Калькулятор замедления времени

замедленное время = фактор Лоренца × собственное время, где фактор Лоренца равен 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v

Скорость движущихся часов долей скорости света, поэтому 0,9 означает девять десятых c. Так сделано намеренно: единица здесь — скорость света, а не константа, которую надо вписывать руками. Поле принимает значения от 0 до 1, и ровно 1 страница использовать не может, потому что вся формула делит на величину, которая там обращается в ноль

Δτ

Собственное время — то, что показывают сами движущиеся часы, в часах, минутах, секундах или днях. Это меньшее из двух времён и то, которое переживает путешественник. На этой странице двое часов, и именно эти надо держать отдельно от вторых: вписывайте полёт так, как его пережил бы экипаж, а не так, как его отсчитал бы центр управления

γ

Фактор Лоренца, 1 ÷ √(1 − v²/c²), печатается с четырьмя знаками после запятой и без единицы, потому что это отношение. Это и есть весь предмет страницы: на любой скорости, доступной человеку или машине, он совпадает с единицей до одиннадцатого знака — даже 1000 м/с дают всего 1,0000000000056, — поэтому панель показывает 1,0000; при 0,1 c он равен 1,005; и только после примерно 0,9 c он начинает выглядеть числом, достойным таблицы. Всё остальное на странице — это он, умноженный на время или вычтенный из времени

Δt

Замедленное время — то, что покажут часы, оставшиеся на месте, между теми же двумя событиями. Оно всегда большее из двух, и страница показывает его как длительность, а не как счёт секунд: пять часов на борту при 0,9 c превращаются в 11 часов 28 минут 15 секунд. Случая, когда оно меньше, не бывает, потому что фактор никогда не опускается ниже единицы

Δt − Δτ

Расхождение между часами, тоже показанное как длительность. Оно не равно замедленному времени и не кратно ему: это остаток после вычитания собственных часов путешественника, и именно о нём на самом деле спрашивает парадокс близнецов. При 0,9 c за пять часов расхождение составляет 6 часов 28 минут 15 секунд

Эта страница нужна, когда хочется узнать, во что обходится быстрый полёт не расстоянием, а временем: насколько состарится экипаж за путешествие на приличной доле скорости света, как выглядит время жизни мюона с земли и почему часы на спутнике приходится поправлять. Смотреть стоит именно на фактор, потому что ответ удивляет в обе стороны — при 0,1 c, а это быстрее всего, что когда-либо построено, часы расходятся на половину процента, тогда как последний участок с 0,99 c до 0,999999 c увеличивает эффект в сотню раз. Исходящая половина парадокса близнецов живёт здесь: отправьте одного близнеца в путь при 0,9 c, и календарь второго пойдёт более чем вдвое быстрее.

1. Значения по умолчанию: 0,9 c и пять часов на борту

   1. Скорость 0,9 c, собственное время 5 часов
   2. Фактор Лоренца: 1 ÷ √(1 − 0,9²) = 1 ÷ √0,19 = 2,294157, то есть 2,2942
   3. Пять часов — это 5 × 3600 = 18 000 секунд на борту
   4. Замедленное время: 2,294157 × 18 000 = 41 294,83 секунды, округляется до 41 295 — то есть 11 часов 28 минут 15 секунд
   5. Расхождение: 41 295 − 18 000 = 23 295 секунд, то есть 6 часов 28 минут 15 секунд

   Две строки длительности — причина, по которой эта страница не сводится к одному умножению. Часы путешественника показывают пять часов, часы дома — одиннадцать часов двадцать восемь минут, и разница между ними, шесть часов двадцать восемь минут, это третье число и то самое, о котором парадокс близнецов и спрашивает. Заметьте, что расхождение при этом не кратно собственному времени: 23 295 секунд — это в 1,294 раза больше 18 000, измеренных путешественником, а не в 2,29 раза. Вычитание из времени фактора, умноженного на время, расхождения не даёт; его даёт вычитание одного времени из другого.

2. Половина скорости света за час: эффект настоящий, но скромный

   1. Скорость 0,5 c, собственное время 1 час
   2. Фактор Лоренца: 1 ÷ √(1 − 0,25) = 1 ÷ √0,75 = 1,154701, то есть 1,1547
   3. Один час на борту — это 3600 секунд
   4. Замедленное время: 1,154701 × 3600 = 4156,92 секунды, округляется до 4157 — 1 час 9 минут 17 секунд
   5. Расхождение: 4157 − 3600 = 557 секунд, то есть 9 минут 17 секунд

   Половина скорости света звучит экстремально, а для часов — нет: год на борту обернётся годом и двумя месяцами дома. Этот случай стоит здесь скорее из-за округления, чем из-за физики: реализация, которая отбрасывает дробную часть вместо округления, выдала бы 4156 и 556, то есть на секунду меньше в обеих строках, и эта секунда незаметна, пока не проверишь арифметику так, как это делают шаги выше. Он же показывает, что фактор симметричен неожиданным образом: 0,5 c дают 1,1547, и ровно столько же дают 0,5 c в любую сторону, потому что в формуле стоит v², а не v.

