Калькулятор умножения дробей

a/b × c/d = (a × c) / (b × d) Сокращение крест-накрест: разделить a и d на gcd(a, d), а c и b — на gcd(c, b), до умножения Затем сократить произведение

Первый числитель

Верх первой дроби: 2 в 2/3. Он сокращается со знаменателем другой дроби, а не со своим и не с другим числителем. Он может быть отрицательным, и знак проходит вместе с ним через сокращение и в ответ.

Первый знаменатель

Низ первой дроби: 3 в 2/3. Он должен быть положительным — дробь несёт знак на числителе, и именно это соглашение делает сокращение однозначным. Он сокращается с числителем второй дроби.

Второй числитель

Верх второй дроби: 3 в 3/4. Он сокращается с первым знаменателем, который в случае по умолчанию равен тем же 3, поэтому оба исчезают вместе и обе сокращённые величины получаются проще.

Второй знаменатель

Низ второй дроби: 4 в 3/4. Он сокращается с первым числителем — 2 с 4 в случае по умолчанию — и должен быть положительным по той же причине, что и первый знаменатель.

Сокращение крест-накрест

Деление числителя одной дроби и знаменателя другой на их наибольший общий делитель до умножения. Сокращаются обе диагональные пары, и смысл делать это заранее в том, что произведение приходит уже в несократимом виде и длинного деления в конце не нужно. Это работает потому, что деление одного множителя и умножение на то же число взаимно уничтожаются.

Сокращённые множители

Две дроби такими, какими они стали после сокращения диагональных пар: 1/1 и 1/2 в случае по умолчанию. В произведении они дают значение ответа, и именно так сокращение проверяют: если две эти величины не дают в произведении ответ, значит что-то сократили не с тем партнёром. Печатаются они как есть, поэтому полностью сократившийся множитель выглядит как одинокая 1.

Произведение до сокращения

То, что даёт прямое умножение без всякого сокращения: 6/12 для случая по умолчанию. Это то же число и намного более крупная пара целых, и печатается оно для того, чтобы разница между двумя путями была видна, а не заявлена.

Первый повод — само упражнение: умножение дробей проходят раньше деления, и именно на нём вводят диагональное сокращение, поэтому панель печатает оба сокращённых множителя, а не только ответ. Второй — проверка работы, сделанной от руки: введите две дроби, сверьте сокращённые множители со своими, и если ваши отличаются, то и произведение будет другим. Третий — произведение, которое сокращается далеко, например 99/100 умножить на 100/99, где прямое умножение даёт 9900/9900, а сокращение крест-накрест даёт 1 вообще без арифметики. Четвёртый — отрицательная дробь, где знак должен пережить сокращение: -2/3 умножить на 3/4 равно -1/2, и знак принадлежит тому числителю, который его несёт. Пятый — дробь, умноженная на целое число, которая есть просто вторая дробь, записанная со знаменателем 1: 1/2 умножить на 2 — это 1/2 умножить на 2/1, и страница принимает это без всякого особого случая.

1. 2/3 × 3/4

   1. Сокращаем диагонали: у 2 и 4 общий множитель 2, получаем 1 и 2; у 3 и 3 общий множитель 3, получаем 1 и 1
   2. Теперь множители — это 1/1 и 1/2
   3. Умножаем: (1 × 1) ÷ (1 × 2) = 1/2
   4. Без сокращения было бы (2 × 3) ÷ (3 × 4) = 6/12, то есть то же самое число

   Случай по умолчанию и лучший ответ на вопрос, что даёт сокращение крест-накрест: два пути дают 1/2 и 6/12, одно и то же значение, и только один из них уже несократим. Обратите внимание, что первый сокращённый множитель печатается как одинокая 1, а не как 1/1: в нём сократилось всё, а знаменатель 1 пишется без знаменателя. Проверка — в двух последних величинах: перемножьте их и получите ответ, 1 × 1/2 = 1/2.

