Калькулятор энергии пружины

энергия упругой деформации = ½ × жёсткость пружины × деформация² сила упругости = жёсткость пружины × деформация

k

Жёсткость пружины в ньютонах на метр — поле принимает также кН/м, Н/мм и lbf/in. Это сила, нужная, чтобы сдвинуть пружину на единицу длины, поэтому у жёсткой пружины k большой

x

Деформация в сантиметрах — насколько пружина растянута или сжата относительно длины покоя, в том самом сантиметре, который подставляет поле по умолчанию. Знак не важен: энергия при растяжении и при сжатии одна и та же

E

Энергия упругой деформации в джоулях, то есть работа, затраченная на деформирование пружины; третья строка результата даёт ту же энергию в ft·lb

F

Сила упругости в ньютонах, из закона Гука, F = kx, — сила в полностью растянутом положении, а не средняя за весь ход

Эта страница нужна, когда в деле пружина, резинка, лук, батут или подвеска, и надо узнать, сколько энергии в них запасено и как сильно они тянут. Чаще всего всплывают два вопроса: подобрать пружину под заданную энергию — пусковой механизм, противовес, дверной привод — и прикинуть, что будет, если она сорвётся. Две привычки делают ответы полезнее. Во-первых, проверьте единицу деформации, прежде чем верить числу: поле по умолчанию принимает сантиметры, и значение, задуманное как 10 мм, введённое как 10 см, даёт стократную энергию. Во-вторых, помните, что энергия растёт как квадрат деформации, а сила — только линейно, поэтому последняя часть сжатия держит почти всю энергию: сжатая на девять десятых пружина всё ещё держит лишь 81 процент, а последняя десятая добавляет оставшуюся пятую часть. Закон Гука здесь чистый: трение витков, масса самой пружины и колебания после отпускания остаются за пределами страницы.

1. Мягкая пружина 175,127 Н/м, растянутая на 5,08 см

   1. Деформация 5,08 см это 0,0508 м — поле принимает сантиметры, а формула считает в метрах
   2. Сила упругости: 175,127 × 0,0508 = 8,90 Н
   3. Деформация в квадрате: 0,0508 × 0,0508 = 0,002581
   4. Энергия: ½ × 175,127 × 0,002581 = 0,226 Дж
   5. В другой единице: 0,226 ÷ 1,3558179 = 0,167 ft·lb

   Это строка справочной таблицы для 2 дюймов, и числа намеренно маленькие: лёгкая пружина, растянутая на пару сантиметров, держит пятую часть джоуля — примерно энергию упавшего яблока. Интересно здесь отношение между двумя результатами: сила 8,90 Н, а энергия 0,167 ft·lb, то есть пружину вели на 5,08 см против силы, которая в среднем составляла половину конечной. Энергия это сила, умноженная на путь, а сила тут не была постоянной — она шла от нуля до 8,90, — и ровно отсюда берётся множитель ½ в ½kx².

2. Пружина подвески 31 522,830 Н/м, сжатая на 7,62 см

   1. Деформация 7,62 см это 0,0762 м, то есть три дюйма
   2. Сила упругости: 31 522,830 × 0,0762 = 2402,04 Н
   3. Деформация в квадрате: 0,0762 × 0,0762 = 0,005806
   4. Энергия: ½ × 31 522,830 × 0,005806 = 91,518 Дж
   5. В другой единице: 67,5 ft·lb

   Настоящая автомобильная пружина, и уносить отсюда стоит силу: 2402 Н на этом углу, что для машины массой 1500 кг составляет около шестой части её веса при таком сжатии. Заметьте ещё, что 91,5 Дж меньше кинетической энергии летящего мяча: пружины энергичны не потому, что жёсткие, а потому, что ход у них длинный. Пружина подвески ходит всего семь сантиметров, а лук — два фута, и именно оттуда берётся его энергия.

3. Та же пружина при 15,24 см — вдвое дальше

   1. Деформация: 15,24 см, вдвое больше, чем в примере выше
   2. Сила упругости: 31 522,830 × 0,1524 = 4804,08 Н, ровно вдвое — закон Гука линеен
   3. Деформация в квадрате: 0,1524 × 0,1524 = 0,023226, то есть вчетверо больше 0,005806 сверху
   4. Энергия: ½ × 31 522,830 × 0,023226 = 366,071 Дж, ровно вчетверо больше 91,518 Дж сверху
   5. В другой единице: 270 ft·lb

   Сравните этот пример с предыдущим, и вся страница уложится в два отношения. Вдвое большее сжатие даёт вдвое большую силу и вчетверо большую энергию. Поэтому пружина, которая на первом сантиметре кажется податливой, на четвёртом может оказаться по-настоящему опасной, и поэтому же лук характеризуют запасённой энергией, а не усилием натяжения: усилие — это линейная часть, а энергия — квадрат.