3. 0,999999 c за час: двадцать девять дней дома

   1. Скорость 0,999999 c, собственное время 1 час
   2. Фактор Лоренца: 1 ÷ √(1 − 0,999998000001) = 1 ÷ √(1,999999 × 10⁻⁶) = 707,106958, то есть 707,107
   3. Один час на борту — это 3600 секунд
   4. Замедленное время: 707,106958 × 3600 = 2 545 585,05 секунды, округляется до 2 545 585 — 29 дней 11 часов 6 минут 25 секунд
   5. Расхождение: 2 545 585 − 3600 = 2 541 985 секунд, то есть 29 дней 10 часов 6 минут 25 секунд

   Час в пути и двадцать девять дней домашнего времени — вот что покупает последний знак ввода: при 0,999 c фактор равен 22,37, а при 0,999999 c — 707,11, и всё это от изменения скорости на одну тысячную. Эта крутизна — самое полезное, что можно отсюда вынести, и именно поэтому шесть скоростей в таблице сгруппированы у верхнего края, а не разложены равномерно. Арифметика второго шага — единственное место, где корень легко взять неправильно вручную: √2 ≈ 1,4142 подсказало бы 707,1068, тогда как напечатанное значение имеет ноль в четвёртом знаке, а не восьмёрку.

4. В покое: двое часов идут одинаково

   1. Скорость 0 c, собственное время 1 час
   2. Фактор Лоренца: 1 ÷ √(1 − 0) = 1, то есть 1,0000
   3. Замедленное время: 1 × 3600 = 3600 секунд, то есть 1 час
   4. Расхождение: 3600 − 3600 = 0 секунд
   5. Ничего не движется — ничего не идёт медленнее

   Эта строка — точка отсчёта для всего, что выше: при отсутствии относительного движения эффекта нет вовсе, и фактор равен ровно единице. Она же показывает, почему печатаются четыре знака после запятой, а не два: при 0,05 c фактор равен 1,00125, и два знака вывели бы 1,00, неотличимое от покоя, тогда как с четырьмя строка 0,1 c читается как 1,005 и разница видна. Напечатанное 1,0000 — тоже не украшение: оно говорит, что расхождение лежит ниже четвёртого знака, а это факт о нулевой скорости, а не выбор форматирования.

Рассмотрен только исходящий участок: часы, которые разворачиваются и возвращаются, надо считать двумя отдельными отрезками с постоянной скоростью, и отстают в итоге часы путешественника. Гравитация не моделируется, хотя часы ниже в гравитационном поле тоже идут медленнее, по другой формуле. Скорость измеряется относительно того, кто наблюдает, и полёт предполагается таким на всём протяжении, поэтому разгон и торможение на концах здесь не учтены.

Какова формула замедления времени?

Замедленное время равно фактору Лоренца, умноженному на собственное время: Δt = γΔτ, где γ — это единица, делённая на корень из 1 − v²/c². Пять часов на борту корабля при 0,9 c превращаются в 11 часов 28 минут 15 секунд на Земле, потому что фактор там равен 2,2942. Зависит он только от скорости, поэтому изменение длительности полёта масштабирует оба времени вместе и фактор не трогает.

Почему фактор Лоренца так долго остаётся близким к 1?

Потому что в формуле стоит v²/c²: на малой скорости вычитаемое из единицы ничтожно, а корень из числа, близкого к единице, близок к единице. При 0,1 c — это тридцать миллионов метров в секунду, быстрее любого космического аппарата, — фактор равен 1,005, то есть половине процента. Даже на половине скорости света он всего 1,1547. Крутой участок приходит поздно: 7,09 при 0,99 c, 22,37 при 0,999 c и 707 при 0,999999 c.

Чем это отличается от парадокса близнецов?

Эта страница даёт его исходящую половину. Если один близнец улетает при 0,9 c, а второй остаётся, часы оставшегося идут в 2,2942 раза быстрее, так что пять лет на борту — это одиннадцать с половиной лет дома. Для полного парадокса путешественнику нужно развернуться и вернуться, а это уже два участка вместо одного и ускорение — именно оно и ломает симметрию между близнецами, и именно оно выходит за рамки того, что моделирует эта страница.

Гравитация тоже вызывает замедление времени?

Да, и эта страница его не рассматривает. Часы глубже в гравитационном поле идут медленнее, чем часы выше, это отдельный эффект со своей формулой, и именно поэтому спутниковые часы приходится поправлять сразу на оба. Здесь же рассмотрен эффект специальной теории относительности, который зависит только от относительной скорости и проявляется даже при полном отсутствии гравитации. В реальных навигационных системах оба складываются.

Что происходит ровно на скорости света?

Страница отказывается принимать такое значение. При v = c величина 1 − v²/c² равна нулю, и фактор Лоренца делится на ноль, поэтому ответа нет вовсе, а не бесконечность. Выше скорости света корень становится корнем из отрицательного числа. Поле принимает значения от 0 до 1, а калькулятор отвергает ровно 1, и это честное разделение: достичь скорости света на этой странице означает не очень большое число, а точку, где формула перестаёт быть определённой.

• Time Dilation (College Physics 2e, §28.2) — the Lorentz factor, the two clocks, and the muon and satellite evidence for the effect — OpenStax
• Time dilation — the derivation of γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²), the twin paradox, and the difference between this effect and gravitational time dilation — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the hour, minute and day rows (1 h = 3600 s) the two duration rows are ultimately counted in — NIST