Калькулятор треугольной призмы
Результат
Объём
- Боковая поверхность
- 120,0000 cm²
- Полная площадь поверхности
- 132,0000 cm²
Калькулятор треугольной призмы берёт три стороны треугольника в торце и длину призмы и возвращает три числа: объём треугольной призмы, площадь боковой поверхности и полную площадь поверхности призмы. Треугольная призма — это форма палатки, плитки шоколада, ломтя сыра, конька крыши и погонного метра треугольного плинтуса: всё, у чего на одном конце треугольник, а на другом такой же, и между ними фигура идёт прямо, не поворачиваясь. Призма — это то, что получается, если протянуть плоскую фигуру через пространство, не поворачивая её, и потому у любой такой фигуры объём равен площади поперечного сечения, умноженной на пройденный путь. Отсюда сразу читаются два ответа из трёх. Объём — это площадь треугольного торца, умноженная на длину: у призмы, у которой треугольник в сечении тянется вдоль всей длины, поперечное сечение везде одно и то же. Боковая поверхность — это расстояние вокруг треугольника, умноженное на ту же длину, потому что в развёртке бока призмы представляют собой прямоугольник, ширина которого равна периметру торца. Сложите эти два ответа, и получится третий: полная площадь поверхности — это боковая поверхность плюс два треугольных торца, по одному с каждого конца, и именно поэтому торцы и считаются дважды. Три стороны ещё должны образовывать треугольник, и об этом стоит сказать отдельно, потому что именно эту проверку и забывают. Три длины образуют треугольник только тогда, когда любые две из них в сумме больше третьей. Если это не так, у призмы нет торца, с которого можно начать, и нет объёма, о котором можно отчитаться, поэтому страница так и говорит, а не возвращает молча что попало. Когда две короткие стороны в сумме дают ровно самую длинную, торец превращается в отрезок, а не в треугольник, и такой ввод страница принимает: объём тогда честно равен нулю, и страница печатает ноль.
Объём треугольной призмы по её торцу и длине
| Сторона a (cm) | Сторона b (cm) | Сторона c (cm) | Длина (cm) | Объём (cm³) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 10 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 10 | 155.8846 |
| 5 | 5 | 6 | 4 | 48 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 14.5237 |
| 1 | 1 | 2 | 10 | 0 |
| 3 | 4 | 5 | 0 | 0 |
| 2.5 | 3.5 | 4 | 7.5 | 32.476 |
| 5 | 6 | 10 | 2 | 22.798 |
Восемь призм и пять столбцов. Таблица даёт объём, а не все три ответа, потому что пять столбцов — это уже предел ширины для неё, а объём — то, за чем приходят. Первая строка — строка сверки: у торца 3-4-5 площадь ровно 6, поэтому объём ровно 60, и страница объёма печатает те же 60 для площади основания 6 при длине 10. Вторая строка — та же проверка с неудобным числом: равносторонний торец со стороной 6 даёт 155,8846, и страница объёма приходит к этому от площади основания 15,5884572. Третья строка — обычный случай: равнобедренный торец 5, 5 и 6 даёт объём 48 при длине 4. Четвёртая строка — самый плоский из законных торцов, 2, 3 и 4, где сумма двух меньших едва перевешивает третью: объём около 14,5 кубического сантиметра. Пятая строка — вырожденный торец, где 1 + 1 = 2 и треугольник сплющился в линию: площадь равна нулю, значит, и объём равен нулю, и страница это принимает. Шестая строка — длина ноль, где объём тоже ноль, но совсем по другой причине: призмы не осталось. Седьмая строка — торец с дробными сторонами, 2,5 и 3,5 при основании 4, и объём около 32,5. Восьмая строка — почти вырожденный торец, где 5 + 6 лишь ненамного больше 10: площадь при этом крошечная, и это самый тяжёлый случай для арифметики. Каждое значение здесь пересчитывается из своих четырёх входов при сборке страницы, в сантиметрах, и четыре знака после запятой — те же четыре знака, что и на панели результатов. Ячейки таблицы печатает программа, и она выводит их с точкой и без разделителя тысяч: те же самые числа в тексте этой страницы записываются с запятой — это одно и то же число в двух записях, и путаницы здесь нет.
