Перейти к основному содержанию
CalcMax

Калькулятор дробей

Диапазон: 1 – 100 000

Диапазон: 1 – 100 000

Результат

5/6

Дробь в несократимом виде

До сокращения
5/6
Десятичной дробью
0,833333

Калькулятор дробей выполняет четыре действия сразу над двумя дробями: введите числитель и знаменатель, выберите сложение, вычитание, умножение или деление, введите вторую дробь — и ответ вернётся уже в несократимом виде. Одна вторая плюс одна третья — это пять шестых, и калькулятор напечатает именно это, а не шестнадцать тридцать шестых, которые получаются, если перемножить знаменатели. Последняя фраза и есть причина, по которой здесь вообще нужен калькулятор. Сложение дробей — то действие, которое чаще всего делают неправильно: из четырёх операций только оно требует, чтобы знаменатели совпали до начала работы. Умножить крест-накрест — и готово, а для сложения и вычитания половины и трети нужно сначала превратить в что-то общее. Ведут туда два пути. Надёжный, который эта страница показывает целиком, умножает каждый числитель на знаменатель другой дроби и берёт их произведение как общий знаменатель: для одной второй и одной третьей это пять шестых над шестью, то есть форма до сокращения. Более аккуратный путь ищет наименьшее число, на которое делятся оба знаменателя, — здесь это шесть, и та же сумма сразу сводится к пяти шестым. Пара выходов существует именно для того, чтобы было видно и то и другое, и стоит понимать, что это не два ответа, а одно число до и после сокращения. Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, и именно в таком виде страница печатает ответ. Смешанное число — это целая часть плюс дробь, и его страница не выводит: результат всегда остаётся неправильной дробью. Деление — второе действие со своим правилом: разделить на дробь всё равно что умножить на перевёрнутую дробь, поэтому одна вторая, делённая на три четверти, — это одна вторая, умноженная на четыре третьих, то есть четыре шестых, а затем две третьих. Умножение и вычитание такого сюрприза не несут, хотя именно при вычитании появляется отрицательный числитель: одна вторая минус одна третья — это одна шестая, одна третья минус одна вторая — минус одна шестая, и знак минус остаётся у числителя, а не у всей дроби, потому что именно там его оставила арифметика. Четыре вещи о странице стоит знать до того, как на неё полагаться. Она работает с неправильными дробями, а не со смешанными числами: девять четвертей вернутся как девять четвертей — в той форме, которая нужна следующему вычислению, — а не как две и одна четверть. Нулевой знаменатель отклоняется, а не превращается в ответ: у такой дроби нет значения. Деление на дробь с нулевым числителем тоже отклоняется, потому что обратное к нулю не является числом. А числитель, настолько большой, что перекрёстное умножение выходит за диапазон точных целых чисел, отклоняется вместо того, чтобы быть посчитанным приближённо, — это единственный предел на входные данные сверх потолка знаменателя в сто тысяч.

Четыре действия и то, где происходит сокращение

Первая дробьДействиеВторая дробьДо сокращенияВ несократимом видеДесятичная дробь
1/2+1/35/65/60.833333
1/4+1/610/245/120.416667
3/4−1/35/125/120.416667
2/3×3/56/152/50.4
1/2÷3/44/62/30.666667
5/6×3/1015/601/40.25

Шесть строк, покрывающих все четыре действия, и главная пара столбцов — четвёртый и пятый: одно и то же число до и после сокращения. Начните со второй строки, потому что в ней работа видна лучше всего: одна четвёртая плюс одна шестая проходит через 10/24, что сокращается до 5/12, потому что у десяти и двадцати четырёх есть общий множитель два. Затем посмотрите на первую и третью строки, где в обоих столбцах стоит одна и та же дробь и сокращать было нечего; страница, показывающая только один столбец, скрыла бы оба этих факта. Строки умножения и деления показывают свои правила: умножение крест-накрест даёт 6/15, а затем 2/5, а деление умножает на обратную дробь, поэтому одна вторая на три четверти даёт 4/6, а затем 2/3. Десятичная дробь в каждой строке — это сокращённая дробь до шести знаков, и потому последний столбец служит проверкой для двух предыдущих: вторая и третья строки обе заканчиваются на 0,416667, хотя пришли к ответу разными действиями и через разные промежуточные дроби. И последнее при чтении: числа внутри таблицы печатает программа, и они записаны с точкой, а текст этой заметки использует запятую — это одно и то же число, записанное двумя способами, и ни один из них не ошибка.

