Калькулятор геометрического среднего

Среднее геометрическое = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(среднее(ln xᵢ))

xᵢ

Одно значение набора, и каждое из них должно быть больше нуля. Ноль обращает произведение в ноль, и ответом будет ноль, что бы ни говорили остальные значения; отрицательное значение даёт чётный корень из отрицательного произведения, а такого действительного числа не существует

n

Сколько значений в наборе; это же число стоит показателем корня: два значения требуют квадратного корня, три — кубического, пять — корня пятой степени. Ошибка в этом счёте — обычная причина того, что ручной расчёт не сходится, поэтому количество значений печатается на панели, а не оставляется на пересчёт по списку

x₁ · x₂ · … · xₙ

Произведение всех значений. Важно только само произведение, поэтому ответ не зависит от того, в каком порядке значения записаны, — и поэтому же набор из двух значений даёт знакомый квадратный корень из их произведения

среднее(ln xᵢ)

Та же величина, записанная иначе, и именно так её считает калькулятор: берётся натуральный логарифм каждого значения, они усредняются, а затем логарифм снимается. Ответ получается тем же, что и при перемножении, но без переполнения, в которое упирается произведение длинного набора больших чисел

Берите геометрическое среднее, когда числа перемножаются, а не складываются: проценты, которые накапливаются, отношения, уровни индексов, коэффициенты роста. Фонд, который прибавил 10 %, прибавил 20 % и потерял 10 %, за три года оказывается в плюсе на 18,8 %, то есть на 1,1 × 1,2 × 0,9; средний годовой темп роста — кубический корень из этого, 1,0591, поэтому честная годовая цифра 5,91 %, а не 6,67 %, которые даёт простое среднее из трёх процентов. Те же рассуждения покрывают всё, что живёт на мультипликативной шкале: численность бактерий, магнитуду землетрясений, размеры предметов, различающихся на несколько порядков, и наборы отношений вроде цена/прибыль, где одно крайнее значение иначе перетянуло бы простое среднее на себя. Не применяйте его к величинам, которые складываются: у набора температур, оценок или цен нет осмысленного произведения, и геометрическое среднее такого набора — законный расчёт без всякого чтения. Полезно помнить одно сравнение: геометрическое среднее всегда ниже арифметического и тем сильнее, чем больше значения отличаются друг от друга, так что разрыв между ними — грубая мера неоднородности набора.

1. Пять оценок за контрольную

   1. Перемножьте значения: 85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4 830 883 200
   2. Значений пять, поэтому извлеките корень пятой степени: ⁵√4 830 883 200 = 86,458
   3. Среднее арифметическое того же набора — 86,6

   Два ответа расходятся на 0,142 — немного, потому что эти пять оценок стоят близко друг к другу; геометрическое среднее отстаёт от арифметического тем сильнее, чем неоднороднее набор. Это неравенство не погрешность округления: для положительных значений геометрическое среднее не может превысить арифметическое, а совпадает с ним только тогда, когда все значения одинаковы. Оценки не очень-то перемножающаяся величина, поэтому этот пример показывает механизм, а не естественное применение инструмента; доходности фонда из следующего примера — то, ради чего он нужен.

2. Фонд: +10 %, +20 %, −10 %

   1. Перемножьте коэффициенты роста: 1,1 × 1,2 × 0,9 = 1,188
   2. Коэффициентов три, поэтому извлеките кубический корень: ³√1,188 = 1,0591
   3. Среднее арифметическое — 1,0667, то есть выше, и для этого вопроса неверно

   Три года вместе дают плюс 18,8 %, и 1,188 — единственное число, которое это выражает. Средний годовой множитель — тот, который за три года перемножением даёт 1,188, то есть кубический корень 1,0591: это и есть совокупный годовой рост в 5,91 %. Простое среднее трёх процентов даёт 6,67 %, и оно завышено потому, что проценты не складываются: падение на 10 % отменяет больше, чем прибавляет рост на 10 %, ведь оно берётся от большей базы. Разрыв здесь — 0,76 процентного пункта в год, а на длинном горизонте он превращается в разницу между двумя совсем разными портфелями.

