Калькулятор эквивалентных дробей

Равная дробь = (числитель × k) ÷ (знаменатель × k), где k = 2, 3, 4, … до одного большего, чем заданное количество Несократимый вид = числитель и знаменатель, делённые на их наибольший общий делитель Десятичная дробь = числитель ÷ знаменатель

Дробь

Числитель и знаменатель, которые вы вводите. Знаменатель не может быть нулём, а знак минус, если дробь отрицательная, несёт именно числитель. Нулевой числитель допускается, и все равные ему дроби тоже равны нулю.

Множитель k

Целое число, на которое умножаются обе части. Оно пробегает значения от 2 до одного большего, чем заданное количество, поэтому запрос пяти даёт множители 2, 3, 4, 5 и 6. Значение 1 не берётся никогда, потому что это и есть введённая дробь.

Равная дробь

Одна из дробей ряда: числитель и знаменатель, умноженные на одно и то же k. Величина не меняется, меняется только размер долей, и элементы ряда печатаются такими, какими получились, без сокращения, поэтому 2/6 так и выглядит как 2/6.

Несократимый вид

Та же величина, записанная наименьшими возможными числителем и знаменателем, — её получают делением обеих частей на их наибольший общий делитель. Дробь, уже находящаяся в несократимом виде, служит себе ответом, а дробь, у которой числитель делится на знаменатель нацело, печатается целым числом: 5/5 — это 1.

Десятичная дробь

Числитель, делённый на знаменатель и округлённый до шести знаков после запятой. Это третий способ записи того же числа, и, в отличие от ряда, он не позволяет увидеть равенство двух дробей на глаз: 1/3 и 2/6 дают обе 0,333333.

Первый повод — школьная работа с самими дробями, где важен тот факт, что у величины много имён: введя 2/6 и увидев 4/12, 6/18 и 8/24, легко убедиться, что сокращение меняет запись, а не число. Второй — сравнение: две дроби легко сравнить, когда у них общий знаменатель, а 2/3 против 3/5 на глаз не оценить, тогда как 10/15 против 9/15 — запросто, и это то же самое приведение, которое нужно для сложения дробей. Третий — проверка чужого сокращения: если говорят, что дробь сокращается до 3/4, то ряд от 3/4 должен содержать исходную, а если не содержит, значит, это не одно и то же число. Четвёртый — когда дробь нужно выразить в определённом знаменателе, шестнадцатых долях дюйма или двенадцатых долях часа, и хочется увидеть, чему равна величина в тех единицах, которыми мерят работу. Когда дробь уже в несократимом виде, панель повторяет её, и это само по себе и есть ответ на вопрос, можно ли её сократить ещё.

1. 1/3, пять дробей

   1. Обе части 1/3 умножаем на 2: 2/6
   2. На 3: 3/9, и на 4: 4/12
   3. На 5: 5/15, и на 6: 6/18 — пять дробей, поскольку заданное количество было равно пяти
   4. Несократимый вид: у 1 и 3 нет общих множителей, поэтому ответ снова 1/3
   5. Десятичная дробь: 1 ÷ 3 = 0,333333

   Случай по умолчанию и тот, который объясняет, почему множитель начинается с 2: умножение на 1 напечатало бы саму 1/3 первым элементом, а это вовсе не другая дробь. Совпадение несократимого вида с вводом говорит, что дробь уже была записана как можно проще, а десятичная дробь повторяется потому, что у третей нет точной десятичной записи.

2. 2/6, три дроби

   1. Обе части 2/6 умножаем на 2: 4/12
   2. На 3: 6/18, и на 4: 8/24
   3. Несократимый вид: 2 делит обе части, поэтому 2/6 — это 1/3
   4. Десятичная дробь: 2 ÷ 6 = 0,333333, то же самое, что 1 ÷ 3

   Это тот случай, который объясняет вторую величину на панели. 2/6 и 1/3 — одно и то же число, поэтому у них один и тот же несократимый вид и одна и та же десятичная дробь, и всё же ряды у них разные: здесь первый элемент 4/12, а ряд для 1/3 начинается с 2/6. Страница строит ряд от дроби такой, какой она введена, поэтому список зависит от того, какой из двух записей этой величины вы воспользовались.

3. 5/5, то есть целое число

   1. Обе части 5/5 умножаем на 2: 10/10
   2. На 3: 15/15 — две дроби, поскольку заданное количество было равно двум
   3. Несократимый вид: 5 делит обе части, получается 1
   4. Десятичная дробь: 5 ÷ 5 = 1

   Дробь, у которой знаменатель делит числитель, — это целое число, и панель пишет 1, а не 5/5 и не 5/5, сокращённое до 1/1. Ряд рядом с ним всё равно сохраняет знаменатели, потому что смысл ряда — в записи: 10/10 и 15/15 показывают, как та же величина выглядит более мелкими долями.

