Калькулятор гармонического среднего

Среднее гармоническое = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ

Одно значение набора, и каждое из них должно быть больше нуля. Ноль обращает 1/x в бесконечность, сумма обратных становится бесконечной, а ответ выходит ровным нулём, который выглядит как результат; отрицательное значение может обнулить знаменатель или вытолкнуть ответ за пределы самих значений

1/xᵢ

Обратное число к значению — скорость, превращённая во время, или время, превращённое в скорость. Именно на этом шаге среднее гармоническое ведёт себя совсем не так, как два других: у маленького значения обратное число большое, и оно тянет ответ сильнее всех, а это ровно то, что должно происходить, когда маленькое значение — это медленная скорость, съедающая часы

Σ(1/xᵢ)

Сумма этих обратных чисел и знаменатель дроби. Когда набор короткий, панель выписывает её слагаемое за слагаемым, потому что эта сумма и есть весь расчёт: всё остальное — одно деление в конце

n

Сколько значений в наборе; печатается на панели результатов. Оно умножает обратно то, что разделили обратные числа: без него ответ был бы обратным числом к среднему, а не средним

Берите среднее гармоническое, когда числитель постоянен, а знаменатель меняется: фиксированное расстояние, пройденное с разными скоростями; фиксированный объём работы, выполненный с разной производительностью; фиксированное напряжение на сопротивлениях разных номиналов. Классический случай — дорога в две половины: 30 туда и 60 обратно дают 40, потому что обратная половина занимает вдвое меньше времени, и у медленной скорости вдвое больше времени, чтобы повлиять на ответ. Среднее арифметическое двух скоростей даёт 45, и это было бы верно, если бы по половине времени ехали с каждой скоростью, — стоит ясно понимать, о чём именно спрашивает задача. Та же схема описывает расход топлива на двух участках пути, среднюю цену покупки, когда фиксированный бюджет тратится по двум разным ценам, и параллельное соединение сопротивлений, где общее сопротивление есть обратное число к сумме обратных: для одинаковых сопротивлений это сводится к сопротивлению, делённому на их количество, то есть к среднему гармоническому набора одинаковых значений. Не применяйте его к величинам, которые складываются: для оценок, роста или сумм среднее гармоническое — это меньшее число, за которым не стоит никакого чтения, и чем шире разброс значений, тем ниже оно опускается под среднее арифметическое.

1. Пять оценок за контрольную

   1. Возьмите обратное число к каждому значению: 1/85 = 0,011765, 1/90 = 0,011111, 1/78 = 0,012821, 1/92 = 0,010870, 1/88 = 0,011364
   2. Сложите их: 0,011765 + 0,011111 + 0,012821 + 0,010870 + 0,011364 = 0,057931
   3. Разделите количество на сумму обратных — округлённая сумма 0,057931 выше обратно не делится: 5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86,3118

   Панель намеренно не печатает эту промежуточную сумму 0,057931: она округлена, а 5 ÷ 0,0579 = 86,3558, так что читатель, проверивший по ней арифметику, получил бы ответ, отличный от ответа на панели. Вместо неё печатается выражение: оно говорит, что было сделано, и не приглашает к делению, которое не сходится. Этот пример замыкает и цепочку средних: для этих пяти чисел среднее гармоническое равно 86,3118, а среднее арифметическое — 86,6, так что разрыв между ними читается как мера неоднородности набора.

2. Туда 30, обратно 60 — средняя скорость 40

   1. Возьмите обратные числа: 1/30 = 0,033333 и 1/60 = 0,016667
   2. Сложите их: 0,033333 + 0,016667 = 0,05
   3. Разделите количество на сумму: 2 ÷ 0,05 = 40

   Это тот пример, ради которого существует вся страница. Проедьте 100 км туда со скоростью 30 км/ч и 100 км обратно со скоростью 60 км/ч: дорога туда занимает 3 часа 20 минут, обратная — 1 час 40 минут, итого 5 часов на 200 км, то есть 40 км/ч. Среднее арифметическое 30 и 60 равно 45, и 45 было бы верно, если бы по часу ехали с каждой скоростью, — а это вопрос о времени, тогда как здесь вопрос о расстоянии. Ответ не зависит ни от единиц измерения, ни от длины пути: если половину дороги пройти со скоростью 30, а половину со скоростью 60, средняя скорость будет 40 при любой длине. В обратную сторону: 30 туда и 30 обратно дают 30 любым способом, потому что двум методам не о чем спорить, когда значения равны.

3. Три значения: 1, 2 и 4

   1. Возьмите обратные числа: 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25
   2. Сложите их: 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75
   3. Разделите количество на сумму: 3 ÷ 1,75 = 1,7143

   Обратные числа идут в другую сторону от значений, и в этом весь характер этого среднего: 1 — самое маленькое значение набора, но вклад его самый большой, 1, а 4 — самое большое значение, и вклад его самый маленький, 0,25. Поэтому ответ оказывается заметно ниже среднего арифметического 2,3333 и ближе к нижнему концу набора. Если бы это были времена прохождения одинаковых участков, ответ 1,7143 был бы верным средним временем; если бы это были просто три длительности, которые нужно сложить, верным было бы среднее арифметическое 2,3333.

4. Переход через единицу: обратные числа меняют порядок

   1. Возьмите обратные числа: 1/0,5 = 2 и 1/2 = 0,5
   2. Сложите их: 2 + 0,5 = 2,5
   3. Разделите количество на сумму: 2 ÷ 2,5 = 0,8

   Значения меньше единицы дают обратные числа больше единицы, поэтому меньшее значение этой пары вносит большее слагаемое и задаёт знаменатель: 0,5 даёт 2, а 2 даёт всего 0,5. Среднее гармоническое поэтому равно 0,8, то есть стоит близко к меньшему значению, тогда как среднее арифметическое 1,25 лежит между ними. Перепутать здесь порядок — делить сумму на количество вместо количества на сумму — значит получить 1,25, то есть среднее арифметическое, которое на панели выглядит совершенно правдоподобно; порядок поэтому важен, и именно на этой паре ошибка видна яснее всего. Единица — то значение, на котором обратные числа перестают менять картину, потому что её обратное число снова единица.

