Временная стоимость денег

Будущая стоимость = Сумма × (1 + годовая ставка ÷ m)^(m × лет) Приведённая стоимость = Сумма ÷ (1 + годовая ставка ÷ m)^(m × лет)

Сумма

Та сумма, которую вы ввели и которую читают в двух точках времени: для движения вперёд это то, что у вас есть сегодня, для обратного — то, что причитается в конце срока

Годовая ставка

Номинальная процентная ставка за год, до всякого начисления; вводите 2, если речь о двух процентах, и помните, что это объявленная ставка, а не эффективная, которую даёт начисление

m

Число периодов начисления в году: 1 при годовом, 2 при полугодовом, 4 при квартальном, 12 при месячном, 365 при ежедневном; чем оно больше, тем больше даёт одна и та же объявленная ставка

Лет

Сколько лет деньги остаются в работе; показатель степени равен m × лет, то есть считает периоды начисления, а не годы

Будущая стоимость

Во что превратится сегодняшняя сумма к концу срока — чтение вперёд и главная величина на странице

Приведённая стоимость

Сколько стоит сегодня сумма, причитающаяся через столько лет: та же формула, запущенная назад, — деление вместо умножения

Разница между будущей и приведённой стоимостью

Будущая стоимость минус приведённая: одна и та же сумма, прочитанная на две даты, и разность между ними есть то, чего стоит весь срок ожидания в деньгах

Непрерывное начисление

Предельный случай, когда m растёт неограниченно и формула превращается в «Сумма × e^(ставка × лет)»; это другое выражение, а не ещё одна настройка частоты, и ни одно конечное m до него не дотягивает

Чтение вперёд берите, когда нужно узнать, во что превратится сумма: во что вырастет вклад, во что должна превратиться разовая сумма, чтобы её стоило откладывать, что означает целевое число для ставки или для срока. Чтение назад берите, когда нужно узнать, сколько будущий платёж стоит сегодня, — это и есть дисконтирование, и оно же стоит за любой оценкой с дисконтом: аренда, мировое соглашение, обещание заплатить через пять лет. Разницу берите, когда нужно показать кому-то величину эффекта, а не ставку, которая его вызывает, — это обычно более убедительная половина довода. И три случая, где инструмент не тот. Он не умеет оценить поток платежей: для этого сумму нужно повторять по графику, а это страницы про аннуитет. Он ничего не говорит о риске — он переводит между датами по заданной вами ставке, а если деньги могут вообще не прийти, это отдельный вопрос, которого он не касается. И ему безразлично, какое из направлений настоящее: когда вы дисконтируете платёж, обещанный должником, ставка должна быть той, которую вы действительно могли бы заработать на деньгах сравнимого риска, а не той, в которую должнику хотелось бы, чтобы вы поверили.

1. 10 000 под 5 % на десять лет с годовым начислением

   1. Десять лет под 5 % с годовым начислением — это множитель 1,05^10 = 1,628894627
   2. Будущая стоимость: 10 000 × 1,628894627 = 16 288,95
   3. Приведённая стоимость: 10 000 ÷ 1,628894627 = 6139,13
   4. Разница: 16 288,95 − 6139,13 = 10 149,82

   Случай по умолчанию и самое чистое изложение всей мысли. Читайте две суммы как одни и те же 10 000, увиденные с двух концов десятилетнего промежутка: 16 288,95 — это то, во что превращаются сегодняшние деньги, 6139,13 — то, сколько обещание 10 000 через десять лет стоит прямо сейчас. Разница 10 149,82 между ними — не комиссия и не потеря, а само время, оценённое в деньгах. Заметьте, что будущая стоимость больше исходной суммы на 6288,95, а приведённая меньше неё на 3860,87, и что разница есть сумма обоих этих сдвигов, а не один из них; страница печатает все три величины, чтобы эта арифметика была видна.

2. Нулевая ставка: 8000 за пятнадцать лет не меняются

   1. При 0 % множитель равен 1,00^15 = 1
   2. Будущая стоимость: 8000 × 1 = 8000
   3. Приведённая стоимость: 8000 ÷ 1 = 8000
   4. Разница: 8000 − 8000 = 0

   Это не вырожденный случай и не ошибка: нулевая ставка — честный способ сказать, что в этом конкретном сравнении сегодняшний рубль и рубль через пятнадцать лет считаются одним и тем же. Всё, что делает страница, схлопывается: оба направления возвращают сумму без изменений, а разница ровно нулевая. Это стоит иметь как точку отсчёта, потому что она изолирует весь эффект: любая другая строка справочной таблицы отличается от этой только тем, что ставка не нулевая. И если вы когда-нибудь увидите нулевую разницу при ненулевой ставке, значит одна из двух сумм не применилась.

3. Те же 10 000 и 5 %, но с непрерывным начислением

   1. Непрерывное начисление берёт e^(ставка × лет) вместо степени (1 + ставка ÷ m)
   2. Множитель: e^(0,05 × 10) = e^0,5 = 1,648721271
   3. Будущая стоимость: 10 000 × 1,648721271 = 16 487,21
   4. Приведённая стоимость: 10 000 ÷ 1,648721271 = 6065,31, а разница равна 10 421,90

   Те же входные данные, что и в примере по умолчанию, и на 198,26 больше — исключительно из-за частоты. Непрерывное начисление — это потолок, к которому приближаются остальные частоты: годовое даёт 16 288,95, ежедневное — 16 486,65, и сжатие интервала начисления до нуля добавляет сверх ежедневного всего 0,56. В этом и практический урок: переход от годового к месячному двигает число на несколько сотен, а от ежедневного к непрерывному — на копейки, так что значение имеет как раз выбор между низкими частотами. Непрерывное начисление к тому же единственный вариант здесь, который является другим выражением, а не другой настройкой того же самого.