4. 6/4, дробь больше единицы

   1. Обе части 6/4 умножаем на 2: 12/8
   2. На 3: 18/12, на 4: 24/16 и на 5: 30/20 — четыре дроби
   3. Несократимый вид: 2 делит обе части, поэтому 6/4 — это 3/2
   4. Десятичная дробь: 6 ÷ 4 = 1,5

   Величина больше единицы, и ответ даётся как 3/2, а не смешанным числом, чтобы каждая цифра на панели была записана одинаково. Равные дроби тоже все неправильные, и это следует из умножения обеих частей 3/2 на одно и то же число: никакое умножение не может превратить дробь больше единицы в правильную.

Оба входа должны быть целыми числами, поэтому 0,75 эта страница не примет: сначала переведите его в 3/4, и причина в том, что всё вычисление ведётся в точной целочисленной арифметике, а с появлением десятичной дроби она точной быть перестаёт. У знаменателя есть верхняя граница, и он не может быть нулём; у числителя она тоже есть, потому что каждый элемент ряда — это произведение. Количество ограничено сверху, и это не так страшно, как звучит: дроби быстро растут, и 20 элементов дроби вроде 7/21 уже уходят в сотни. Ряд строится от дроби такой, какой она введена, а не от её несократимого вида, поэтому одна и та же величина, записанная двумя способами, даёт два разных ряда — это выбор, а не оплошность, но он означает, что результат зависит от записи во входе. Ничего в ряду не сокращается, поэтому элемент вроде 6/18 стоит в одной панели с 1/3; если нужен наименьший знаменатель, читайте вторую величину на панели. Результат записывается дробью и никогда смешанным числом, а отрицательная дробь сохраняет знак минус у числителя. Эта страница перечисляет дроби, равные данной, и не сокращает дробь ради самого сокращения: там, где этим занимаются, показывают делитель и ход решения, а здесь печатается только ответ. Двух вещей она не делает вовсе — арифметики между дробями и перевода из десятичной дроби, для них есть отдельные страницы. Равные дроби нужны ещё и для приведения к общему знаменателю, так что часть работы эта страница делает и для сложения, хотя само сложение здесь не выполняется.

Как найти дроби, равные моей дроби?

Умножьте числитель и знаменатель на одно и то же целое число. Если начать с 1/3 и умножить обе части на 2, 3 и 4, получатся 2/6, 3/9 и 4/12, и каждая из них равна 1/3. В этом вся формула, и она работает и в обратную сторону: деление обеих частей на общий множитель даёт ещё одну дробь, равную той же величине.

Почему список начинается с 2/6, а не с 1/3?

Потому что умножение на 1 дало бы ту самую дробь, которую вы ввели, а это не другая дробь, с которой можно сравнивать. Ряд — это множители 2, 3, 4 и так далее, а заданное количество говорит, сколько из них показать.

Почему дроби в списке не сокращены?

Сокращение напечатало бы одно и то же число снова и снова, а это противоположно смыслу страницы. 2/6, 3/9 и 4/12 — всё это 1/3, и именно разная запись делает очевидным, что величина не изменилась. Несократимый вид введённой величины показан на панели отдельно.

Что такое несократимый вид?

Та же величина, записанная наименьшими возможными числителем и знаменателем, — её находят делением обеих частей на их наибольший общий делитель. Если у двух частей нет общих множителей, дробь уже в несократимом виде, и панель просто повторяет её, как это происходит с 1/3.

У всех ли дробей ряда одинаковая десятичная дробь?

Да, и это как раз и означает равенство: 1/3, 2/6, 3/9 и 4/12 дают все 0,333333. Десятичная дробь — самый быстрый способ проверить, что ряд действительно равный, но она же и скрывает разницу, поскольку показывает одно число там, где дроби показывают четыре.

Можно ли взять дробь больше единицы или отрицательную?

Можно, и обе сохраняют свой характер в ряду. У дроби вроде 6/4 несократимый вид равен 3/2, и 12/8, 18/12 и остальные тоже больше единицы. Отрицательная дробь записывается со знаком минус у числителя, поэтому -1/2 даёт ряд -2/4 и -3/6.

Можно ли ввести десятичную дробь вместо обыкновенной?

Нет. Обе части должны быть целыми числами, поэтому 0,75 будет отклонено; сначала переведите его в 3/4. Умножение, из которого строится ряд, выполняется в точной целочисленной арифметике, а десятичная дробь сломала бы эту точность, как только величину нельзя будет записать дробью со знаменателем-степенью десяти.

• Fraction — two fractions are equal when one is obtained from the other by multiplying numerator and denominator by the same number, which is the operation this page performs and repeats — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — a fraction whose numerator and denominator have no common factor, which is the second figure on the panel and the form the run deliberately does not take — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing both parts, which is what the lowest terms are obtained by dividing out — Wolfram MathWorld (United States)
• Denominator — the number below the line in a fraction, which is the part two fractions have to agree on before they can be rewritten over one another — Wolfram MathWorld (United States)