Относительное стандартное отклонение

RSD = (s ÷ x̄) × 100 %

s

Стандартное отклонение показаний, в тех же единицах, что и данные. Выборка это или генеральная совокупность — ваш выбор ниже, и он меняет это число, а значит, и ответ

x̄

Среднее показаний. Оно должно быть строго положительным: нулевое среднее ставит ноль в знаменатель, а отрицательное даёт отношение, бессмысленное как мера относительного разброса

RSD

Само относительное стандартное отклонение, в процентах. Величина безразмерна — единицы стандартного отклонения и среднего сокращаются, — поэтому результаты разных приборов и разных шкал можно ставить рядом

n

Сколько показаний вошло, здесь не больше двухсот. Повторение измерения большее число раз уменьшает стандартное отклонение, поэтому называть количество — часть честного сообщения о прецизионности

Берите его всякий раз, когда разброс нужно судить относительно величины измеряемого: повторные измерения одного образца, разброс калибровочной кривой, изменение анализа от дня ко дню, шум датчика, показания которого дрейфуют. Формула — та же, что у коэффициента вариации, и эти два названия ходят вместе, а какое произносить, зависит от области. Аналитическая химия, метрология и клинические лаборатории говорят «относительное стандартное отклонение», обычно сокращая до RSD, и процент ниже примерно 5 часто принимают за хорошую повторяемость, хотя допустимое число задаёт методика, а не какое-либо всеобщее правило. В социальных и экономических работах ту же арифметику чаще называют коэффициентом вариации и применяют её к доходам, ценам или доходностям. Берите то название, которого ждёт ваш читатель; число одинаково.

1. Восемь значений, выборочное стандартное отклонение

   1. Среднее равно 40 / 8 = 5
   2. Выборочное стандартное отклонение равно 2,1381
   3. 2,1381 / 5 = 0,427618…, в процентах: 42,76 %

   Этот список намеренно растянут, и 42,76 % об этом и говорят: типичное расстояние от среднего составляет почти половину самого среднего. Один процент несёт в себе всё сравнение — тот же список, измеренный в миллиметрах вместо единиц, дал бы ровно то же число, потому что при делении единицы сокращаются.

2. Те же данные при делителе генеральной совокупности

   1. Изменился только делитель: n вместо n − 1, что даёт стандартное отклонение 2 вместо 2,1381
   2. Среднее не изменилось и равно 5
   3. 2 / 5 = 0,4, значит, относительное стандартное отклонение равно 40,00 %

   Здесь два делителя различаются множителем √(8/7), что сдвигает стандартное отклонение примерно на 7 %, а процент — с 42,76 до 40,00. Пятикратное повторение измерения — это выборка из более широкого процесса, поэтому обычный выбор — форма с n − 1; форма с n верна тогда, когда список и есть всё, что существует.

3. Пять повторных измерений одного образца

   1. Пять показаний дают в среднем 241 / 5 = 48,2
   2. Их выборочное стандартное отклонение равно 0,255
   3. 0,255 / 48,2 = 0,005289…, в процентах: 0,53 %

   Так и выглядит настоящая проверка прецизионности: пять повторов одного измерения, разбросанных примерно на четверть единицы вокруг 48,2. В отчёт идёт относительное стандартное отклонение 0,53 %, а не стандартное отклонение 0,255, которое не говорит ничего, пока не известно, что сами показания лежат около 48. Те же 0,255 вокруг среднего 1 дали бы 25,5 %, и в этом вся причина, по которой цитируют отношение, а не разброс.

4. Все показания совпадают

   1. Среднее равно 10, а стандартное отклонение 0 — ни одно показание не отличается от другого
   2. 0 / 10 = 0, значит, относительное стандартное отклонение равно 0,00 %

   Ноль здесь настоящий ответ, а не сбой: он говорит, что измерение повторилось в точности. Это возможно с прибором, который выдаёт фиксированное число разрядов, и это единственный случай, когда относительное стандартное отклонение не может отличить очень хорошую прецизионность от отсутствия измерения вовсе: говорит стандартное отклонение, равное 0.

