Калькулятор процентиля

Позиция = (n − 1) × p, где p — процентиль в виде доли; ответ — значение в этой позиции, найденное линейной интерполяцией между двумя соседними наблюдениями

xᵢ

Одно значение из набора данных. Процентили используют позицию, а не величину, поэтому одно крайнее показание слегка сдвигает соседей, но не может утащить ответ так, как утаскивает среднее

n

Сколько значений в списке, здесь не больше двухсот. Оно задаёт наибольшую возможную позицию: на 100-м процентиле позиция равна n − 1, то есть последнему значению отсортированного списка

p

Запрошенный процентиль в виде доли: 90 превращается в 0,9. Это может быть что угодно от 0 до 100, включая дробные значения, — 97,5-й процентиль здесь так же законен, как 50-й

позиция

Куда смотреть в отсортированном списке, считая с нуля: (n − 1) × p. При восьми значениях 90-й процентиль стоит в позиции 6,3 — на три десятых пути от 7-го значения к 8-му

Y₍ₖ₎ и Y₍ₖ₊₁₎

Два наблюдения по обе стороны от этой позиции. Это те два числа, что напечатаны рядом с результатом, и ответ всегда лежит где-то между ними — или совпадает с одним из них, когда позиция целая

Берите процентиль, когда вопрос о месте в ряду, а не о величине: как показание выглядит на фоне всего распределения. Кривые роста, результаты тестов, бюджеты на задержку, децили доходов и клинические референсные интервалы — всё это процентили, и медиана тоже, ведь она и есть 50-й. Это и верный инструмент для порога, который нужно обосновать: «мы подаём сигнал выше 95-го процентиля обычного трафика» — правило, которое можно пересчитать и проверить. Две вещи надо держать врозь. Во-первых, процентиль — не процент: попасть в 90-й процентиль не значит набрать 90 % правильных ответов, это значит, что 90 % группы набрали столько же или меньше. Во-вторых, процентильный ранг и значение процентиля — это разные направления: эта страница отвечает на вопрос «какое значение стоит на месте p», а не «какое место занимает вот это значение». Обратны друг другу они только тогда, когда названное значение случайно оказалось одной из точек данных. Используемая здесь договорённость — Hyndman–Fan type 7, значение по умолчанию у функции quantile в R и у quantile в NumPy с method=linear. Она не единственная: вводный текст OpenStax использует i = k/100 × (n + 1) и прямо говорит, что при небольшом поиске находится несколько формул. Поэтому разные программы напечатают для одного и того же списка немного разные процентили, и ни одна из них не ошибается.

1. 90-й процентиль восьми значений: 7,6

   1. Отсортируйте: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — значений восемь, значит, n − 1 = 7
   2. Позиция: 7 × 0,90 = 6,3, считая с нуля
   3. Позиция 6,3 лежит между значением в позиции 6, то есть 7, и значением в позиции 7, то есть 9
   4. Три десятых пути от 7 к 9: 7 + 0,3 × (9 − 7) = 7,6

   7,6 не совпадает ни с одним из восьми чисел, и это нормально: процентиль — это позиция на шкале данных, а не член набора. Два соседних значения напечатаны рядом с ответом потому, что именно на интерполяции чаще всего и ошибаются: когда видно 7 и 9, любой заметит, что 7,6 прошло 30 % пути, а это ровно и означает позицию 6,3.

2. Позиция ровно на значении: 25-й процентиль от 1 до 5

   1. Отсортируйте: 1, 2, 3, 4, 5 — значений пять, значит, n − 1 = 4
   2. Позиция: 4 × 0,25 = 1, целое число
   3. В позиции 1 стоит значение 2, и интерполировать нечего
   4. Оба соседних значения равны 2, и ответ равен 2

   Когда позиция целая, два соседа схлопываются в одного, и обе строки печатают одно и то же число — так панель и говорит, что интерполяции не было. Это тот случай, в котором договорённости между собой согласны: любая из ходящих формул вернёт здесь 2, а все расхождения живут между точками.

3. Одно значение: любой процентиль равен ему

   1. Отсортируйте: 42 — одно значение, значит, n − 1 = 0
   2. Позиция: 0 × 0,90 = 0
   3. Единственное значение стоит в позиции 0, поэтому любой процентиль от 0 до 100 возвращает его
   4. Ответ: 42

   При одном значении интерполировать нечего и быть процентилем не от чего, поэтому инструмент возвращает это самое значение на любой введённый процентиль, а не отказывается считать. Заметьте, что и крайним точкам не нужно особого случая: 0-й процентиль — это наименьшее значение, а 100-й — наибольшее, и обе даёт та же самая формула позиции.