Формула
V = A(осн.) × L
- Сторона a
- Первая сторона треугольного торца, в сантиметрах. Три стороны вместе должны образовывать треугольник, и страница проверяет это до того, как ответить
- Сторона b
- Вторая сторона торца, в сантиметрах. Вместе с a и c она полностью задаёт площадь торца, а значит, и объём
- Сторона c
- Третья сторона торца, в сантиметрах. Порядок трёх сторон не важен: они входят симметрично, через периметр и полупериметр
- Длина
- Как далеко идёт призма, в сантиметрах, — расстояние между двумя одинаковыми треугольными торцами, измеренное вдоль направления протяжки. Это не высота треугольника, и у призмы, лежащей на столе, эти два числа часто похожи, поэтому и стоит проверять, какое из них у вас в руках
- A(осн.)
- Площадь треугольного торца, вычисленная по трём сторонам формулой Герона. У торца 3-4-5 площадь ровно 6 квадратных сантиметров, и потому этот набор так часто встречается на страницах этого раздела
- Объём
- Сколько призма вмещает, в кубических сантиметрах. Площадь торца, умноженная на длину; это верно для любой призмы, какой бы формы ни было её сечение
- Периметр и боковая поверхность
- Расстояние вокруг торца и это расстояние, умноженное на длину. В развёртке бока любой призмы — прямоугольник, и это его площадь
Бетон и земляные работы — самые старые потребители: треугольный вал, отвал с плоским верхом, бордюрный камень треугольного сечения — всё, что заказывают или оплачивают по объёму, а по объёму продаётся большинство того, что возят самосвалом или считают в кубометрах. Вторая семья — укрывные и листовые материалы, и им нужна боковая поверхность: брезент поверх конька палатки, стрейч-плёнка вокруг треугольной упаковки, обшивка фронтона, жесть в треугольном воздуховоде. Такие работы считают по площади, и нужное им число — это периметр, умноженный на длину, а не полная площадь поверхности, потому что торцы обычно открыты или закрыты чем-то другим. Малярные и окрасочные работы хотят, наоборот, полную площадь поверхности: торцы тоже придётся красить, и забыть их в смете — обычный способ не добрать материала. И есть третий ответ, о котором стоит знать, хотя он достаётся даром: объём призмы — это площадь поперечного сечения, умноженная на длину, и, увидев это один раз, вы сведёте параллелепипед, цилиндр и эту фигуру к одному правилу. Именно из-за этого обобщения эта страница и страница объёма треугольной призмы и существуют парой: одна начинает с трёх сторон, другая — с площади, которая у вас уже есть, и обе приходят к одному ответу, когда числа сходятся.
Разобранные примеры
Торец 3-4-5 и длина 10
- Считаем площадь торца по формуле Герона: полупериметр 6, значит √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- Умножаем на длину и получаем объём: 6 × 10 = 60
- Складываем стороны и умножаем на длину — это боковая поверхность: 12 × 10 = 120
- Прибавляем два треугольных торца: 120 + 2 × 6 = 132
Тот набор, с которым страница загружается, и тот, что связывает две страницы в пару: у торца площадь ровно 6, поэтому объём ровно 60, и страница объёма печатает те же 60 для площади основания 6 при длине 10. Все три ответа выходят из одного маленького набора чисел — в этом и смысл страницы-зонтика.
Равносторонний торец 6 при длине 10
- Считаем площадь равностороннего торца: √3 ÷ 4 × 36 = 15,5884572…
- Умножаем на длину и получаем объём: 15,5884572… × 10 = 155,884572…
Равносторонний торец, где площадь не целое число и ответ приходится округлять в конце. Страница объёма приходит к тем же 155,8846 от площади основания 15,5884572 при той же длине, и это второе схождение двух страниц.
Равнобедренный торец 5, 5 и 6 при длине 4
- Считаем площадь торца: полупериметр 8, значит √(8 × 3 × 3 × 2) = 12
- Умножаем на длину и получаем объём: 12 × 4 = 48
Самый обычный случай: торец, площадь которого случайно оказалась целым числом, и короткая призма. Здесь нет ни особой формы, ни стороны, измеренной под удобным углом, — именно так и выглядят большинство настоящих задач.
Торец 3-4-5 при длине 0
- Считаем площадь торца: 6
- Умножаем на длину: 6 × 0 = 0
Длина ноль означает, что два торца сдвинули вплотную и призмы не осталось — объём честно равен нулю. А площадь поверхности нулю не равна даже здесь: два треугольных торца никуда не делись и их всё ещё надо считать; боковая же поверхность вместе с длиной исчезает, потому что это периметр торца, умноженный на эту длину. Полезно увидеть, как один ответ из пары стоит на месте, пока другой падает до нуля: площадь поверхности и объём отвечают на разные вопросы.