Формула

Сложить или вычесть: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) Умножить: a/b × c/d = (a·c) / (b·d) Разделить: a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) Затем разделить обе части на их наибольший общий делитель

Первая дробь
Числитель и знаменатель, оба целые числа. Числитель может быть отрицательным или нулевым; знаменатель не может быть нулём и не может превышать сто тысяч
Действие
Одно из четырёх действий, выбираемое из списка, потому что их всего четыре: сложить, вычесть, умножить или разделить первую дробь на вторую. Деление выполняется переворачиванием второй дроби, поэтому оно же единственное, где нулевой числитель во второй дроби отклоняется
Вторая дробь
Второй операнд по тем же правилам: любой целый числитель, ненулевой знаменатель до ста тысяч. Её числитель становится знаменателем обратной дроби, когда действием выбрано деление
До сокращения
Дробь прямо из правила, ещё без всякого сокращения: пять шестых над шестью для одной второй плюс одной третьей. Её знаменатель — произведение двух знаменателей, поэтому такую форму иногда и называют перекрёстным умножением, и поэтому же она может оказаться больше наименьшего общего знаменателя
В несократимом виде
То же значение с вынесенным из обеих частей наибольшим общим делителем: пять шестых над шестью сокращается до пяти шестых. Это и есть ответ, а шаг между двумя выходами — это и есть всё сокращение дробей
Десятичная дробь
Ответ в виде десятичной дроби, до шести знаков: пять шестых — это 0,833333. Значение, которое не делится нацело, округляется, а не отбрасывается, и шесть знаков — это выбор отображения, а не утверждение о точности дроби

Четыре действия, четыре повода и одна полезная привычка. Складывать приходится величины, которые состоят из разных долей целого, — треть чашки плюс четверть чашки, и страница скажет, что это семь двенадцатых. Вычитать — то же самое с обратным знаком, и это действие, где порядок двух дробей имеет значение: одна вторая минус одна третья — это одна шестая, а одна третья минус одна вторая — минус одна шестая, поэтому вычитается именно та дробь, которую ввели первой. Умножение — самое простое из четырёх и то, которое чаще всего усложняют на пустом месте: умножайте крест-накрест, верх на верх и низ на низ, и никакого общего знаменателя искать не нужно; одна вторая от двух третьих — это одна третья. Деление — это умножение на обратную дробь, и именно за ним чаще всего идут к калькулятору: три четверти, делённые на одну вторую, — это три четверти, умноженные на два, то есть шесть четвертей, то есть одна целая и одна вторая. Под всеми четырьмя лежит одна привычка: сверять ответ с грубой десятичной дробью. Пять шестых над шестью — это чуть больше восьми десятых, и пять шестых тоже, значит сокращение значение не изменило, а это единственное, что сокращению позволено не трогать. Если две десятичные дроби расходятся, ошибка в арифметике, а не в сокращении, и сколько ни перечитывай выход «в несократимом виде», её там не найти.

Разобранные примеры

  1. Одна вторая плюс одна третья

    1. Общий знаменатель перекрёстным умножением: 2 × 3 = 6
    2. Первый числитель: 1 × 3 = 3
    3. Второй числитель: 1 × 2 = 2
    4. Складываем числители над общим знаменателем: (3 + 2) / 6 = 5/6
    5. Ничего не сокращается — у 5 и 6 нет общих множителей, — поэтому форма до сокращения и ответ совпадают, а десятичная дробь равна 0,833333

    Случай по умолчанию, и в нём обе формы дроби совпадают. Так бывает всякий раз, когда перекрёстная форма уже несократима, а для суммы двух единичных дробей это означает, что знаменатели взаимно просты. Это стоит увидеть один раз до примеров, где формы расходятся, — чтобы страница, показывающая одну и ту же дробь дважды, не выглядела ошибкой.

