Калькулятор суммы квадратов

SS = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n

x

Каждое значение списка по очереди. Каждое вносит свой квадрат расстояния, поэтому ни одно нельзя выбросить, не изменив сумму

x̄

Среднее значений. Это точка, от которой отсчитываются расстояния; она выбрана именно потому, что обычные отклонения вокруг неё взаимно уничтожаются

SS

Сумма квадратов отклонений — главный результат. Она равна нулю ровно тогда, когда все значения одинаковы, и растёт и с величиной отклонений, и с их числом

Σx²

Сумма квадратов значений, она же необработанная сумма квадратов. Это первое слагаемое в правой части тождества и то из двух, что легче спутать с ответом, ведь обе величины называют суммой квадратов

Σx

Обычная сумма значений, до возведения в квадрат. Возведение её в квадрат и деление на n даёт поправку, которая превращает Σx² в сумму квадратов отклонений

n

Сколько значений вошло, здесь не больше двухсот. Оно появляется дважды: как делитель в поправке и как количество, напечатанное для проверки

Обращайтесь к ней, когда нужно увидеть шаг, а не готовую меру: при проверке дисперсии или стандартного отклонения вручную, при объяснении, почему эти две величины возводят отклонения в квадрат, при сравнении того, какую долю общей вариации объясняет модель. Это ещё и естественный способ выразить разброс, когда работают с суммами, а не со средними, как в дисперсионном анализе, где весь метод — это учёт сумм квадратов. Общая сумма квадратов в регрессии с свободным членом — та же самая величина, применённая к зависимой переменной, и качество подгонки измеряют тем, какую её долю убирает подобранная прямая. Тождество справа стоит знать и по второй причине: так считали до появления машин, и так до сих пор записывают многие формулы, хотя при больших значениях и малом разбросе этот путь теряет точность. Поэтому калькулятор выше идёт по определению, а члены тождества печатает только для того, чтобы можно было убедиться, что оба пути сходятся.

1. Восемь значений: 32 обоими путями

   1. Среднее равно 40 / 8 = 5
   2. Отклонения равны −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 и 4, и в сумме они дают 0 — как всегда
   3. Возведение их в квадрат даёт 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 и 16, что в сумме равно 32
   4. Другой путь: Σx² = 232 и (Σx)² / n = 1600 / 8 = 200, поэтому 232 − 200 = 32

   Оба пути приводят к 32, и увидеть это и есть главное, ради чего страница существует. Первые три отклонения отрицательны, последние два положительны — ровно поэтому квадраты и нужны: сами отклонения в сумме дают ноль и не отличали бы один набор данных от другого.

2. Два значения с дробным средним

   1. Среднее равно 3 / 2 = 1,5, поэтому отклонения равны −0,5 и +0,5
   2. Возведение в квадрат даёт 0,25 и 0,25, значит, сумма квадратов равна 0,5, а не 1
   3. Другой путь: 5 − 3² / 2 = 5 − 4,5 = 0,5, где дробная часть и появляется при вычитании

   Два значения никогда не дадут сумму квадратов больше половины квадрата расстояния между ними, и это наименьший случай: на каждое из двух отклонений приходится половина расстояния. Частая ошибка — возвести в квадрат само расстояние, что дало бы здесь 1 вместо 0,5: расстояние уже есть разность двух отклонений, поэтому оно считается дважды.

3. Одно значение: 0 против 1764

   1. Среднее одного значения — само это значение, поэтому среднее равно 42
   2. Отклонение равно 42 − 42 = 0, а 0² это 0, значит, сумма квадратов равна 0
   3. Необработанная сумма квадратов — совсем другая величина: 42² = 1764

   Две величины, обе называемые суммой квадратов, отличающиеся на три порядка, в одной панели. Именно этот случай их и разделяет: на длинном списке оба числа обычно одного порядка, и потянуться к неверному легко. Сумма квадратов отклонений равна 0, потому что одно значение не может отклониться от самого себя, — это настоящий ответ, а не сбой, и именно поэтому страница не требует двух значений так, как этого требует дисперсия.

4. Четыре одинаковых значения

   1. Среднее равно 12 / 4 = 3, поэтому каждое отклонение равно 0
   2. Сумма квадратов равна 0
   3. Необработанная сумма квадратов равна 3² + 3² + 3² + 3² = 36, и нулю она не равна и не будет

   Ноль здесь означает, что разброса у данных нет вовсе, и это другая ситуация, чем случай с одним значением выше, хотя обе печатают 0: здесь наблюдений четыре, и они совпадают в точности, там наблюдение всего одно. Необработанная сумма квадратов движется в обратную сторону: она растёт с каждым добавленным значением независимо от разброса.