Ограничения
Эта страница берёт три стороны торца и длину призмы и ничего больше. Она предполагает, что призма прямая: торцы параллельны и одинаковы, а боковые грани идут к ним под прямым углом. Это и означает слово призма, но не всякое треугольное тело таково; клин, сужающийся к одному концу, требует другой арифметики. Сечение обязано быть треугольником: призма с четырёхугольным торцом — другая фигура и другая страница. Три стороны должны удовлетворять неравенству треугольника, и когда две короткие в сумме меньше самой длинной, страница отказывается отвечать, а не отвечает как попало. Когда они в сумме равны самой длинной, торец вырожден, и объём принимается равным нулю. Ответ всегда в сантиметрах, квадратных и кубических сантиметрах, что бы ни было выбрано в списках единиц, и пересчёт для всех трёх разный: длина переводится множителем 2,54 в дюйм, площадь — 6,4516, а объём — 16,387064. Четыре знака после запятой — это ширина показа, а не утверждение о точности, и у объёма с квадратным корнем внутри знаков действительно больше, чем напечатано. Боковая поверхность не включает ни одного из двух треугольных торцов, а это то, что нужно укрывному материалу, но не то, что нужно смете на краску: для краски берите полную площадь поверхности. И ничего здесь не учитывает полую призму, толщину стенки или запас на отходы при раскрое материала.
Частые вопросы
- Чем боковая поверхность отличается от площади поверхности?
- Боковая поверхность — это только обёртка вокруг боков: периметр треугольника, умноженный на длину. Полная площадь поверхности считает ещё и два треугольных торца, то есть это боковая поверхность плюс удвоенная площадь торца. Какая из двух нужна, зависит от задачи: укрывному материалу, этикетке или обшивке нужна боковая поверхность, потому что торцы упаковки открыты. Краске, гальванике или листовому материалу нужна полная, потому что торцы тоже придётся покрыть.
- Какое измерение здесь длина?
- То, как далеко идёт призма: расстояние от одного треугольного торца до другого, измеренное вдоль направления, в котором фигура тянется. Это не высота треугольника, и у призмы, лежащей на столе, эти два числа часто похожи — как раз поэтому и стоит проверять, какое из них у вас. Если призма — это палатка, то длина — это конёк.
- Три стороны могут быть любыми тремя числами?
- Нет. Три длины образуют треугольник только тогда, когда любые две из них в сумме больше третьей. Если две короткие в сумме меньше самой длинной, торца нет, и страница отказывается отвечать. Если они в сумме ровно равны самой длинной, торец — это отрезок, и объём действительно равен нулю, поэтому такой случай принимается и печатается как ноль.
- Почему страница объёма даёт тот же ответ для некоторых наборов?
- Потому что это одно и то же правило, к которому пришли с разных сторон. Объём любой призмы — это площадь её поперечного сечения, умноженная на длину, поэтому, если площадь торца уже известна, три стороны можно вообще пропустить. У торца 3-4-5 площадь ровно 6, поэтому обе страницы дают 60 при длине 10: одна сначала считает площадь, другой её просто сообщают.
- Имеет значение, какую сторону называть a, b и c?
- Нет. Три стороны входят в расчёт симметрично: в периметре они просто складываются, а в формуле Герона участвуют только через полупериметр и три разности, и это один и тот же набор чисел, в каком бы порядке вы их ни ввели. Обозначения нужны, чтобы у полей были имена, а не чтобы что-то подразумевать.
- Можно ли пользоваться этой страницей для цилиндра или параллелепипеда?
- На этой странице нет, потому что торец здесь треугольный, а поля просят три стороны. Но правило то же самое: объём любой призмы — это её сечение, умноженное на длину, а боковая поверхность любой призмы — это её периметр, умноженный на длину. Страница параллелепипеда в этом же разделе — тот же расчёт с прямоугольным торцом, а страница цилиндра — тот же расчёт с круглым.
Источники
- Prism — what makes a solid a prism, why the volume is always the cross-section times the length, and how the lateral area is defined — Wolfram MathWorld (United States)
- Heron's Formula — how the area of the triangular end, and therefore the volume of the whole prism, is worked out from the three sides alone — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle Inequality — the condition the three sides of the end must satisfy, and the reason some sets of three lengths have no prism behind them — Wolfram MathWorld (United States)