Калькулятор предельной скорости

предельная скорость = √( 2 × масса × g ÷ ( плотность среды × площадь сечения × коэффициент сопротивления ) ) сила сопротивления = масса × g

m

Масса падающего тела в килограммах — поле принимает также фунты, граммы и тонны

g

Стандартное ускорение свободного падения, 9,80665 м/с² — значение, используемое всюду на странице; речь идёт о падении у поверхности Земли, а не на Марсе или Луне

ρ

Плотность среды, сквозь которую падает тело, в кг/м³: 1,225 для воздуха на уровне моря при 15 °C и 1025 для морской воды. Поле принимает также г/см³ и lb/ft³

A

Площадь поперечного сечения в квадратных метрах — силуэт, который тело показывает потоку; для человека это и есть вся разница между 122 mph плашмя и 211 mph головой вниз

Cd

Коэффициент сопротивления, безразмерный — насколько форма тупая. Примерно 1,28 у плоской пластины, стоящей против потока, и 0,3 у автомобиля; справочная таблица даёт шесть форм

Эта страница нужна всюду, где что-то падает достаточно долго, чтобы воздух успел вмешаться: парашютист, купол парашюта, градина, дрон, выроненный инструмент, мяч. Она отвечает на два вопроса, на которые формула свободного падения ответить не может: с какой скоростью тело разгонится на самом деле и достаточно ли это быстро, чтобы быть опасным. Формула свободного падения предсказывает рост скорости бесконечно, а в воздухе это перестаёт быть верным уже через несколько секунд; здесь же даётся потолок скорости падения. Две привычки делают ответы полезнее. Первая: правильно определите площадь сечения, потому что это тот вход, который угадывают хуже всего и от которого скорость зависит сильнее всего — человек меняет её втрое одной лишь позой, а это уже разница в скорости в 1,7 раза. Вторая: относитесь к коэффициенту сопротивления как к порядку величины, а не к десятичному знаку, и берите его из справочной таблицы, а не по памяти: у сферы Cd идёт от 0,47 к примерно 0,1 с ростом числа Рейнольдса, и именно этот эффект используют впадины на мяче для гольфа.

1. Парашютист массой 200 lb, плашмя к земле

   1. 200 lb = 90,718 кг; 7,5 ft² = 0,6968 м² (поле площади считает в квадратных метрах)
   2. Сила сопротивления на предельной скорости: 90,718 × 9,80665 = 889,64 Н, то есть просто вес — в этом и смысл предельной скорости
   3. Знаменатель: 1,225 × 0,6968 × 0,7 = 0,5975
   4. Числитель: 2 × 889,64 = 1779,29
   5. Предельная скорость: √(1779,29 ÷ 0,5975) = √2978 = 54,6 м/с
   6. В других единицах: 196,5 км/ч, то есть 122,1 mph

   Это то число, которое со временем узнаёт каждый парашютист: около 120 mph плашмя, в обычной позе. Обратите внимание, что говорит третий шаг: сила сопротивления равна весу, потому что это и есть определение предельного состояния. Страница печатает её отдельной строкой именно для того, чтобы равновесие было видно, а не принималось на веру. Заметьте и то, как интересно сокращается масса: более тяжёлый парашютист падает быстрее, но только как квадратный корень, поэтому 20 процентов лишнего веса дают около 10 процентов лишней скорости.

2. Тот же парашютист, головой вниз

   1. Та же масса и тот же коэффициент сопротивления — меняется только площадь сечения: с 7,5 ft² на 2,5 ft²
   2. 2,5 ft² = 0,2323 м², то есть треть площади при падении плашмя
   3. Знаменатель: 1,225 × 0,2323 × 0,7 = 0,1992
   4. Предельная скорость: √(1779,29 ÷ 0,1992) = √8932 = 94,5 м/с
   5. В других единицах: 340,3 км/ч, то есть 211,4 mph
   6. Сила сопротивления: без изменений, 889,64 Н

   Уменьшите площадь втрое — и скорость вырастет в √3 = 1,73 раза, со 122 mph до 211 mph; в этом вся причина существования соревнований по скоростному падению и того, почему тот же человек в джинсах падает медленнее, чем в обтягивающем комбинезоне. Сила сопротивления в обеих позах одинакова, потому что вес не изменился; изменилась скорость, на которой эта сила достигается. Для масштаба: 211 mph — это примерно та предельная скорость, которую человеческое тело набирает вообще без парашюта, поэтому аварийная процедура при отказе — распластаться, а не хвататься за что-либо.

3. Тот же парашютист под куполом площадью 540 ft²

   1. 540 ft² = 50,168 м² — это площадь купола, а не парашютиста
   2. Коэффициент сопротивления раскрытого купола: 1,42, самая тупая форма в справочной таблице
   3. Знаменатель: 1,225 × 50,168 × 1,42 = 87,28
   4. Предельная скорость: √(1779,29 ÷ 87,28) = √20,39 = 4,5 м/с
   5. В других единицах: 16,3 км/ч, то есть 10,1 mph
   6. Спуск с 3000 ft с такой скоростью: около 3,4 минуты

   Вся страница в одном сравнении: тот же человек, тот же вес, сила сопротивления вообще не сдвинулась, а скорость спуска в 12 раз меньше. В самом парашютисте ничего не изменилось; площадь выросла в 72 раза, коэффициент — вдвое, а скорость пошла как корень из этого. Цифра 10 mph — та, которую стоит сверить с опытом: спуск под парашютом это шаг с высокой стены, поэтому техника приземления вообще имеет значение и поэтому купол, раскрывшийся не полностью, пережить можно, а жёсткое приземление — нет.

