Калькулятор сокращения дробей

d = gcd(n, D) n/D = (n ÷ d) / (D ÷ d) десятичная дробь = n ÷ D, округлённое до шести знаков

Числитель

Верх дроби: 24 в 24/36. Он может быть отрицательным или нулевым. Отрицательный числитель сохраняет знак через деление: -18/24 даёт -3/4, потому что дробь несёт знак наверху и никогда внизу.

Знаменатель

Низ дроби: 36 в 24/36. Он должен быть положительным и не может быть нулём, иначе дроби не существует. Он ограничен значением 100 000, и это ограничение на то, насколько большими могут быть два числа, а не правило про дроби.

Делитель (d)

Наибольший общий делитель двух чисел: 12 для 24 и 36, 6 для 18 и 24 и 1 для дроби, которую сократить нельзя вовсе. Это то показание, которое эта страница добавляет к тем, что даёт любой другой инструмент для дробей, и оно отвечает сразу на два вопроса: сколько сократили и было ли что сокращать вообще. Когда числитель равен нулю, делителем оказывается знаменатель — именно на него и поделили, чтобы превратить 0/50 в 0.

Сокращённая дробь

Результат деления обоих чисел на делитель: 2/3 для 24/36. Она печатается несократимой по построению и может оказаться неправильной дробью: 100/75 сокращается до 4/3 и остаётся 4/3, а не превращается в смешанное число, потому что это другая запись, которой занимается другая страница.

Десятичная дробь

То же число, записанное десятичной дробью: 0,666667 для 2/3. Она округлена до шести знаков, поэтому является приближением всякий раз, когда деление не идёт нацело; 2/3 отличается от истинного значения примерно на 3,3 × 10⁻⁷. Страница показывает шесть знаков потому, что десятичная запись — полезное второе прочтение той же величины, а не потому, что она заявляет точность: о дроби, десятичная запись которой повторяется бесконечно, рассказывает страница перевода дроби в десятичную.

Первый повод — само упражнение: сокращение проходят сразу после множителей, и именно делитель идёт в оценку, поэтому страница его печатает, а не прячет. Второй — проверка сокращения, сделанного от руки: если ваш делитель не совпадает с тем, что на панели, то одна из двух дробей не равна другой. Третий — дробь, уже несократимая, где панель говорит об этом делителем 1, вместо того чтобы оставлять вас сравнивать ответ с вводом. Четвёртый — дробь, сокращённая форма которой неправильна, например 100/75, где ответ остаётся 4/3, а десятичная величина больше единицы делает очевидным, что ничего не потеряно. Пятый — десятичная дробь, которая у вас уже есть, где чтение третьей строки говорит, чего стоит дробь, без самостоятельного деления в столбик.

1. 24/36

   1. Находим наибольший общий делитель 24 и 36: оба делятся на 2, 3, 4, 6 и 12, и наибольший из них — 12
   2. Делим числитель: 24 ÷ 12 = 2
   3. Делим знаменатель: 36 ÷ 12 = 3
   4. Сокращённая дробь — 2/3, и у 2 и 3 нет общих делителей, кроме 1
   5. В виде десятичной дроби: 2 ÷ 3 = 0,666666…, то есть 0,666667 до шести знаков

   Случай по умолчанию: дробь, которая сокращается далеко и приходит к по-настоящему более простой паре. Делитель равен 12, и стоит заметить, что 6 прошло бы часть пути — 24/36 до 4/6 — но не до конца; поэтому страница сообщает именно наибольший общий делитель, а не любой общий. Десятичная дробь округлена: 2/3 — это 0,666666…, и эта запись никогда не заканчивается, поэтому шесть показанных знаков отличаются от истинного значения в седьмом. Это решение об отображении, а о том, когда дробь заканчивается, рассказывает отдельная страница.

2. 100/75

   1. Находим наибольший общий делитель 100 и 75: оба делятся на 25
   2. Делим числитель: 100 ÷ 25 = 4
   3. Делим знаменатель: 75 ÷ 25 = 3
   4. Сокращённая дробь — 4/3, то есть больше единицы

   Неправильная дробь, которую страница печатает как есть: 4/3, а не одна целая и одна третья. Сокращение не делает дробь правильной или неправильной, а превращение её в целую часть рядом с дробью — работа страницы смешанных чисел; делать это здесь означало бы одну панель с двумя разными записями. Заметьте, что десятичная величина — самый быстрый способ увидеть размер ответа: 1,333333 говорит, что величина на треть больше единицы, — то же самое, что и 4/3, но куда менее наглядно.

3. 7/4

   1. Находим наибольший общий делитель 7 и 4: 7 простое и не является делителем 4, поэтому единственный общий делитель — 1
   2. Деление на 1 оставляет оба числа такими, какими они были
   3. Сокращённая дробь — 7/4, то же самое, что и ввод
   4. В виде десятичной дроби: 7 ÷ 4 = 1,75 ровно

   Уже несократима — случай, показывающий, зачем строка делителя вообще нужна на панели. Главная величина — это ввод, напечатанный обратно: 7/4 превращается в 7/4, поэтому по одному ответу нельзя понять, сделала ли страница хоть что-нибудь. Строка делителя говорит 1, и это страница сообщает, что посмотрела и не нашла, что делать. Показание 1 здесь — сведения, а не неудача; показание 0 было бы ошибкой, поскольку деление на ноль не является сокращением.

