Калькулятор среднего размаха

Средний размах = (min + max) / 2

min

Наименьшее значение в наборе. В расчёт входят только оно и наибольшее значение, поэтому всё, что стоит между ними, может меняться, не сдвигая результат

max

Наибольшее значение в наборе. Пару крайних стоит проверить, прежде чем доверять ответу: одна опечатка в цифре попадает прямо в результат

средний размах

Середина между крайними значениями, в тех же единицах, что и данные. Она всегда лежит между наименьшим и наибольшим, а когда в списке всего одно значение — совпадает с ним

среднее

Среднее арифметическое, напечатанное рядом для сравнения. Промежуток между ним и средним размахом показывает, насколько большая часть данных стоит в стороне от середины между крайними

Средний размах — верная сводка, когда предметом являются сами крайние значения: середина между дневными максимумом и минимумом температуры, середина между самым высоким и самым низким уровнем реки за год, центр между лучшим и худшим результатом в соревновании, середина между ценой предложения и запрошенной ценой. Во всех этих случаях два конца и есть данные: вы не берёте выборку из большей совокупности, а описываете промежуток, у которого есть два конца. И это неверный выбор, когда важно то, что внутри: он отбрасывает всё, кроме двух точек, и потому на любой реальной выборке имеет бо́льшую дисперсию, чем среднее или медиана. Он и не совпадает с медианой: для 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 и 9 медиана равна 4,5, а средний размах равен 5,5, и совпадают они только на симметричных данных. Пользуйтесь им как быстрой оценкой центра, когда достаточно примерного числа: его можно прочитать по таблице максимальных и минимальных показаний без всякой дальнейшей арифметики.

1. Восемь значений: средний размах 5,5, среднее 5

   1. Наименьшее значение равно 2, наибольшее равно 9
   2. Средний размах = (2 + 9) / 2 = 5,5
   3. Среднее того же списка равно 40 / 8 = 5 — на половину единицы меньше, потому что шесть из восьми значений стоят на этом уровне или ниже

   Эти два числа расходятся, и это полезная часть. Средний размах видит только то, что данные начинаются с 2 и заканчиваются на 9; среднее видит ещё и то, что данные сгрудились у нижнего края. Ни одно из них не ошибается — они отвечают на разные вопросы, и когда напечатаны оба, с одного взгляда видно, распределены ли данные между крайними равномерно или прижаты к одной стороне.

2. Одно изменённое значение: средний размах больше чем удваивается

   1. Изменилось только наибольшее значение, с 9 на 90 — остальные семь совпадают с первым примером
   2. Средний размах = (2 + 90) / 2 = 46
   3. Среднее того же списка равно 121 / 8 = 15,125, а было 5

   Средний размах сдвинулся больше чем на сорок единиц, а среднее — на десять. Средний размах забирает половину любого изменения крайнего значения, и разбавить её нечем; среднее распределяет то же изменение по всем значениям списка. Если одно показание в ваших данных ненадёжно, средний размах ошибётся на половину этой ошибки — потому его и оставляют для случаев, когда крайние значения и есть суть.

3. Температуры ниже и выше нуля

   1. Самое холодное показание равно −10, самое тёплое равно 40
   2. Средний размах = (−10 + 40) / 2 = 30 / 2 = 15
   3. Отрицательные значения не требуют особого обращения: они складываются с наибольшим, поэтому список, переходящий через ноль, ведёт себя ровно так же, как и не переходящий

   Суточный средний размах, который сообщает метеослужба, — это именно такое число: середина между суточным минимумом и максимумом, а не среднее из почасовых измерений. Это соглашение стоит знать, потому что эти два числа расходятся всегда, когда температура держалась ближе к одному концу своего промежутка, чем к другому.

