Калькулятор квартилей

Q1 = значение в позиции (n − 1) × 0,25, Q2 в позиции (n − 1) × 0,5, Q3 в позиции (n − 1) × 0,75 (с интерполяцией между соседями); IQR = Q3 − Q1

xᵢ

Одно значение из набора данных. Квартили — это позиции в отсортированном списке, поэтому важен порядок значений, а не их величина: одно крайнее показание слегка сдвигает внешние метки, но среднюю половину почти не трогает

n

Сколько значений в списке, здесь не больше двухсот. Позиции считаются с нуля, и последняя равна n − 1, поэтому три позиции квартилей и разложены по этому диапазону

Q1

Первый квартиль, на нём или ниже лежит около 25 % данных. Он отмечает, где кончается нижняя четверть отсортированного списка, и это не обязательно значение, которое встречается в ваших данных

Q2

Второй квартиль, который и есть в точности медиана: половина данных на нём или ниже. Он напечатан здесь для сравнения, а отдельная страница медианы считает то же число по тому же правилу

Q3

Третий квартиль, на нём или ниже лежит около 75 % данных. Вместе с Q1 он ограничивает среднюю половину данных — ту самую, которую ящик на диаграмме размаха и рисует

IQR

Межквартильный размах, Q3 − Q1: разброс средней половины. Он выражается в единицах данных и, в отличие от стандартного отклонения, почти не зависит от выбросов, потому что полностью игнорирует внешние четверти

Квартили — верная сводка, когда данные скошены, содержат выбросы или измерены не в такой шкале, где складывать что-то осмысленно: доходы, цены на жильё, время отклика, оценки за экзамен. Там, где среднее и стандартное отклонение описывают симметричный колокол, пятичисловая сводка описывает распределение любой формы: медиана говорит, где центр, Q1 и Q3 — насколько растянута средняя половина, а наименьшее и наибольшее значения ограничивают всё остальное. Межквартильный размах — обычный спутник медианы по той же причине, по какой стандартное отклонение сопровождает среднее, и именно его называют, когда нужен разброс, который не раздуть одному дикому показанию. Он же лежит в основе диаграммы размаха и правила 1,5 × IQR для пометки возможных выбросов: граница строится здесь, но сама пометка — отдельная работа. Берите квартили вместе с гистограммой, когда это возможно: четыре точки отсечения не покажут, есть ли у данных два горба, и бимодальный набор совершенно спокойно даст самую обычную на вид пятичисловую сводку.

1. Восемь значений: Q1 = 4, Q3 = 5,5, IQR = 1,5

   1. Отсортируйте: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — значений восемь, значит, n − 1 = 7
   2. Q1: позиция 7 × 0,25 = 1,75, она между 4 в позиции 1 и 4 в позиции 2, поэтому Q1 = 4
   3. Q2: позиция 7 × 0,50 = 3,5, между 4 и 5, поэтому Q2 = 4,5 — та же медиана, что сообщает страница медианы
   4. Q3: позиция 7 × 0,75 = 5,25, между 5 в позиции 5 и 7 в позиции 6: 5 + 0,25 × 2 = 5,5
   5. IQR: 5,5 − 4 = 1,5, значит, средняя половина данных укладывается в промежуток шириной 1,5

   Средняя половина здесь — это четыре значения от 4 до 5,5, и IQR показывает, насколько широка эта полоса. Заметьте, что Q1 попал точно на точку данных, а Q3 — нет: то, какие квартили совпадут с наблюдёнными значениями, целиком зависит от количества, а пятичисловая сводка — это описание позиций, а не подмножество данных.

2. Четыре значения, где интерполируется каждый квартиль

   1. Отсортируйте: 1, 2, 3, 4 — значений четыре, значит, n − 1 = 3
   2. Q1: позиция 3 × 0,25 = 0,75, три четверти пути от 1 к 2, поэтому Q1 = 1,75
   3. Q2: позиция 3 × 0,50 = 1,5, ровно между 2 и 3, поэтому Q2 = 2,5
   4. Q3: позиция 3 × 0,75 = 2,25, четверть пути от 3 к 4, поэтому Q3 = 3,25
   5. IQR: 3,25 − 1,75 = 1,5

   Это тот случай, который и разделяет договорённости, поэтому стоит знать, что даёт альтернатива. Метод, принятый в OpenStax и во многих учебниках, делит данные по медиане и берёт середину каждой половины: нижняя половина — это 1 и 2, значит, Q1 = 1,5; верхняя — 3 и 4, значит, Q3 = 3,5, а IQR становится 2. Эта страница интерполирует между соседями, как это делают по умолчанию R и NumPy, и печатает Q1 и Q3, чтобы было видно, какая договорённость их дала.

