Калькулятор вычитания дробей

a/b − c/d = (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L где L = lcm(b, d) — наименьшее общее кратное двух знаменателей Затем сократить разность

Первый числитель

Верх той дроби, из которой вычитают: 3 в 3/4. Он умножается на то, во сколько раз его собственный знаменатель укладывается в общий знаменатель — в случае по умолчанию на 3, что превращает 3/4 в 9/12. Он может быть отрицательным, и знак путешествует вместе с ним.

Первый знаменатель

Низ первой дроби: 4 в 3/4. Он должен быть положительным, и он же одно из двух чисел, наименьшее общее кратное которых становится общим знаменателем. На панели он остаётся как введён, чтобы приведение можно было с ним сверить.

Второй числитель

Верх той дроби, которую отнимают: 1 в 1/6. Его множитель отличается от множителя первого — в случае по умолчанию это 2, что даёт 2/12, — и именно эту асимметрию показывают две приведённые дроби.

Второй знаменатель

Низ второй дроби: 6 в 1/6. Вместе с первым знаменателем он и задаёт общий знаменатель 12. Он должен быть положительным по той же причине, что и первый.

Общий знаменатель (L)

Наименьшее общее кратное двух знаменателей: 12 для 4 и 6 и 77 для взаимно простой пары 7 и 11, где он действительно оказывается обычным произведением. Он вычисляется как один знаменатель, делённый на наибольший общий делитель обоих, умноженный на другой, — то же число, но по пути, который не переполняется. Он печатается отдельной строкой, потому что на нём держится весь метод и потому что общий знаменатель больше необходимого — самая частая арифметическая оплошность в этом действии.

Приведённые дроби

Две дроби после переписывания с общим знаменателем: 9/12 и 2/12 в случае по умолчанию. Они печатаются как приведённые, а не как сокращённые, поскольку сокращение скрыло бы множитель, который сделал работу. Вычитание происходит между этими двумя числителями.

Разность

То, что осталось после вычитания двух приведённых числителей: 9 − 2 = 7 над 12. Она печатается в несократимом виде, поэтому может отличаться от того, что дало вычитание приведённых числителей, — 5/6 минус 1/3 оставляет 3/6, а печатается как 1/2, — и она схлопывается в одинокий 0, когда дроби равны.

Первый повод — само упражнение, которое проходят сразу после появления разных знаменателей, и панель выстроена вокруг учебной процедуры: найти общий знаменатель, привести, вычесть, сократить. Второй — проверка работы, сделанной от руки, где полезна именно пара приведённых дробей: если у вас получились не эти, то и всё следующее отличается. Третий — пара знаменателей с общим множителем, например 4 и 6, где общий знаменатель меньше произведения и панель показывает выигрыш. Четвёртый — пара взаимно простых знаменателей вроде 7 и 11, другая крайность: общего нет ничего, общий знаменатель равен произведению, и ответ обычно получается уже несократимым. Пятый — две равные дроби, где разность равна нулю и панель печатает одинокий 0: единственное показание на этой странице, которое не является дробью. Страница не складывает, не умножает и не делит, и она не принимает смешанные числа — это три другие страницы.

1. 3/4 − 1/6

   1. Находим общий знаменатель: наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12, а не 24, потому что оба делят 12, а произведение 4 × 6 посчитало их общий множитель 2 дважды
   2. Приводим первую дробь: 12 ÷ 4 = 3, поэтому 3/4 превращается в (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12
   3. Приводим вторую дробь: 12 ÷ 6 = 2, поэтому 1/6 превращается в (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12
   4. Вычитаем числители над общим знаменателем: 9 − 2 = 7, получаем 7/12
   5. У 7 и 12 нет общих множителей, поэтому 7/12 уже несократима

   Случай по умолчанию и лучший ответ на вопрос, почему общий знаменатель — не просто произведение: и 4, и 6 делят 12, а 12 — наименьшее число, на которое делятся оба, поэтому двенадцатых достаточно, а двадцать четвёртые были бы вдвое большей работой. Доказательство — две приведённые дроби: у 9/12 и 2/12 знаменатели одинаковы, и именно это делает вычитание законным. Обратите внимание, что приведённые числа напечатаны такими, какими их получили, а не сокращёнными: 2/12 можно было бы записать как 1/6, но тогда исчез бы множитель, который её произвёл, а множитель здесь и есть показываемый шаг.