4. 0/50

   1. Находим наибольший общий делитель 0 и 50: на ноль делится любое число, поэтому наибольший общий делитель равен 50, то есть второму числу
   2. Делим оба: 0 ÷ 50 = 0 и 50 ÷ 50 = 1
   3. Сокращённая дробь — 0/1, что записывается как одинокий 0, потому что знаменатель 1 не пишется
   4. В виде десятичной дроби: 0

   Нулевой числитель сокращается до самого нуля, и делитель здесь 50, а не 1, — потому что именно на 50 оба числа и были поделены, чтобы к этому прийти. Это то же определение, что и везде на странице: делитель — это то, на что сократили, а не то, на что можно было бы. Главная величина печатается как одинокий 0 без знаменателя — то же соглашение, которое дробная запись использует для любого целого числа.

5. -18/24

   1. Находим наибольший общий делитель 18 и 24: оба делятся на 6
   2. Делим оба числа на 6: 18 ÷ 6 = 3 и 24 ÷ 6 = 4, поэтому дробь равна -3/4
   3. Знак остаётся на числителе, а знаменатель остаётся положительным
   4. В виде десятичной дроби: -3 ÷ 4 = -0,75

   Случай, который закрепляет, где живёт знак. Делитель равен 6, а не -6: наибольший общий делитель берётся между двумя модулями, поэтому он всегда положителен, и минус в него не входит. Сокращённая дробь несёт знак только на числителе, поэтому -18/24 — это -3/4 и никогда не 3/-4. Десятичная величина тоже сохраняет знак, и это дешёвый способ убедиться, что сокращение его не потеряло.

Знаменатель должен быть положительным и не может быть нулём: дроби с нулевым знаменателем не существует, и страница отклоняет её, а не возвращает что-нибудь. Числитель может быть отрицательным и может быть нулевым: 0/50 сокращается до одинокого 0. Оба числа должны быть целыми, а знаменатель ограничен значением 100 000; у числителя нет потолка, кроме того момента, когда арифметика перестаёт быть точной, и десятичный числитель отклоняется. Сообщаемый делитель — это наибольший общий делитель, то есть сокращение, которое доводит дело до конца, а не первый пришедший в голову общий делитель: для 24/36 это 12, а 6 оставило бы 4/6 всё ещё сократимой. Шесть знаков после запятой — это ширина отображения, а не обещание: для дроби, десятичная запись которой повторяется, они округлены, и страница не говорит ни того, округлены ли они, ни того, какова длина повторяющейся части. Если это важно, ответ даёт страница перевода дроби в десятичную. Страница сокращает одну дробь и не делает ничего другого: она не складывает, не вычитает, не умножает и не делит дроби, не превращает десятичную дробь в обыкновенную и не сокращает отношение вроде 6 : 4. Последнее выглядит как та же операция и ею не является: делитель берётся тот же, но ответ записывается как отношение, а отношения могут нести единицы измерения, чего дробь не может. Сокращённая дробь ещё и не превращается в смешанное число, поэтому результат больше единицы остаётся неправильной дробью.

Как сократить дробь?

Разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Для 24/36 этот делитель равен 12, и деление обоих даёт 2/3. Деление на любой меньший общий делитель, например на 6, даёт 4/6 — шаг в верном направлении, который всё ещё нужно сокращать снова.

Как понять, что дробь уже несократима?

Когда единственное число, делящееся на обе её части, — это 1. Панель говорит об этом прямо: делитель 1 означает, что сокращать было нечего, поэтому сокращённая дробь печатается точно такой же, какой был ввод. Именно таковы 7/4 и 1/2, и ради этого строка делителя и существует, а не только строка ответа.

Может ли ответ оказаться неправильной дробью?

Да. 100/75 сокращается до 4/3, то есть до величины больше единицы, и страница печатает 4/3, а не смешанное число. Сокращение не делает дробь правильной или неправильной, а превращение 4/3 в целую часть рядом с дробью — другая запись, которой занимается страница смешанных чисел.

Что добавляет строка с десятичной дробью?

То же число в том виде, который нужен большинству программ и таблиц. Оно показано до шести знаков, поэтому для дроби вроде 2/3, десятичная запись которой никогда не заканчивается, эти знаки округлены — 0,666667 вместо истинного повторяющегося значения. Заканчивается ли дробь вообще, объясняет страница перевода дроби в десятичную.

Можно ли сократить здесь отношение вроде 6 : 4?

Нет. Отношение сокращается тем же делителем, но это другая запись с другим видом ответа — 3 : 2, а не 3/2, — и отношения могут нести единицы измерения, чего дроби не могут. Вводите его на странице отношений; эта страница принимает одну дробь.

Что происходит с отрицательным или нулевым числителем?

Отрицательный числитель сохраняет свой знак: -18/24 сокращается до -3/4, а делитель сообщается как 6, а не как -6, поскольку наибольший общий делитель берётся между двумя модулями. Нулевой числитель сокращается до одинокого 0, и делителем тогда оказывается знаменатель — 50 для 0/50, потому что именно на 50 делились обе части.

• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form this page returns and the form it checks the input against — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, reported on this page as the divisor that was used — Wolfram MathWorld (United States)
• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the reading of the same number as a decimal — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which a reduced fraction can be and which this page prints without converting — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the condition under which the divisor is 1 and nothing can be reduced — Wolfram MathWorld (United States)