2. 7/8 × 4/5

   1. Сокращаем диагонали: у 7 и 5 общего нет, поэтому оба остаются; у 4 и 8 общий множитель 4, получаем 1 и 2
   2. Теперь множители — это 7/2 и 1/5
   3. Умножаем: (7 × 1) ÷ (2 × 5) = 7/10
   4. Без сокращения: (7 × 4) ÷ (8 × 5) = 28/40, то же число с более крупными целыми

   Случай, когда сокращается только одна из двух диагоналей: 7 и 5 взаимно просты, поэтому эта пара проходит нетронутой и первый множитель сохраняет знаменатель 2, тогда как другая диагональ сокращается полностью и второй множитель падает до 1/5. Половина работы в сокращении крест-накрест — это распознать, что делать нечего, и потому величина, вернувшаяся без изменений, — это сведения, а не неудача. Ответ 7/10 уже несократим, а строка 28/40 показывает, что вручил бы длинный путь.

3. 99/100 × 100/99

   1. Сокращаем диагонали: у 99 и 99 общий множитель 99, получаем 1 и 1; у 100 и 100 общий множитель 100, получаем 1 и 1
   2. Оба множителя теперь равны 1/1
   3. Умножаем: 1 × 1 = 1
   4. Без сокращения: (99 × 100) ÷ (100 × 99) = 9 900 / 9 900, что тоже равно 1

   Дробь, умноженная на обратную себе, — случай, показывающий, сколько экономит сокращение: длинный путь строит 9 900 над 9 900 и потом сокращает это обратно до 1, а сокращение крест-накрест не записывает ни того, ни другого числа. Обе величины возвращаются как одинокие 1, потому что оба множителя сократились полностью, — так в этой записи и выглядит обратная дробь. Это же и самое ясное объяснение, почему сокращение вообще работает: 99 и 100 здесь и умножаются, и делятся на одно и то же.

4. -2/3 × 3/4

   1. Сокращаем диагонали: у -2 и 4 общий множитель 2, получаем -1 и 2; у 3 и 3 общий множитель 3, получаем 1 и 1
   2. Теперь множители — это -1/1 и 1/2
   3. Умножаем: (-1 × 1) ÷ (1 × 2) = -1/2
   4. Знак на протяжении всего решения принадлежит числителю

   Отрицательная дробь, где знак едет вместе с числителем через всё сокращение: у -2 и 4 общий множитель 2, и остаётся -1 и 2, поэтому минус после сокращения на месте, а не сократился вместе с ним. Заметьте, что знаменатель остаётся положительным в каждой строке: дробь несёт знак наверху, и именно это соглашение сохраняет однозначность. Один отрицательный множитель даёт отрицательное произведение; два дали бы положительное.

5. 1/2 × 2

   1. Записываем целое число дробью: 2 — это 2/1
   2. Сокращаем диагонали: у 1 и 1 общего нет; у 2 и 2 общий множитель 2, получаем 1 и 1
   3. Умножаем: 1 × 1 = 1
   4. Итак, половина от двух равна одному

   Целое число, не требующее особого случая: 2 — это 2/1, поэтому страница обращается с ним как с любой другой дробью, и диагональное сокращение находит 2 против 2. Без этого шага произведение было бы 2/2 и его всё равно пришлось бы сокращать, — вот в чём разница, которую сокращение даёт даже на таком маленьком примере. Ответ, выходящий как одинокая 1, а не как 1/1, — то же соглашение, что и везде на этой странице: знаменатель единица не пишется.