2. 5/6 − 1/3

   1. Находим общий знаменатель: 3 делит 6, поэтому наименьшее общее кратное равно 6
   2. Первую дробь приводить не нужно: 6 ÷ 6 = 1, она остаётся 5/6
   3. Приводим вторую: 6 ÷ 3 = 2, поэтому 1/3 превращается в 2/6
   4. Вычитаем: 5 − 2 = 3 над 6, получаем 3/6
   5. Сокращаем: наибольший общий делитель 3 и 6 равен 3, поэтому 3/6 = 1/2

   Случай, показывающий, что общий знаменатель работу не заканчивает. Разность приведённых числителей равна 3/6, и 3/6 — не ответ: ответ 1/2, потому что у 3 и 6 всё ещё есть общий множитель. Метод, который останавливается на общем знаменателе, печатает здесь 3/6 и ошибается так, что страница этого не заметит, — поэтому эта строка есть и в таблице, и в разобранных примерах, а не оставлена на волю случая. Заметьте ещё, что одна из двух приведённых дробей не изменилась: когда один знаменатель делит другой, переписывать нужно только одну дробь, и величина, вернувшаяся такой же, какой вошла, — честная запись этого факта.

3. 1/7 − 1/11

   1. Находим общий знаменатель: у 7 и 11 нет общих множителей, поэтому наименьшее общее кратное равно их произведению, 77
   2. Приводим первую дробь: 77 ÷ 7 = 11, поэтому 1/7 превращается в 11/77
   3. Приводим вторую: 77 ÷ 11 = 7, поэтому 1/11 превращается в 7/77
   4. Вычитаем: 11 − 7 = 4 над 77, получаем 4/77
   5. У 4, 7 и 11 нет общих множителей, поэтому 4/77 уже несократима

   Другая крайность общего знаменателя: у двух знаменателей нет ничего общего, поэтому наименьшее общее кратное действительно равно произведению и переписывать приходится обе дроби. Именно в этом случае те, кто пропускает наименьшее общее кратное и всегда перемножает знаменатели, получают тот же ответ, — и показывать это всё равно стоит, потому что ошибаются они на предыдущем примере, с 4 и 6. Заметьте, что ответ — 4/77, а не что-то вроде 4/77 после сокращения: взаимная простота знаменателей не гарантирует несократимого ответа, она лишь делает его вероятным, и сокращение делается над результатом в любом случае.

4. 5/8 − 3/4

   1. Находим общий знаменатель: 4 делит 8, поэтому наименьшее общее кратное равно 8
   2. Первая дробь остаётся: 8 ÷ 8 = 1, получаем 5/8
   3. Приводим вторую: 8 ÷ 4 = 2, поэтому 3/4 превращается в 6/8
   4. Вычитаем: 5 − 6 = -1 над 8, получаем -1/8

   Обе дроби положительны, а ответ — нет: вычитание большей дроби из меньшей уводит результат за ноль, и панель говорит об этом знаком минус, а не отказывается принимать ввод. Общий знаменатель равен 8, а две приведённые дроби — 5/8 и 6/8, и это делает исход очевидным ещё до вычитания: второй числитель больше. Знак живёт на числителе и больше нигде: ответ записывается -1/8, а не как дробь с отрицательным знаменателем, и знаменатель остаётся положительным в каждой строке панели.

5. 1/2 − 1/2

   1. Знаменатели равны, поэтому наименьшее общее кратное равно этому знаменателю, 2
   2. Приводить не нужно ни одну из дробей: обе уже записаны над 2
   3. Вычитаем: 1 − 1 = 0 над 2, получаем 0/2
   4. Сокращаем: наибольший общий делитель 0 и 2 равен 2, поэтому 0/2 превращается в 0/1, что записывается как одинокий 0

   Случай, в котором ответ вообще не дробь. У равных дробей разность равна нулю, а ноль сокращается до 0/1, что в дробной записи пишется без знаменателя: поэтому главное показание — одинокий 0, тогда как строка общего знаменателя по-прежнему говорит 2, а обе приведённые дроби — 1/2. В этом и смысл: оба входа были настоящими дробями и метод действительно отработал, схлопнулся только результат. Это ещё и единственное место, где панель выглядит иначе, чем то же вычитание на странице сложения, где сумма схлопывается только тогда, когда доходит до целого числа.

