Калькулятор среднего арифметического

Среднее = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = Σx ÷ n

xᵢ

Одно число из набора. Здесь допустимы отрицательные числа — температура, баланс, отклонение от цели, — а также дробные значения; в формулу идут только сумма и количество, поэтому сортировать ничего не нужно

Σx

Сумма всех значений, напечатанная на панели результатов. Это числитель, и именно он несёт единицы измерения: сумма минут измеряется в минутах, и среднее, которое из неё получается, тоже

n

Сколько значений в наборе; тоже печатается на панели. Это знаменатель, и в нём весь смысл этого среднего: сумма делится между значениями поровну, поэтому ответ — то, чем стало бы каждое из них, будь у всех одинаковая доля

Σx ÷ n

То самое деление, выписанное на панели с настоящими числами. Ради его проверки сумма и количество и печатаются отдельно: если ответ выглядит неверным, эта строка говорит, что перепутано — сумма или количество

Берите среднее арифметическое для величин, которые складываются и в которых каждое значение должно весить одинаково. Это почти все бытовые случаи: средняя оценка в классе, средняя цена корзины товаров, среднее время выполнения задачи, средняя температура за месяц. Это ещё и число, при котором итог сходится, — сумма отклонений от него равна ровно нулю, — поэтому оно и служит естественным описанием итога, и поэтому же без него не обходится почти вся остальная статистика. Берите что-то другое, когда значения не равноценны: это средневзвешенное; когда величины перемножаются, а не складываются, — темпы роста и отношения, — это среднее геометрическое; когда значения представляют собой ставки, — это среднее гармоническое; а когда несколько крайних значений утащили бы ответ прочь от типичного случая, — это медиана. Среднее арифметическое чувствительно к выбросам по самой своей конструкции: каждое значение тянет его на себя тем сильнее, чем дальше от него стоит, и эта чувствительность иногда и есть причина его выбрать, а иногда — причина его не брать.

1. Пять оценок за контрольную

   1. Сложите значения: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Сосчитайте их: 5
   3. Разделите: 433 ÷ 5 = 86,6

   Панель выписывает это деление целиком — (85 + 90 + 78 + 92 + 88) / 5 = 86.6000, — поэтому ответ можно проверить, не повторяя сложение, и видно, что в знаменателе стоит именно количество, а не что-то другое. Сумма 433 и сама по себе заслуживает взгляда: это итог, который заработал класс, а среднее — та оценка, которая была бы у каждого ученика, если разделить итог поровну. Этот же список из пяти чисел задан по умолчанию на всех четырёх страницах группы, поэтому переход с одной страницы на другую даёт те же данные под другим средним: 86,6 — это среднее арифметическое, среднее геометрическое 86,458 и среднее гармоническое 86,3118 для этого набора ниже него, а средневзвешенное при весах по умолчанию равно 87,6, то есть выше.

2. Набор с отрицательными значениями

   1. Сложите значения: −5 + (−1) + 3 = −3
   2. Значений три
   3. Разделите: −3 ÷ 3 = −1

   Отрицательные величины — обычные входные данные: температуры ниже нуля, ушедшие в минус балансы, показания относительно базовой линии. Панель записывает сумму как (−5 − 1 + 3), а не как (−5 + −1 + 3), — это одно и то же, но читается так, как это произнесли бы вслух. Заметьте, что ответ −1 лежит между наименьшим и наибольшим значением, как и должно быть у среднего: среднее, вышедшее за пределы набора, — признак того, что где-то опечатка. При этом оно не обязано совпадать с каким-нибудь из значений, и для этого набора не совпадает.

3. Два десятичных значения

   1. Сложите значения: 0,3 + 0,45 = 0,75
   2. Значений два
   3. Разделите: 0,75 ÷ 2 = 0,375

   Дробные значения здесь вводятся с запятой, как принято в русской записи, — точку поле тоже принимает; число знаков после запятой может быть любым, по дороге ничего не округляется. Панель показывает ответ с четырьмя знаками после запятой, и для этой пары добавляется нуль: 0,3750 вместо 0,375. Этот нуль намеренный и точности не обещает: он нужен, чтобы строка результата встала в один ряд с делением над ней, и он же задаёт число знаков для всех ответов на этой странице.