Здесь закон Гука, а он верен лишь пока пружина ведёт себя упруго. Сожмите настоящую пружину за предел текучести, и сила перестанет быть пропорциональной деформации; доведите её до конца хода, и витки соприкоснутся, после чего жёсткость меняется полностью, а ½kx² сверху начинает завышать энергию. Ни демпфирования, ни гистерезиса, ни массы здесь нет: настоящая пружина теряет немного энергии на внутреннее трение в каждом цикле, а пружина с массой имеет и свою кинетическую энергию, пока движется. Страница не моделирует предварительно нагруженную пружину — клапанную, пружину за болтом, — где запасённая энергия есть разность двух состояний, а не полная величина от нуля, так что выдаваемое число это энергия от длины покоя. Предполагается, что вся пружина смещается одинаково: коническая пружина, последовательная сборка из двух разных пружин и вообще всё, где витки делят деформацию неравномерно, одним коэффициентом k не описывается. Расчёт статический: о колебаниях, которые начнутся после отпускания, он не говорит ничего, потому что для них нужна ещё и масса, а это уже другая страница. И наконец, странице безразлично, будет ли запасённая энергия отпущена с пользой: те же 366 Дж могут запустить снаряд или просто уйти в тепло в демпфере. Деформация при этом предполагается измеренной вдоль оси пружины, а не под углом.

Какова формула энергии пружины?

E = ½kx², где k — жёсткость пружины в ньютонах на метр, а x — деформация в метрах. Множитель ½ стоит там потому, что сила растёт от нуля до kx по мере движения пружины, так что средняя сила за всю деформацию равна лишь половине конечной. Пружина жёсткостью 175,127 Н/м, растянутая на 5,08 см, запасает 0,226 Дж, и всё вычисление по шагам приведено выше, если хотите проверить это руками.

Почему деформация в квадрате, а не просто умножена?

Потому что работа над пружиной это сила, умноженная на путь, а сила не постоянна: в начале она нулевая, в конце равна kx, значит средняя составляет ½kx, а работа — ½kx, умноженная на x. Практическое следствие такое: вдвое большая деформация даёт вчетверо больше энергии, но лишь вдвое большую силу упругости, и поэтому последняя часть сжатия даётся тяжелее всего, а лук характеризуют запасённой энергией, а не усилием натяжения.

Что такое жёсткость пружины и как её найти?

Это сила, нужная, чтобы сдвинуть пружину на единицу длины, поэтому её и измеряют в Н/м — или в Н/мм и lbf/in, которые поле тоже принимает. Найдите её так: подвесьте к пружине известный груз, отметьте, насколько она растянулась, и поделите. Пружина, растянувшаяся на 4 см под действием 8 Н, имеет k = 8 ÷ 0,04 = 200 Н/м. Пружина автомобильной подвески это около 30 Н/мм, то есть 30 000 Н/м, а лёгкая лабораторная пружина ближе к 100 Н/м.

Одинакова ли энергия при сжатии и при растяжении?

Да, если пружина симметрична, а большинство витых пружин именно такие. В формуле стоит x², поэтому сжатие на 5 см и растяжение на 5 см запасают одинаковые ½ × k × 0,0025 Дж. Настоящие пружины симметричны не идеально: витая пружина может потерять устойчивость при достаточно сильном сжатии, а пружина с дополнительной обмоткой куда жёстче в одну сторону, чем в другую, так что равенство держится в рабочем диапазоне, а не до самых концов хода.

Сколько энергии держит полностью сжатая пружина?

Возьмите деформацию при полном сжатии и подставьте в ½kx². Пружина подвески жёсткостью 30 Н/мм, сжатая на 10 см, держит 150 Дж; та же пружина на 20 см держит 600 Дж, вчетверо больше при вдвое большем ходе. Но проверьте, где ход действительно кончается: как только витки соприкоснутся, пружина перестаёт вести себя как пружина, и формула больше не описывает происходящее.

Как перевести жёсткость из lbf/in в Н/м?

Умножьте на 175,127 — это один фунт-сила (4,448222 Н), делённый на один дюйм (0,0254 м). Так, пружина 180 lbf/in это 31 522,83 Н/м, а 300 lbf/in это 52 538,05 Н/м. Оба множителя точны по определению, так что перевод ничего не добавляет к погрешности; если ваше число расходится примерно в 9,8 раза, вы, скорее всего, где-то взяли фунты массы вместо фунтов силы.

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — F = kx and the elastic potential energy stored in a deformed spring — OpenStax
• Elasticity: Stress and Strain (College Physics 2e, §5.3) — the elastic limit and the point past which the linear relation between force and displacement stops holding — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the newton per metre as the coherent unit of stiffness, and the exact factors for pounds (0.45359237 kg) and inches (0.0254 m) that the lbf/in conversion is built from — National Institute of Standards and Technology