  2. Одна четвёртая плюс одна шестая, в двух формах

    1. Общий знаменатель перекрёстным умножением: 4 × 6 = 24
    2. Первый числитель: 1 × 6 = 6; второй числитель: 1 × 4 = 4
    3. Складываем их над общим знаменателем: (6 + 4) / 24 = 10/24
    4. Находим наибольший общий делитель 10 и 24: 2
    5. Делим обе части на 2: ответ 5/12, а в десятичной записи 0,416667

    Пример, который объясняет два выхода. Двадцать четыре — не наименьшее число, на которое делятся и 4, и 6: такое число — двенадцать, — поэтому форма до сокращения больше, чем нужно, и шаг сокращения делает настоящую работу. Путь через произведение, а не через наименьшее общее кратное, — не лень: это правило работает для любой пары знаменателей, без размышлений об их множителях, а сокращение после него всё равно возвращает аккуратную форму. Десять двадцать четвёртых и пять двенадцатых — одно и то же число, что и подтверждают совпадающие десятичные дроби в конце таблицы.

  3. Две третьих умножить на три четверти

    1. Умножаем крест-накрест: 2 × 3 = 6 над 3 × 4 = 12
    2. Общий знаменатель здесь не нужен — этот шаг относится только к сложению и вычитанию
    3. Сокращаем на шесть: 6 ÷ 6 = 1 и 12 ÷ 6 = 2
    4. Ответ 1/2, то есть 0,5

    Умножение, где знаменатели просто перемножаются и ничего не нужно предварительно согласовывать. Сокращение здесь стоит заметить: две третьих умножить на три четверти — одна вторая, меньше каждого из сомножителей, потому что оба меньше единицы. Такой результат удивляет тех, кто ждёт от умножения роста, и проверка через 0,5 подтверждает его за один шаг.

  4. Одна вторая, делённая на три четверти

    1. Переворачиваем вторую дробь: 3/4 превращается в 4/3
    2. Умножаем вместо деления: (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
    3. Сокращаем на два: 4 ÷ 2 = 2 и 6 ÷ 2 = 3
    4. Ответ 2/3, то есть 0,666667

    Деление, то есть умножение на обратную дробь, — правило, из-за которого числитель второй дроби попадает в знаменатель ответа. Обратите внимание на направление: одна вторая, делённая на три четверти, — это две третьих, больше исходной половины, потому что делитель меньше единицы. Деление на число меньше единицы всегда увеличивает результат, и это самая быстрая проверка, доступная на этой странице.

  5. Одна третья минус одна третья и девять четвертей, делённые на девять четвертей

    1. Общий знаменатель: 3 × 3 = 9
    2. Первый числитель 1 × 3 = 3, второй числитель 1 × 3 = 3
    3. Вычитаем: (3 − 3) / 9 = 0/9
    4. Сокращаем: ноль, делённый на что угодно, — ноль, и ответ печатается как 0, а не как 0/9

    Ноль, который является законным ответом, а не пустым результатом: дроби были равны, а равные числа при вычитании дают ноль. Выход «до сокращения» сохраняет форму проделанной работы — девятку в знаменателе, — тогда как ответ схлопывается в одну цифру. То же схлопывание происходит и на другом конце: девять четвертей, делённые на девять четвертей, дают целое число 1, а формой до сокращения там будет 36/36; дробь, у которой числитель равен знаменателю, печатается целым числом, а не сама над собой.

Ограничения

Выход «до сокращения» — это перекрёстное умножение, а не наименьший общий знаменатель. Сложение одной четвёртой и одной шестой проходит через двадцать четыре, а не через двенадцать, поэтому промежуточная дробь больше аккуратной и выглядит ошибкой для того, кто ждёт наименьшего общего кратного. Обе дроби — одно и то же число, и ответ верен: два выхода различаются только тем, сколько сокращения уже сделано, — но если нужен именно наименьший общий знаменатель, читать нужно сокращённый выход. Результаты — неправильные дроби, никогда не смешанные числа: девять четвертей остаются девятью четвертями, а не превращаются в две и одну четверть, и целый результат печатается целым числом, поэтому одна вторая, делённая на одну вторую, — это 1, а не 1/1. Десятичный выход округлён до шести знаков, и потому он служит проверкой ответа, а не способом его записать: одна треть — это 0,333333, а сумма одной трети и двух третьих показывается как 0,999999, а не как 1, тогда как дробные выходы в том же вычислении дают ровно 1. Знаменатели ограничены ста тысячами — это намеренный потолок того, сколько сокращения страница сделает за один раз. Три входа отклоняются, а не получают ответ: нулевой знаменатель, потому что у такой дроби нет значения; деление, у которого числитель второй дроби равен нулю, потому что обратное к нулю не является числом; и числитель, настолько большой, что перекрёстное умножение выходит за диапазон точной целочисленной арифметики, — страница сообщает об ошибке вместо того, чтобы напечатать приближённую дробь. Нецелые числители тоже отклоняются, поэтому значение вроде одной целой и одной второй в поле числителя нужно вручную перевести в неправильную дробь, прежде чем оно будет принято.