Среднее должно быть строго положительным, и это настоящее ограничение, а не техническая придирка. При нулевом среднем стандартное отклонение делится на ноль, и ответ не определён; при отрицательном среднем отношение вычислимо, но бессмысленно, потому что разброс, делённый на отрицательный центр, не измеряет относительную изменчивость. Данные, переходящие через ноль, — температуры по Цельсию, прибыль и убыток, высоты вокруг уровня моря, — поэтому вне области применимости этого инструмента, как и любое измерение по интервальной шкале, а не по шкале отношений: процентное изменение зависит от того, где стоит ноль. Два набора данных могут иметь одно и то же относительное стандартное отклонение и быть совершенно разными по форме: число использует только среднее и стандартное отклонение, поэтому не видит ни скошенности, ни тяжёлого хвоста, ни второго скопления. Малое число к тому же не обязательно лучшее: относительное стандартное отклонение, близкое к нулю, может означать прибор с грубым разрешением, который округляет всё до одного и того же показания. Всеобщего порога для «хорошо» не существует: допустимое число берётся из методики, технического задания или практики области, поэтому страница и печатает число без приговора. Список ограничен двумястами значениями, а запись вида 1,500 отклоняется, а не угадывается: запятая между цифрами в одних странах десятичная, в других разделяет разряды.

Что такое относительное стандартное отклонение?

Это стандартное отклонение, делённое на среднее и приведённое в процентах: RSD = (s ÷ x̄) × 100 %. Для показаний 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 и 9 стандартное отклонение равно 2,1381, а среднее 5, что даёт 42,76 %. Деление на среднее и делает число сопоставимым с величиной измерения: стандартное отклонение 0,255 мало рядом со средним 48,2 и даёт 0,53 %, а те же 0,255 рядом со средним 1 дали бы 25,5 %.

Это то же самое, что коэффициент вариации?

Да — два названия описывают одну и ту же арифметику, и различаются они только умножением на 100. Большинство программ, включая источник, на который мы ссылаемся, называют это коэффициентом вариации и приводят голым отношением (0,4276, а не 42,76 %). Лаборатории и метрологические документы обычно говорят «относительное стандартное отклонение» и пишут его в процентах. Так что значение на этой странице ровно в 100 раз больше коэффициента вариации для тех же данных, и выбор делителя — выборка или генеральная совокупность — единственное другое, из-за чего два инструмента могут разойтись.

Есть ли предел того, что считается хорошей прецизионностью?

Всеобщего нет, и эта страница намеренно не даёт порога. Относительное стандартное отклонение ниже примерно 5 % часто называют хорошей повторяемостью в аналитической химии, но это число идёт из практики конкретной области и требований конкретной методики: у геохимического анализа и у клинического измерения могут быть очень разные пределы приёмки. Воспринимайте опубликованный порог как правило для этой дисциплины, а не как свойство самой статистики. Вместо этого сравнивайте с той прецизионностью, которую методика или прибор обязаны обеспечивать.

В моих данных есть отрицательные числа. Что произойдёт?

Расчёт будет отклонён, и так и задумано. Относительному стандартному отклонению нужно строго положительное среднее. При нулевом среднем было бы деление на ноль; при отрицательном деление разброса на него даёт отрицательный процент, который не говорит об относительной изменчивости ничего полезного. Причина глубже: это число имеет смысл только для измерений по шкале отношений — той, у которой есть настоящий ноль, где 2 кг действительно вдвое больше 1 кг. Температуры по Цельсию, прибыль и убыток, высоты выше и ниже уровня моря относятся к интервальным шкалам, где ноль — условность, поэтому никакое отношение такого рода для них не осмысленно.

Брать делитель для выборки или для генеральной совокупности?

Берите n − 1, выборочную форму, когда показания — выборка из чего-то большего; сюда входит и обычный случай, когда один образец измеряют несколько раз, ведь эти повторы представляют все измерения, которые можно было бы сделать. Берите n, форму генеральной совокупности, только когда список — полный набор существующих значений, например все показания, которые фиксированный процесс выдал в полностью записанной партии. На длинных списках разница мала, на коротких заметна: при восьми значениях выборочная форма даёт здесь 42,76 % против 40,00 % у генеральной, разрыв почти в три процентных пункта.

Может ли относительное стандартное отклонение быть нулевым?

Да, когда все показания совпадают: стандартное отклонение равно 0, значит, и ответ 0,00 %. Два показания по 10 дают среднее 10 и стандартное отклонение 0. Это тот единственный случай, когда очень малое число стоит читать с осторожностью, а не праздновать: прибор, округляющий вывод, может выдавать одинаковые показания, даже когда сама величина слегка меняется, поэтому относительное стандартное отклонение, равное ровно нулю, может измерять разрешение индикатора, а не стабильность образца.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the standard deviation this figure is built from, and states that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Normal Distribution — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.6.6.1 (lists the coefficient of variation σ / μ among the standard summaries of a distribution — the same quantity this page reports as a percentage; the handbook uses the coefficient-of-variation name) — National Institute of Standards and Technology