Оба знаменателя должны быть положительными, потому что дробь несёт свой знак на числителе, — и приведённые дроби от этого зависят, поскольку каждый числитель умножается на целое число раз, а знак должен оставаться в одном месте. Числители могут быть отрицательными, и разность может оказаться отрицательной даже тогда, когда оба входа положительны: 5/8 − 3/4 равно -1/8, и это верный ответ, а не ошибка. Числа ограничены по величине. Каждый знаменатель ограничен 100 000, а каждый числитель — примерно 4,5 × 10¹⁰, то есть наибольшей величиной, при которой оба приведённых числителя ещё попадают в целые числа, представимые точно. За этой границей вычитание стало бы незаметно неточным, поэтому страница отклоняет ввод вместо того, чтобы напечатать число, которое выглядит правильным. Во все четыре поля принимаются только целые числа: десятичный числитель отклоняется, и страница указывает на страницу перевода десятичной дроби в обыкновенную. Ноль в числителе допустим: он приводится к 0 над общим знаменателем, как и любое другое значение. Страница вычитает две дроби и ничего больше: она не складывает, не умножает и не делит, и она не принимает смешанное число, записанное как целая часть рядом с дробью, — его сначала нужно превратить в неправильную дробь, чем и занимается страница смешанных чисел. Промежуточные величины здесь намеренно отличаются от тех, что на странице дробей и на странице смешанных чисел: те две перемножают знаменатели напрямую и печатают произведение до сокращения, а эта страница находит наименьшее общее кратное и печатает две приведённые дроби. Поэтому одно и то же вычитание показывает здесь 9/12 и 2/12, а там другую промежуточную пару, и ответы при этом совпадают. И наконец, ответ всегда сокращается, а приведённые дроби — нет: приведённая дробь может напечататься как 6/8, и это запись, фиксирующая приведение, а не пропущенное сокращение.

Как вычитать дроби с разными знаменателями?

Перепишите обе дроби с общим знаменателем, затем вычтите числители и оставьте этот знаменатель. 3/4 минус 1/6 превращается в 9/12 минус 2/12, что равно 7/12. Перемножение двух знаменателей всегда даёт пригодный общий знаменатель, а наименьшее общее кратное даёт меньший.

Почему для 3/4 и 1/6 общий знаменатель 12, а не 24?

Потому что 12 — наименьшее число, на которое делятся и 4, и 6. Произведение 4 на 6 считает общий множитель 2 дважды, что удваивает каждое число в работе. Двадцать четвёртые привели бы к тому же ответу вдвое большей арифметикой, а панель печатает меньший знаменатель, чтобы множители оставались небольшими.

Нужно ли сокращать после нахождения общего знаменателя?

Да. Общий знаменатель делает вычитание возможным, но не делает результат сокращённым. 5/6 минус 1/3 — это 5/6 минус 2/6, то есть 3/6, а 3/6 — это 1/2. Страница сокращает разность и оставляет две приведённые дроби такими, какими они получились, чтобы было видно и то и другое.

Может ли ответ быть отрицательным?

Да. 5/8 минус 3/4 — это 5/8 минус 6/8, то есть -1/8: вычитание большей дроби из меньшей уводит результат ниже нуля, и это настоящий ответ, а не ошибка. Знак стоит на числителе, поэтому ответ записывается -1/8 и никогда не записывается дробью с отрицательным знаменателем.

Что происходит, когда дроби равны?

Разность равна нулю. 1/2 минус 1/2 превращается в 1/2 минус 1/2, числители дают 0, а 0 над 2 сокращается до 0 над 1, что записывается как одинокий 0, без знаменателя. Строка общего знаменателя при этом по-прежнему показывает 2, потому что метод действительно отработал.

Можно ли вычитать здесь смешанные числа?

Нет. Эта страница принимает четыре целых числа, из которых получаются две дроби, поэтому смешанное число вроде 4 1/2 нужно сначала превратить в неправильную дробь — в 9/2, — и именно этим занимается страница перевода смешанного числа в неправильную дробь. Сложение, умножение и деление — тоже три отдельные страницы.

• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of subtracting two of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — the smallest positive integer divisible by two given integers, which is the common denominator this page converts both fractions to — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used here both to find the least common multiple and to reduce the difference — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the difference is printed in and not the form the converted readings are printed in — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which the common denominator is the plain product of the two denominators — Wolfram MathWorld (United States)