4. Восемь значений, записанных через Σ

   1. Сложите значения: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Значений восемь
   3. Разделите: 40 ÷ 8 = 5

   Этот набор длиннее шести значений, поэтому строка с шагами переходит на сокращённую запись: Σx / 8 = 5.0000 вместо того, чтобы выписать все восемь чисел. Σ — тот же символ, что и в блоке формулы, и означает он ровно то же, что означала развёрнутая строка: сложить всё, — так что ничего не потеряно, а набор из двухсот значений не даёт строку в двести чисел. Переключение происходит на седьмом значении и не на каком-нибудь другом счёте: ниже развёрнутая строка ещё достаточно коротка, чтобы быть полезнее.

В наборе должно быть не меньше одного значения и не больше двухсот, а посторонний знак не пропускается, а отклоняется целиком: список из 1, 2 и abc будет отвергнут, а не усреднён по двум числам, которые удалось прочитать. Запятая, после которой стоит ровно три цифры, тоже не принимается, если целая часть не ноль: запись 1,500 одинаково похожа и на 1,5, и на тысячу пятьсот, и поле отказывается угадывать — пишите 1500 или 1,5. По дороге ничего не округляется: значения берутся ровно такими, как введены, а до четырёх знаков после запятой доводится только напечатанный ответ, поэтому длинный список многоразрядных чисел даст верный результат, который может напечататься так же, как соседний. У среднего нет ни верхней, ни нижней границы, за которую можно было бы заглянуть: оно посчитает ответ и для набора температур, и для набора цен, не зная, на что смотрит, и не сумеет заметить, что этим двум наборам не место в одном списке. И наконец, это среднее не устойчиво к выбросам: одно очень большое значение сдвигает его далеко, а каждое значение тянет его на себя тем сильнее, чем дальше от него стоит.

Как найти среднее арифметическое набора чисел?

Сложите числа, сосчитайте, сколько их, и разделите сумму на количество. Для пяти оценок на этой странице сумма равна 433, а значений пять, поэтому среднее — это 433 ÷ 5 = 86,6. И сумма, и количество напечатаны на панели результатов рядом с ответом, так что деление можно проверить, не повторяя сложение вручную.

Чем среднее арифметическое отличается от просто среднего?

В бытовой речи это одно и то же число, и на этой странице оба выражения употребляются как синонимы: если сказать просто «среднее», почти всегда имеется в виду именно арифметическое. В более строгом тексте среднее — общий термин для любой середины, и средним значением называют и арифметическое среднее, и медиану, и моду, поэтому уточнение «арифметическое» и нужно: оно отличает это среднее от геометрического и гармонического, у которых своя формула и свой ответ.

Может ли среднее не совпадать ни с одним числом из набора?

Да, и обычно так и бывает. Ничто в расчёте не требует, чтобы ответ был одним из значений: среднее чисел 1 и 2 равно 1,5, которого в этом наборе нет, а среднее пяти оценок здесь равно 86,6, и среди пяти оценок такого числа тоже нет. Гарантировано другое: ответ лежит между наименьшим и наибольшим значением и попадает на одно из них только тогда, когда список так сложился.

Как посчитать среднее отрицательных чисел?

Ровно так же, как положительных: сложить и разделить на количество. Знаки сами разбираются при сложении, поэтому −5, −1 и 3 дают в сумме −3, а после деления на 3 выходит −1. Панель записывает сумму со знаками минус между слагаемыми, а не с плюсами перед отрицательными числами, — это та же арифметика, записанная так, как её произнесли бы.

Почему ответ показывается с четырьмя знаками после запятой?

Потому что все ответы на этой странице печатаются с фиксированным числом знаков, и именно фиксированное число делает панель сравнимой от одного ввода к другому: 0,375 показывается как 0,3750, чтобы встать вровень с делением, записанным выше. Это не утверждение, что ответ точен до четырёх знаков; само значение хранится с полной точностью расчёта, а фиксировано только его отображение.

Когда среднее арифметическое лучше не использовать?

Когда значения не равноценны, когда они перемножаются, а не складываются, и когда несколько крайних значений утащили бы ответ прочь от типичного случая. Неравная важность требует средневзвешенного; темпы роста и отношения, которые накапливаются умножением, — среднего геометрического; ставки вроде скоростей на фиксированном расстоянии — среднего гармонического; а скошенный набор, где важен типичный случай, а не итог, — медианы.

• Arithmetic Mean — MathWorld (the definition, the zero-sum property of the deviations, and the inequality with the geometric and harmonic means) — Wolfram MathWorld
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (the mean as a balance point, and how a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)