5. Восемь значений, записанных через Σ

   1. Возьмите обратное число к каждому значению: 1, 0,5, 0,333333, 0,25, 0,2, 0,166667, 0,142857, 0,125
   2. Сложите их: 2,717857
   3. Разделите количество на эту сумму: 8 ÷ 2,717857 = 2,9435

   Начиная с семи значений строка с шагами переходит на сокращённую запись, 8 / Σ(1/xᵢ) = 2,9435, потому что каждое обратное число занимает минимум четыре знака, а набор из двухсот значений дал бы строку длиной за тысячу символов. Сокращение сохраняет единственное, что нельзя угадать, — куда смотрит дробь. Разрыв здесь самый широкий на странице: 2,9435 против среднего арифметического 4,5, потому что эти восемь значений равномерно растянуты в восемь раз, а среднее гармоническое сильнее всех средних зависит от нижнего конца набора.

Каждое значение должно быть больше нуля, и набор, содержащий ноль или отрицательное число, страница отклоняет. Ноль — самый опасный случай, потому что обратного числа у него нет: сумма в знаменателе обращается в бесконечность, и ответом выходит ровный ноль, число, которое выглядит результатом, а не отказом. Отрицательное значение может обнулить сумму обратных, а это деление на ноль, либо вытолкнуть ответ за пределы самих значений. Это среднее осмысленно только там, где делится фиксированный итог: фиксированное расстояние, пройденное с разными скоростями, или фиксированный бюджет, потраченный по разным ценам; приложенное к оценкам, росту или суммам оно даёт меньшее число без истолкования, и чем сильнее различаются значения, тем ниже оно опускается под среднее арифметическое. Промежуточную сумму обратных вы увидите округлённой только в том случае, если сложите её сами: панель печатает выражение именно потому, что округлённое промежуточное значение не разделилось бы обратно в напечатанный ответ. Все значения должны быть в одних и тех же единицах: формула ничего не переводит, поэтому набор, смешивающий минуты и часы или метры и километры, даст арифметически верное и совершенно бессмысленное число. Набор ограничен двумястами значениями. Запятая, после которой стоит ровно три цифры, не принимается, если целая часть не ноль: запись 1,500 одинаково похожа и на 1,5, и на тысячу пятьсот, и поле отказывается угадывать — пишите 1500 или 1,5.

Как посчитать среднее гармоническое?

Возьмите обратное число к каждому значению, сложите их, а затем разделите количество значений на эту сумму. Для 30 и 60 обратные числа равны 0,033333 и 0,016667, в сумме 0,05, и 2 ÷ 0,05 = 40. Порядок важен: делить нужно количество на сумму, а не сумму на количество, и при перестановке получится среднее арифметическое.

Почему среднее гармоническое меньше двух других средних?

Потому что переход к обратным числам переворачивает порядок значений, и дальше каждое значение вносит вклад тем больший, чем меньше оно было. У маленького значения обратное число большое, оно поднимает знаменатель и тянет ответ вниз, и тем сильнее, чем дальше значения друг от друга. Для одинаковых значений все три средних совпадают.

Почему средняя скорость равна 40, а не 45?

Потому что две половины дороги заняли разное время. На одинаковом расстоянии со скоростью 30 и со скоростью 60 медленная половина занимает вдвое больше времени, поэтому и весит вдвое больше: два часа по 30 плюс час по 60 дают 120 км за три часа, то есть 40 км/ч. Число 45 — это среднее арифметическое, и оно отвечает на другой вопрос: о средней скорости, когда одинаково время, проведённое с каждой скоростью, а не расстояние.

Когда брать его вместо простого среднего?

Когда постоянен итог, а меняется ставка: фиксированное расстояние, пройденное с разными скоростями, фиксированный объём работы, выполненный машинами разной производительности, фиксированный бюджет, потраченный по разным ценам, фиксированное напряжение на сопротивлениях разных номиналов. Если же это величины, которые складываются, или набор значений, каждое из которых должно считаться одинаково, верным будет среднее арифметическое.

Как среднее гармоническое связано с параллельным соединением?

Напрямую: общее сопротивление параллельно соединённых сопротивлений есть обратное число к сумме обратных, то есть эта формула без последнего умножения на количество. Два сопротивления по 10 Ом в параллель дают 5 Ом, а среднее гармоническое набора из двух десяток по этой странице равно 10: у одинаковых значений оно просто совпадает с ними. Интересны неравные случаи — общее сопротивление параллельного соединения всегда меньше самого маленького сопротивления, ровно как среднее гармоническое всегда меньше самого маленького значения набора.

Могут ли значения быть меньше единицы?

Да, лишь бы все они были больше нуля. У значений меньше единицы обратные числа больше единицы, поэтому они дают самые большие слагаемые, и ответ оказывается близко к ним: для 0,5 и 2 среднее гармоническое равно 0,8, заметно ниже среднего арифметического 1,25. Это то же самое правило, что и везде на этой странице, прочитанное в обратную сторону: тянет маленькое значение, с какой бы стороны от единицы оно ни стояло.

• Harmonic Mean — MathWorld (the definition, the relation to the arithmetic and geometric means, and the classical mean proportional construction) — Wolfram MathWorld
• Harmonic Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why a fixed total over varying rates calls for the harmonic mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)