Оба знаменателя должны быть положительными, поскольку дробь несёт свой знак на числителе, — и это соглашение здесь делает настоящую работу, потому что сокращение сопоставляет числа по диагонали и стало бы неоднозначным, если бы любой из знаменателей мог быть отрицательным. Числители могут быть отрицательными, и знак переходит в ответ. Все четыре числа ограничены по величине. Числители ограничены значением 94 906 265 — это наибольшее число, при котором произведение двух числителей ещё попадает в целое, представимое точно; знаменатели ограничены значением 100 000, тем же потолком, что и на соседних страницах про дроби. Произведение за этой границей было бы незаметно неточным, поэтому страница отклоняет ввод вместо того, чтобы напечатать число, которое выглядит правильным. Ноль в числителе принимается: произведение тогда равно нулю, и оба сокращённых множителя выходят как ноль над чем-то, — а вот нулевой знаменатель не принимается, потому что такой дроби не существует. Страница умножает две дроби и ничего больше: она не складывает, не вычитает и не делит, и она не работает со смешанным числом, записанным как целая часть рядом с дробью, — его сначала нужно превратить в неправильную дробь. И наконец, ответ всегда в несократимом виде, а сокращённые множители — не обязательно: сокращённый множитель может напечататься как 2/2, если его собственные числа случайно имеют общий множитель, и это та величина, которая честно сообщает, что именно сделало сокращение, а не ошибка в ответе.

Как умножить две дроби?

Перемножьте числители между собой и знаменатели между собой. 2/3 умножить на 3/4 — это (2 × 3) над (3 × 4), то есть 6/12, а 6/12 сокращается до 1/2. Общий знаменатель здесь не нужен, в отличие от сложения, — это единственное, что делает умножение дробей проще сложения.

Что такое сокращение крест-накрест?

Это деление числителя и стоящего к нему по диагонали знаменателя на их наибольший общий делитель до умножения. В 2/3 умножить на 3/4 двойка сокращается с четвёркой, а тройка — с другой тройкой, и остаётся 1/1 умножить на 1/2, что уже и есть ответ. Работает это потому, что деление одного множителя и умножение на то же число взаимно уничтожаются.

Какие числа сокращаются — стоящие по горизонтали или по вертикали?

Всегда по диагонали: каждый числитель со знаменателем другой дроби. Два числителя перемножаются, а не сокращаются друг с другом, и два знаменателя — точно так же. Сокращение не той пары даёт неверный ответ, а не отсутствие ответа, и именно поэтому оба сокращённых множителя печатаются на панели.

Обязательно ли сокращать крест-накрест?

Нет, и страница показывает оба пути: 6/12 и 1/2 — одно и то же число. Сокращение даёт то, что произведение приходит уже в несократимом виде и шага сокращения в конце не требуется: на 99/100 умножить на 100/99 короткий путь даёт 1, тогда как длинный сначала записывает 9 900 над 9 900.

Можно ли умножить дробь на целое число?

Да. Запишите целое число со знаменателем 1 — 2 превращается в 2/1, — и дальше это обычное умножение. 1/2 умножить на 2 — это 1/2 умножить на 2/1, двойки сокращаются по диагонали, и ответ равен 1. Никакого особого правила для целых чисел нет.

А что с отрицательными дробями?

Знак принадлежит числителю и путешествует вместе с ним. -2/3 умножить на 3/4 равно -1/2: -2 сокращается с 4, оставляя -1 и 2, поэтому минус сокращение переживает. Знаменатели при этом всё время остаются положительными, и это то соглашение, которое делает сопоставление по диагонали однозначным.

Почему один из сокращённых множителей напечатан как одинокая 1?

Потому что в нём сократилось всё. Когда числитель и противоположный знаменатель делят все свои множители, остаётся 1 над 1, а знаменатель 1 пишется без знаменателя — то же соглашение, что и в остальной части страницы. Одинокая 1 — это множитель, который сократился, а не пропущенная величина. Отрицательные дроби подчиняются тому же правилу: знак остаётся на числителе и после сокращения.

• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of multiplying two of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the answer on this page is printed in and the form the unreduced line has to be reduced to — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, which is the number each diagonal pair is divided by before the multiplication — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which a diagonal pair has nothing to cancel and passes through unchanged — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is what a whole number written as a fraction over 1 always is — Wolfram MathWorld (United States)