Процентиль ничего не говорит о том, как распределены значения, и он осмыслен ровно настолько, насколько осмыслен список за ним: при десяти значениях 90-й процентиль — это интерполяция между двумя из них, а стоит значений добавиться, и он едва сдвинется. Ответ зависит от договорённости, а их в ходу несколько: эта страница использует Hyndman–Fan type 7, значение по умолчанию в R и NumPy, тогда как другие тексты берут другую формулу индекса, поэтому процентиль, посчитанный в другом месте, может законно отличаться на немного. Эта страница работает только в одну сторону: она превращает процентиль в значение. Обратный вопрос — на каком процентиле стоит вот это значение — это другой расчёт, и здесь его нет: для него понадобилась бы отдельная страница. Процентили к тому же не проценты: быть в 90-м процентиле — утверждение о группе, а не оценка 90 из 100. Список ограничен двумястами значениями, а запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: запятая между цифрами в одних странах десятичная, в других разделяет разряды. Всё считается по числам ровно такими, как они набраны, и никакого округления до интерполяции не делается.

Как посчитать процентиль?

Отсортируйте список и найдите позицию (n − 1) × p, где n — сколько у вас значений, а p — процентиль в виде доли. Для 90-го процентиля восьми значений позиция равна 7 × 0,9 = 6,3, поэтому ответ стоит на три десятых пути от 7-го значения к 8-му. Если позиция целая, она попадает на значение и интерполировать нечего. Количество, оба соседних значения и результат напечатаны выше, так что всю арифметику можно проверить за один проход.

Что на самом деле означает 90-й процентиль?

Он означает, что 90 % значений лежат на нём или ниже, а около 10 % — на нём или выше. Это утверждение о месте в ряду, а не о доле правильных ответов: попасть в 90-й процентиль на экзамене не значит правильно ответить на 90 % вопросов. Путаница эта настолько распространена, что её отдельно оговаривают в учебнике статистики OpenStax: 90-й процентиль результатов теста означает, что 90 % результатов такие же, как у вас, или ниже.

Почему другой калькулятор даёт немного другой процентиль?

Потому что в ходу больше одной формулы, и расходятся они между точками данных — но никогда в самих точках. Эта страница использует Hyndman–Fan type 7, значение по умолчанию у функции quantile в R и у quantile в NumPy: позиция (n − 1) × p, а дальше линейная интерполяция. Вводный текст OpenStax вместо этого берёт i = k/100 × (n + 1) и прямо говорит, что при небольшом поиске находится несколько формул. Ни одна из них не ошибочна: процентиль — это договорённость, и два соседних значения напечатаны здесь именно для того, чтобы было видно, какая пара взята.

Что за два дополнительных числа под результатом?

Это два наблюдения, между которыми интерполировался ответ, — значения непосредственно ниже и выше запрошенной позиции. С ними на экране результат перестаёт быть чёрным ящиком: 7,6 рядом с 7 и 9 наглядно проходит три десятых пути. Когда ваш процентиль попадает точно на точку данных, позиция оказывается целой, интерполировать нечего, и обе строки печатают это самое значение.

Что такое 0-й и 100-й процентили?

Это наименьшее и наибольшее значения в списке, и особого случая им не нужно: подставьте p = 0 в формулу позиции и получите 0, то есть первое значение; подставьте p = 100 и получите n − 1, то есть последнее. Процентили ниже 0 или выше 100 выходят за то, что принимает поле ввода, и отклоняются, а не обрезаются, поэтому опечатка вроде 900 будет замечена, а не молча отвечена максимумом.

А можно найти процентильный ранг значения?

На этой странице нет — она работает только в одну сторону, превращая процентиль в значение. Обратный вопрос, на каком процентиле лежит заданное значение, — это другой расчёт со своей формулой, а делать оба в одном инструменте значило бы показывать то один результат, то другой, чего панель результатов намеренно не умеет. Если нужен ранг, сравните своё значение с отсортированным списком вручную или возьмите страницу квартилей для четырёх самых ходовых точек отсечения.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 (defines quartiles and percentiles, warns that the 90th percentile is not a score of 90%, and notes that several formulas for the k-th percentile are in circulation) — OpenStax, Rice University
• quantile — R stats package reference (documents the nine quantile types; type 7 is the default and is the convention used here) — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy reference (the method="linear" default is the same interpolation rule) — NumPy