3. Те самые 14 значений из учебника, посчитанные иначе

   1. Отсортируйте: 1, 1, 2, 2, 4, 6, 6,8, 7,2, 8, 8,3, 9, 10, 10, 11,5 — значений четырнадцать, значит, n − 1 = 13
   2. Q2: позиция 13 × 0,50 = 6,5, ровно между 6,8 и 7,2, поэтому Q2 = 7 — в точности медиана, которую сообщает учебник
   3. Q1: позиция 13 × 0,25 = 3,25, четверть пути от 2 в позиции 3 к 4 в позиции 4, поэтому Q1 = 2,5
   4. Q3: позиция 13 × 0,75 = 9,75, три четверти пути от 8,3 к 9, поэтому Q3 = 8,825
   5. IQR: 8,825 − 2,5 = 6,325

   Эти же четырнадцать чисел есть в разделе OpenStax о мерах положения, где используется метод половин и получаются Q1 = 2 и Q3 = 9, то есть IQR = 7. Оба ответа выведены из описанного и объяснимого правила; расходятся они потому, что по-разному интерполируют между одними и теми же наблюдениями. Медиана совпадает в точности, и это как раз успокаивает: какой бы ни была договорённость, середина набора данных остаётся серединой набора данных.

Четыре точки отсечения не могут описать распределение сами по себе. Два набора данных могут совпадать по всем квартилям и выглядеть совершенно по-разному — один собран в кучу, другой с двумя горбами, — поэтому, когда важна форма, читайте пятичисловую сводку рядом с гистограммой. Квартили к тому же — договорённость, а не факт: эта страница интерполирует между соседними значениями, следуя Hyndman–Fan type 7, а метод половин, принятый во многих учебниках, даст другие числа всякий раз, когда количество не кратно четырём. Количество важно и в другом смысле: при меньшем чем четыре значениях каждый квартиль оказывается интерполяцией, а при одном значении все пять чисел равны ему самому, и IQR равен нулю, потому что измерять нечего. Список ограничен двумястами значениями, а запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: запятая между цифрами в одних странах десятичная, в других разделяет разряды. И ничего на этой странице не помечает выбросы: 1,5 × IQR — стандартное правило для этого, но применять его — работа отдельного инструмента.

Как найти квартили набора данных?

Отсортируйте список и отсчитайте три позиции: (n − 1) × 0,25 для Q1, (n − 1) × 0,50 для Q2 и (n − 1) × 0,75 для Q3, интерполируя там, где позиция попадает между двумя значениями. При восьми значениях позиции равны 1,75, 3,5 и 5,25, что даёт Q1 = 4, Q2 = 4,5 и Q3 = 5,5. Межквартильный размах затем равен Q3 − Q1, здесь это 1,5. Все три квартиля вместе с наименьшим и наибольшим значениями напечатаны выше, так что вся сводка на одном экране.

Почему мой Q1 отличается от того, что даёт другой калькулятор?

Потому что квартили — договорённость, а не факт, и две распространённые договорённости расходятся всякий раз, когда количество не кратно четырём. Эта страница интерполирует между соседними значениями, следуя Hyndman–Fan type 7 — значению по умолчанию в R и NumPy. Многие учебники, включая OpenStax, вместо этого делят данные по медиане и берут середину каждой половины: для своих же четырнадцати значений это даёт Q1 = 2 и Q3 = 9, тогда как эта страница возвращает 2,5 и 8,825. Оба правила описаны. А Q2, медиана, в обоих случаях выходит одинаковым.

Что мне говорит межквартильный размах?

Это ширина средней половины данных: промежуток, в который попадают те 50 % значений, что лежат между Q1 и Q3. Он выражается в единицах ваших данных, поэтому IQR, равный 1,5, означает, что средняя половина занимает 1,5 того, что вы измеряли. Поскольку верхняя и нижняя четверти отбрасываются, одно крайнее показание его почти не сдвигает, и именно поэтому его и принято называть рядом с медианой. IQR, равный нулю, означает, что средняя половина — это одно повторяющееся значение, то есть половина ваших данных или больше одинакова, а не то, что что-то пошло не так.

Что такое пятичисловая сводка?

Наименьшее значение, Q1, медиана, Q3 и наибольшее значение — те пять чисел, которые печатает эта страница, обычно записываемые именно в этом порядке. Это стандартный способ описать набор данных, ничего не предполагая о его форме, и ровно то, что рисует диаграмма размаха: ящик от Q1 до Q3 с линией на медиане и усы до крайних значений. Показанный наверху IQR — не одно из этих пяти чисел; это Q3 − Q1, ширина ящика.

Может ли квартиль быть значением, которого нет в моих данных?

Да, и при коротких списках так обычно и бывает. Квартиль — это позиция на шкале данных, поэтому 1,75 для четырёх значений 1, 2, 3 и 4 — совершенно обычный первый квартиль, хотя значения 1,75 в списке нет. Когда позиция попадает точно на целое число, квартиль, наоборот, совпадает с наблюдённым значением. Оба случая печатаются вместе с количеством, так что видно, с каким из них вы имеете дело.

Эта страница помечает выбросы?

Нет. Она даёт межквартильный размах, а это вход стандартного правила: значение считается возможным выбросом, если оно лежит ниже Q1 или выше Q3 более чем на 1,5 × IQR. Применение этой границы намеренно оставлено отдельному инструменту, чтобы страница оставалась честным описанием данных, а не приговором о том, какие точки выбрасывать. Для восьми значений выше 1,5 × IQR равно 2,25, поэтому граница проходит от 1,75 до 7,75.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 (defines the quartiles and the interquartile range as the spread of the middle half, and works through the 14-value example; its halves method differs from the interpolation used here) — OpenStax, Rice University
• quantile — R stats package reference (documents the nine quantile types; type 7, the default, is the convention used here for all three quartiles) — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy reference (the method="linear" default interpolates exactly as this page does) — NumPy