1. Наименьшее значение равно −5, наибольшее равно 10 — знак входит в само значение, поэтому промежуток переходит через ноль
   2. Размах = 10 − (−5) = 10 + 5 = 15
   3. Отрицательные показания работают точно так же, как положительные: вычитание минимума прибавляет его модуль, потому что два минуса сокращаются

   Вычитание отрицательного числа — то место, где расчёт на бумаге чаще всего идёт не так, и когда данные переходят через ноль, ответ заметно больше любой из крайних точек. Список отрицательных температур, высот ниже уровня моря или остатков на счетах ведёт себя одинаково.

Размах использует два значения из всего списка, поэтому одно крайнее показание решает его целиком: одна опечатка, один сбой прибора, один по-настоящему необычный день — и число сдвигается на всю величину ошибки. О середине данных он тоже молчит, а ведь именно там обычно и лежит большинство значений: два списка с одинаковыми минимумом и максимумом могут быть распределены равномерно или сбиты в одну кучу, и размах их не различит. Сравнивать размах между наборами данных осмысленно только тогда, когда сопоставимы единицы и объёмы выборок, ведь у большей выборки больше шансов содержать крайнее значение. Список ограничен двумястами значениями, а запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: запятая между цифрами в одних странах десятичная, в других разделяет разряды. Эта страница не помечает выбросы: для этого размах — последняя мера, за которую стоило бы браться, ведь его задают ровно те значения, которые вы и проверяли бы.

Как найти размах набора данных?

Найдите наибольшее значение и наименьшее, а затем вычтите: размах = максимум − минимум. Для списка 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 это 9 − 2 = 7. Больше в списке ничего не важно, поэтому сортировать данные и считать их количество не нужно — хотя при длинном списке сортировка надёжно выводит на оба крайних значения. Калькулятор выше берёт числа как есть и печатает минимум и максимум рядом с ответом, чтобы вычитание можно было проверить.

Почему размах так легко сбивает одно значение?

Потому что его задают два самых внешних значения, а все остальные он игнорирует. Замените 9 на 90 — и размах пойдёт с 7 на 88, то есть прыгнет на 81, ровно на столько, на сколько сдвинулось это единственное значение. Выборочное стандартное отклонение того же списка поднимется только с 2,1381 до 30,2864, потому что каждое из восьми значений вносит свою долю. Эта чувствительность — не дефект формулы; она и есть смысл выражения «ширина списка». Но из неё следует, что размах не стоит называть, не сказав, по скольким значениям он посчитан.

Размах — то же самое, что межквартильный размах?

Нет, и вопросы они решают разные. Размах — это полная ширина данных, от наименьшего значения до наибольшего. Межквартильный размах — ширина средней половины, от первого квартиля до третьего. Межквартильный размах намеренно нечувствителен к хвостам, а размах намеренно к ним чувствителен, поэтому, называя оба, вы двумя числами даёте читателю и полную ширину, и ширину плотной середины. Если место есть только для одного, спросите себя, осмысленно ли крайнее показание в ваших данных или это ошибка.

Зависит ли размах от выбора выборки или генеральной совокупности?

Нет, и поэтому переключателя выборки и генеральной совокупности на этой странице нет. Это различие важно для величин, которые делят на количество значений или на единицу меньше, — для дисперсии и стандартного отклонения, — потому что этот делитель у выборки и у всей совокупности разный. Размах — это вычитание, и делить в нём нечего. На страницах дисперсии и стандартного отклонения такой переключатель есть; здесь он ничего бы не изменил, а его наличие намекало бы на обратное.

Может ли размах быть отрицательным или нулевым?

Отрицательным он быть не может: наибольшее значение по определению не меньше наименьшего, поэтому вычитание даёт ноль или положительное число. Нулю он равен ровно тогда, когда все значения в списке одинаковы, включая случай одного значения, где максимум и минимум — это оно само и размах равен 0. Ноль здесь настоящий ответ, а не отказ: он говорит, что разброса у данных нет вовсе. Одно значение принимается по той же причине: ничему в этом расчёте второе наблюдение не нужно.

Эта страница показывает, какие значения являются выбросами?

Нет. Обычное правило пометки возможных выбросов опирается на межквартильный размах: выбросом считается значение ниже первого квартиля или выше третьего более чем на 1,5 × IQR, и для этого есть отдельный калькулятор. Пользоваться здесь размахом было бы рассуждением по кругу, ведь размах и задают ровно те крайние значения, которые вы собрались проверять: собственные минимум и максимум любого набора данных по определению и есть его самые крайние точки. Эта страница описывает, насколько широк список, а приговор оставляет инструменту, для этого сделанному.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the range as the largest value minus the smallest, and notes that the spread near the centre of the data is not captured at all) — National Institute of Standards and Technology
• Range — Wolfram MathWorld