Средний размах неустойчив, и причина здесь структурная, а не вопрос степени: его вычисляют по двум самым крайним точкам, поэтому против опечатки, сбоя прибора или по-настоящему необычного наблюдения у него нет никакой защиты. Его неустойчивость к выбросам — это свойство устройства, и применение среднего размаха обычно ограничивают случаями, когда поведение в крайних точках и есть существенное. Он и не медиана, несмотря на похожее название: медиана — серединное значение отсортированного списка, а средний размах — середина между крайними, и совпадают они только на данных, симметричных относительно своего центра. При одном значении средний размах, среднее, наименьшее и наибольшее — всё это одно и то же число. Список ограничен двумястами значениями, а запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: запятая между цифрами в одних странах десятичная, в других разделяет разряды. Ничто на этой странице не помечает выбросы, а крайние значения, задающие средний размах, — ровно те, которые такое правило и проверяло бы.

Как найти средний размах?

Формула среднего размаха: сложите наименьшее значение с наибольшим и разделите на два, то есть (min + max) / 2. Для списка 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 это (2 + 9) / 2 = 5,5. Никакое другое значение в наборе в расчёте не участвует, поэтому сортировать список не нужно — нужны только два крайних, а найти их обычно хватает беглого просмотра. Калькулятор выше печатает минимум и максимум, которые он использовал, чтобы сумму можно было проверить.

Средний размах — это мера центра или мера разброса?

Это мера положения: способ примерно сказать, где лежат данные, — как среднее и медиана. Её легко принять за меру разброса, потому что те же два крайних значения задают и размах, и потому что формулы различаются одним действием: размах — это max − min, а средний размах — (max + min) / 2. Но вопросы они решают разные. Размах говорит, насколько широки данные; средний размах говорит, где их середина. Стандартный справочник перечисляет его среди мер положения, а не среди мер масштаба.

Почему средний размах неустойчив?

Потому что он построен на двух самых крайних значениях выборки и ни на чём больше, поэтому любая ошибка в любом из них попадает прямо в ответ, и поглощается лишь половина этой ошибки. Замените 9 на 90 — и средний размах подскочит с 5,5 до 46, тогда как среднее сдвинется только с 5 до 15,125. Такая чувствительность полезна, когда крайние значения и есть то, что вы измеряете, например суточные максимум и минимум, и она же становится недостатком, когда это не так. Неустойчивость к выбросам здесь структурная: она следует из самой формулы, а не из того, как её посчитали.

Средний размах — то же самое, что медиана?

Нет. Медиана — это серединное значение отсортированного списка, поэтому при восьми значениях это среднее четвёртого и пятого: (4 + 5) / 2 = 4,5. Средний размах — это середина между двумя крайними: (2 + 9) / 2 = 5,5. Совпадают они только тогда, когда данные симметричны относительно своего центра, и сам промежуток между ними информативен: здесь средний размах лежит выше медианы, а значит, верхняя половина данных растянута от центра дальше, чем нижняя.

Когда средний размах действительно применяют?

Когда два конца и есть данные, а не выборка из чего-то большего. Сводка погоды, сообщающая суточные максимум и минимум, описывает именно средний размах. То же относится к проверке поля допуска в производстве, где в спецификации заданы минимум и максимум и нужен их центр. Это и полезная первая оценка, когда записаны только крайние значения: если в таблице есть самая дешёвая и самая дорогая цена, средний размах — середина этого промежутка, и получить её можно, ничего не зная о ценах внутри.

А если все значения одинаковы или значение всего одно?

Оба случая работают и дают одно и то же значение. При единственном значении 42 наименьшее и наибольшее — оба 42, поэтому средний размах, среднее, минимум и максимум равны 42: для этого расчёта второе наблюдение не нужно. Так же и для 3, 3, 3, 3, где крайние равны и средний размах равен 3. Минимального числа значений здесь нет, в отличие от дисперсии и стандартного отклонения, которым нужен делитель, а значит, и больше одного значения.

• Measures of Location — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (lists the midrange among the alternative measures of location as (smallest + largest)/2, and states that it is not robust because it is based on the two most extreme points) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the companion list of spread measures, where the midrange does not appear — the reason this page treats it as a measure of location) — National Institute of Standards and Technology