3. Два числа: среднее пропорциональное

   1. Перемножьте два значения: 2 × 8 = 16
   2. Значений два, поэтому извлеките квадратный корень: √16 = 4
   3. Среднее арифметическое той же пары — 5

   Для двух значений геометрическое среднее — квадратный корень из их произведения, то есть то, что античные геометры называли средним пропорциональным: 2 относится к 4 так же, как 4 к 8. Это ещё и сторона квадрата, равновеликого прямоугольнику 2 на 8, — площадь 16 в обоих случаях, — тогда как среднее арифметическое 5 есть сторона квадрата с тем же периметром, квадрата 5 на 5 площадью 25. Это самый наглядный случай, когда два средних расходятся, и он показывает, почему геометрическое верно отвечает на вопрос о площадях, масштабах и росте, а арифметическое — на вопрос об итогах.

Каждое значение должно быть больше нуля, и набор с нулём или отрицательным числом страница отклоняет, а не возвращает что-то бессмысленное: один ноль обращает произведение в ноль, и ответом станет ноль, что бы ни лежало в остальных ячейках, а чётный корень из отрицательного произведения действительным числом не является. Для набора с нечётным числом отрицательных значений ответ в принципе существует, но знак геометрического среднего, собранного из отрицательных чисел, не поддаётся истолкованию, поэтому такие наборы тоже отклоняются, и правильный выход — работать с коэффициентами роста, а не с процентными изменениями. Это среднее осмысленно только для величин, которые перемножаются; для оценок, температур или цен это законный расчёт без полезного чтения, и именно поэтому арифметическое среднее печатается рядом, а не вместо него. Оно неприменимо, когда среди значений есть ноль, а значит, не годится для набора доходностей, включающего полную потерю. Набор ограничен двумястами значениями. Запятая, после которой стоит ровно три цифры, не принимается, если целая часть не ноль: запись 1,500 одинаково похожа и на 1,5, и на тысячу пятьсот, и поле отказывается угадывать — пишите 1500 или 1,5.

Как посчитать среднее геометрическое набора чисел?

Перемножьте все значения, а затем извлеките корень той степени, сколько значений в наборе. Для 2 и 8 произведение равно 16, а значений два, поэтому среднее геометрическое — это √16 = 4; для пяти значений понадобится корень пятой степени. Калькулятор делает то же самое через логарифмы: берёт логарифм каждого значения, усредняет их и в конце снимает логарифм, обходясь без огромного промежуточного произведения.

Почему среднее геометрическое меньше среднего арифметического?

Потому что произведение разнородных чисел меньше того, которое получилось бы, будь они все равны своему среднему арифметическому. Разрыв растёт вместе с неоднородностью набора: если все значения одинаковы, оба средних совпадают, а чем дальше они друг от друга, тем ниже опускается геометрическое среднее. Это не эффект округления, и для положительных чисел исключений не бывает.

Когда вместо среднего арифметического нужно геометрическое?

Когда значения перемножаются, а не складываются. Типичный случай — ряд годовых доходностей: геометрическое среднее даёт тот совокупный рост, который переводит первое значение в последнее, тогда как среднее арифметическое описывает рост, которого не было. То же касается отношений, уровней индексов, величин на мультипликативной шкале, а также наборов, значения которых различаются на порядки.

Можно ли считать геометрическое среднее по набору с нулём или отрицательным числом?

Нет, и страница такой набор отклоняет, а не считает его частично. Ноль обращает произведение в ноль, поэтому ответом было бы не число, а отсутствие ответа; отрицательное значение делает невозможным чётный корень из отрицательного произведения. Если в наборе есть ноль, среднее арифметическое посчитать всё ещё можно, и именно на него стоит смотреть, помня, что ноль всё равно тянет его вниз.

Как связаны геометрическое среднее и совокупный годовой рост?

Совокупный годовой рост — это среднее геометрическое годовых коэффициентов роста, выраженное в процентах. Если вложение умножается на 1,1, 1,2 и 0,9 за три года, произведение равно 1,188, кубический корень — 1,0591, а совокупный годовой рост — 5,91 %. Всё в калькуляторе уже в этой форме: вводите коэффициенты, а не проценты, и число на панели будет коэффициентом роста, процент которого и есть ставка.

Влияет ли порядок значений на ответ?

Нет. Геометрическое среднее строится из произведения и количества, а умножение не зависит от порядка, поэтому 2, 8 и 4 дают тот же ответ, что 8, 4 и 2. Это стоит знать, потому что геометрическим средним часто описывают последовательность во времени — годы доходности, — и ответ намеренно не зависит от того, какой удачный год шёл первым. Оно говорит, каким был средний год, а не что случилось в каком-то конкретном.

• Geometric Mean — MathWorld (the definition, the mean proportional, and the inequality with the arithmetic mean) — Wolfram MathWorld
• Geometric Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why rates and ratios call for the geometric mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)