4. 5000 под 6 % на двадцать лет с квартальным начислением

   1. Квартальное начисление означает 1,5 % за квартал в течение 80 кварталов: 1,015^80 = 3,290662…
   2. Будущая стоимость: 5000 × 3,290662 = 16 453,31
   3. Приведённая стоимость: 5000 ÷ 3,290662 = 1519,45
   4. Разница: 16 453,31 − 1519,45 = 14 933,86

   Срок длиннее, ставка выше, и разница теперь почти втрое больше исходной суммы. Смотреть стоит именно на это отношение, а не на итоги: за двадцать лет под 6 % разница между двумя прочтениями одних и тех же 5000 равна 14 933,86, то есть почти ровно три суммы. Удвоение горизонта делает с эффектом больше, чем удвоение, потому что работу делает показатель степени. А столбец приведённой стоимости читайте здесь как ответ на настоящий вопрос: обещание 5000 через двадцать лет, дисконтированное по 6 %, стоит сегодня около 1519.

Четыре вещи, которых эта страница не делает. Она переводит одну сумму между двумя датами; она не умеет оценить поток платежей, поэтому аренда, зарплаты, платежи по кредиту и дивиденды требуют страниц про аннуитет, а не этой. Ставку задаёте вы, и у страницы нет о ней своего мнения: она не знает, какой будет инфляция, что даёт сопоставимое вложение и каков риск платежа, поэтому перевод по неверной ставке — это точный ответ на неверный вопрос. Ничего не корректируется на инфляцию, поэтому цифры выражены в тех единицах, которые вы ввели, а значит крупная на вид будущая стоимость может купить меньше, чем приведённая. И частоты начисления — не взаимозаменяемые соглашения об одном и том же: непрерывное начисление — другое выражение, и любое сравнение цифры отсюда со ставкой, объявленной где-то ещё, обязано сначала установить, каким соглашением пользовалась другая сторона.

Что такое временная стоимость денег?

Это тот факт, что одна и та же сумма денег стоит в разные даты по-разному, и потому перевод между датами — расчёт, а не переименование. Эта страница её измеряет: 10 000 под 5 % за десять лет — это 16 288,95 на дальнем конце и 6139,13 на ближнем, а 10 149,82 между этими величинами и есть стоимость самого времени. При этом ничего не заработано и не потеряно: одни и те же 10 000 просто прочитаны на две даты.

Почему результатов два и какой из них мне нужен?

Это одна и та же операция в противоположных направлениях. Будущая стоимость начисляет вперёд и отвечает, во что превратятся сегодняшние деньги; приведённая дисконтирует назад и отвечает, сколько будущая сумма стоит сейчас. Берите будущую стоимость, если оцениваете сумму, которая у вас на руках сегодня, и приведённую, если оцениваете платёж, который вам обещали. Третья величина — разница между ними — нужна, когда вы хотите показать величину эффекта, а не ставку за ним.

Насколько важна частота начисления?

Сильнее, чем большинство ожидает, на нижнем конце и слабее, чем ожидает, на верхнем. На 10 000 под 5 % за десять лет: годовое даёт 16 288,95, квартальное — 16 436,19, месячное — 16 470,09, ежедневное — 16 486,65, непрерывное — 16 487,21. Переход от годового к месячному добавляет около 181, а переход от ежедневного к непрерывному — меньше рубля. Объявленная ставка во всех случаях одна и та же; меняется лишь то, как часто проценты начинают приносить проценты.

Что означает разница между двумя величинами?

Это стоимость ожидания, выраженная в деньгах, а не ставкой. Она равна просто будущей стоимости минус приведённая, поэтому в примере по умолчанию это 16 288,95 − 6139,13 = 10 149,82. Это не комиссия и не потеря; это то, чего стоят десять лет для такой суммы при такой ставке. Разница растёт быстрее срока, потому что работает показатель степени: удвоение горизонта увеличивает её больше чем вдвое.

Непрерывное начисление — это просто очень высокая частота?

Это предел, к которому остальные частоты приближаются, но которого не достигают, и считается он другим выражением — «Сумма × e^(ставка × лет)», а не степенью (1 + ставка ÷ m). Различие практическое, а не философское: ежедневное начисление на 10 000 под 5 % за десять лет и так отличается от непрерывного меньше чем на пятьдесят шесть копеек, так что считать непрерывное просто шестой частотой здесь было бы точным до рубля. По-настоящему другим соглашением оно становится там, где ставки котируются непрерывно, — а так часто бывает в оценке производных, — и тогда перевод в годовую ставку до всякого сравнения обязателен, а не желателен.

Учитывает ли это инфляцию?

Нет. Каждая цифра выражена в тех единицах, которые вы ввели, поэтому будущая стоимость 16 288,95 означает 16 288,95 номинальных денег на ту дату, а что на них можно будет купить — отдельный вопрос. Если нужна реальная величина, а не номинальная, введите реальную ставку — уже очищенную от ожидаемой инфляции — либо уменьшите результат на допущение об инфляции после расчёта. Страница не помешает вам ввести номинальную ставку и прочитать вывод как реальный, а это самый частый способ злоупотребить этим расчётом.

• Future Value — Investor.gov glossary, for the forward reading: what an amount today becomes by a later date — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Compound Interest — Investor.gov glossary, for the effect the compounding frequency is selecting between — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Interest — Investor.gov glossary, for the rate itself, read the other way round when this page discounts instead of compounds — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Circular A-94, Guidelines and Discount Rates for Benefit-Cost Analysis of Federal Programs — how a government discount rate is chosen when future amounts are converted to present value for a decision — Office of Management and Budget, Executive Office of the President (United States)