Главная опасность — само название. Две разные величины называют суммой квадратов, и обе есть на этой странице: сумма квадратов отклонений Σ(x − x̄)², которая и есть ответ, и необработанная сумма квадратов Σx², которая лишь слагаемое в тождестве. На одном значении они различаются на три порядка. Прежде чем называть число, прочитайте подпись строки. Вторая ограниченность в том, чего страница не делает: регрессия разделяет общую сумму квадратов на часть, объяснённую подобранной прямой, и остаточную, и такого разбиения здесь нет. Для него нужны вторая переменная и прямая, проведённая через данные, а ни одна страница этого раздела её не проводит: страница ковариации останавливается на коэффициенте корреляции. Верно и стоит знать вот что: общая сумма квадратов в регрессии со свободным членом — это та же самая величина, применённая к зависимой переменной; недостаёт только разбиения. Есть и практическая причина, по которой калькулятор идёт по определению, а не по тождеству: вычитание двух больших близких чисел теряет точность, поэтому на списке больших значений с малым разбросом правый путь может дать заметно неверный ответ. Тождество напечатано для проверки, а не для скорости. Список ограничен двумястами значениями, а запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: запятая между цифрами в одних странах десятичная, в других разделяет разряды.

Как посчитать сумму квадратов?

Найдите среднее, вычтите его из каждого значения, возведите каждый результат в квадрат и сложите их. Для 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 и 9 среднее равно 5, отклонения равны −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 и 4, а их квадраты дают в сумме 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Участвуют все значения, включая те, что случайно попали на среднее: они вносят 0.

Почему отклонения возводят в квадрат, а не просто складывают?

Потому что обычные отклонения всегда дают в сумме ровно ноль. Значения ниже среднего гасят значения выше него для любого списка, поэтому сумма отклонений не несёт о разбросе никакой информации. Возведение в квадрат делает сразу две вещи: все слагаемые становятся положительными, так что ничто не сокращается, и значения, далёкие от среднего, получают пропорционально больший вес — значение в двух единицах от среднего вносит 4, а в двадцати единицах вносит 400. Этот второй эффект намеренный. Он же объясняет, почему сумма квадратов, а с ней и дисперсия, так сильно реагируют на одно крайнее значение.

Почему на этой странице два разных числа называют суммой квадратов?

Потому что в статистике это имя носят две величины, и страница печатает обе. Сумма квадратов отклонений Σ(x − x̄)² — это и есть ответ здесь и числитель дисперсии. Необработанная сумма квадратов Σx² — это сумма значений, каждое из которых возведено в квадрат до вычитания среднего. Их связывает тождество Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n, поэтому необработанная версия и стоит на экране, но они не взаимозаменяемы. На одном значении 42 сумма квадратов отклонений равна 0, а необработанная 1764.

Меняет ли ответ выбор между выборкой и генеральной совокупностью?

Нет, и поэтому переключателя на этой странице нет. Формулы для выборки и для генеральной совокупности различаются только делителем — n − 1 против n, — а сумма квадратов ни на что не делится. Для данного списка это одно число. Выбор появляется на страницах дисперсии и стандартного отклонения, потому что деление происходит там, и именно поэтому один и тот же набор данных даёт две дисперсии, но только одну сумму квадратов.

Какова связь с дисперсией и стандартным отклонением?

Дисперсия — это то же число, делённое на степени свободы: n − 1 для выборки или n для генеральной совокупности. Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии. Так что сумма квадратов — сырьё, а деление делает её сравнимой между наборами разного размера: сумма по восьми значениям естественно больше суммы по четырём, даже если разброс одинаков. Деление на n − 1, а не на n, к тому же исправляет небольшое занижение, которое возникает из-за того, что отклонения отсчитывают от выборочного среднего, а не от истинного.

Может ли сумма квадратов быть отрицательной?

Никогда. Каждое слагаемое — квадрат, поэтому каждое слагаемое нулевое или положительное, и вся сумма тоже. Она равна нулю ровно тогда, когда каждое значение равно среднему, а это значит, что все значения равны между собой, — либо потому что в списке одно значение, либо потому что все они одинаковы. Итог 0 — настоящий результат, означающий, что разброса у данных нет, а не признак того, что что-то пошло не так. Если вы видите отрицательное число, то это либо необработанная сумма квадратов Σx² с ошибкой в знаке, либо разность квадратов, посчитанная вручную.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the variance as the sum of squared deviations divided by n − 1, and explains that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, the x − x̄ values for a sample, which is the quantity this page computes before the division) — OpenStax, Rice University