Частые вопросы

Почему два дробных выхода различаются?
Потому что один из них — ответ, а другой — работа. Форма до сокращения получается прямо из правила: знаменатели перемножаются, а числители — крест-накрест со знаменателем другой дроби. Дробь в несократимом виде — то же значение с вынесенным из обеих частей наибольшим общим делителем. Одна четвёртая плюс одна шестая — это 10/24 до сокращения и 5/12 после; десятичные дроби совпадают, и это и есть доказательство того, что изменилась только запись.
Почему знаменатель до сокращения равен 24, если хватило бы 12?
Потому что страница находит общий знаменатель перемножением двух знаменателей, а не поиском наименьшего, на который делятся оба. Двадцать четыре — это четыре умножить на шесть, и это законный общий знаменатель, хотя двенадцать меньше. Обмен здесь намеренный: умножение работает всегда и не требует разбирать знаменатели на множители, а шаг сокращения всё равно возвращает ответ в несократимый вид. Если нужен именно наименьший общий знаменатель, читайте сокращённый выход.
Как делить дроби?
Умножением на обратную дробь: переверните вторую дробь и умножьте крест-накрест. Одна вторая, делённая на три четверти, — это одна вторая, умноженная на четыре третьих, то есть четыре шестых, что сокращается до двух третьих. Правило существует потому, что деление на число есть умножение на обратное к нему, и именно из-за него числитель второй дроби оказывается в знаменателе ответа. Сверка с 0,666667 против 0,5 подтверждает, что ответ вырос, — деление на число меньше единицы иначе и не может.
Может ли ответ быть смешанным числом?
Нет: результаты — неправильные дроби, поэтому девять четвертей возвращаются как 9/4, а не как две и одна четверть. Неправильная дробь — это форма, которая продолжает работать: чтобы сложить или умножить смешанное число, его всё равно придётся сначала перевести в неправильную дробь, так что печатать смешанное число означало бы переводить его обратно на следующем шаге. Превращение 9/4 в две и одну четверть — это отдельное деление, и ту же работу для быстрой проверки делает чтение десятичного выхода.
Что будет, если знаменатель равен нулю?
Страница сообщит об ошибке, и ответа тут нет: у дроби с нулевым знаменателем нет значения, потому что знаменатель — это число частей, на которые разделили целое, а деление на ноль не определено. Деление на дробь с нулевым числителем отклоняется по той же причине — обратное к нулю не является числом, — а вот нулевой числитель в первой дроби вполне допустим и даёт ноль при любом умножении или делении.
Как проверить, что ответ верный?
Переведите оба операнда в десятичные дроби в уме и выполните действие на этих грубых числах. Одна вторая плюс одна третья должна попасть между 0,8 и 0,9, и пять шестых — это 0,833333. Умножение двух дробей, каждая из которых меньше единицы, должно дать меньше любой из них, а деление на число меньше единицы — больше. Если грубый ответ расходится с дробным, ошибка в арифметике, а не в сокращении: сокращение может изменить только то, как число записано.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор десятичной в дробьПереводит десятичное число в несократимую обыкновенную дробь.Калькулятор дроби в десятичнуюПереводит дробь в десятичное значение, точное или округлённое.Калькулятор сокращения дробейСокращает дробь до несократимой и показывает делитель.Калькулятор сложения дробейСкладывает дроби с разными знаменателями и сокращает.