Формула предполагает, что сила сопротивления растёт как квадрат скорости; это хорошее приближение при больших числах Рейнольдса и плохое при малых: для очень маленького или очень медленного тела — пылинки, оседающей клетки, воздушного шарика — сопротивление ближе к линейному по скорости, и настоящая предельная скорость будет отличаться от той, что даёт эта страница. Коэффициент сопротивления не постоянен даже для одной формы: он зависит от числа Рейнольдса, поэтому 0,47 у сферы — это значение для гладкой сферы в определённом диапазоне, и оно падает к 0,1 на больших скоростях, а это и есть эффект, который намеренно вызывают впадины на мяче для гольфа. О подходе к предельной скорости страница не говорит ничего: она даёт потолок, а не время до него, и первые секунды падения действительно описываются формулой свободного падения. Среда предполагается неподвижной и однородной, поэтому ветер, термики, падение сквозь облако и спуск в более плотный воздух у земли остаются за рамками: поле плотности — это одно число, а не профиль. Предполагается, что тело не кувыркается, не вращается и не меняет форму, а для человека это означает зафиксированную позу; тело, которое начало вращаться, — отдельная задача. Не учитывается выталкивающая сила, а она важна для всего, что достаточно лёгкое, чтобы плавать в этой среде, и не учитывается сжимаемость воздуха на скоростях выше примерно 100 м/с, где приведённые здесь числа начинают завышать сопротивление. Наконец, это расчёт для одного тела: парашют с грузом, связка предметов на одном фале или что угодно с привязью — это система, а не тело.

Какова формула предельной скорости?

v = √(2mg ÷ ρACd). В числителе стоит удвоенный вес, в знаменателе — плотность среды, площадь поперечного сечения и коэффициент сопротивления, и все три замедляют падение. Для парашютиста массой 80 кг, падающего плашмя — 0,7 м² при Cd 0,7 в воздухе с плотностью 1,225 кг/м³, — получается 51,1 м/с, то есть 114 mph. Из-за квадратного корня удвоение массы даёт всего около 1,41 раза скорости.

С какой скоростью падает парашютист?

Около 120 mph плашмя, в обычной позе, и около 210 mph головой вниз, с прижатыми руками и ногами. И то и другое выходит из одной формулы и одного веса: между этими позами меняется только площадь поперечного сечения, с 7,5 квадратных футов на 2,5. Под куполом площадью 540 квадратных футов тот же парашютист спускается примерно на 10 mph, а это уже шаг со стены, а не падение.

Более тяжёлое тело падает быстрее?

Оно достигает большей предельной скорости, но только как квадратный корень из массы, поэтому эффект гораздо слабее, чем ожидают. Переход с 80 кг на 90,7 кг — на 13 процентов тяжелее — поднимает скорость при падении плашмя с 51,1 до 54,6 м/с, то есть примерно на 7 процентов. В вакууме разницы нет вовсе: без воздуха всё падает одинаково. В воздухе разница настоящая, но скромная, а форма значит гораздо больше веса.

Какой коэффициент сопротивления брать?

Берите его из справочной таблицы, а не из памяти, и читайте как диапазон, а не как десятичный знак: 1,28 у плоской пластины против потока, 1,42 у раскрытого купола парашюта, 1,2 у длинного цилиндра поперёк потока, 0,7 у человека плашмя, 0,47 у гладкой сферы и 0,3 у автомобиля. Если вы между двумя строками, берите более тупую: Cd падает по мере того, как форма становится обтекаемее, а завышенная оценка оставляет ответ в безопасную сторону.

Чем предельная скорость отличается от скорости свободного падения?

Свободное падение — это то, что происходит, пока воздух не важен, и у него нет предела: формула v = gt продолжает предсказывать рост скорости бесконечно. Предельная скорость — это потолок, который ставит сила сопротивления, и достигается он тогда, когда сила сопротивления вырастает до веса тела. У человека это происходит секунд через 10–12 падения и примерно через 1500 ft, после чего скорость перестаёт меняться. Ниже примерно 5 м/с, а также для тел мельче песчинки квадратичный закон сопротивления, которым пользуется эта страница, становится неверной моделью.

Что будет, если падать в воду, а не в воздух?

Плотность среды меняется с 1,225 кг/м³ примерно на 1025, то есть в 840 раз, и предельная скорость падает в корень из этого: человек достигает в морской воде около 1,8 м/с вместо 51 м/с. Это честное прочтение формулы, и оно же объясняет, почему падение в воду с большой высоты всё равно смертельно: до поверхности вы доходите с воздушной предельной скоростью, а дальше вода должна остановить вас за доли секунды.

• Drag Forces (College Physics 2e, §5.2) — the quadratic drag law, the drag coefficient, and terminal velocity as the speed where drag equals weight — OpenStax
• Drag coefficient of common shapes — the reference values for a flat plate, a sphere, a cylinder and a car body that the table below is drawn from — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — standard gravity as 9.80665 m/s², the density of air and water in kg/m³, and the exact factors behind the square-foot and pound conversions used above — National Institute of Standards and Technology