Калькулятор десятичной в дробь

Знаки после запятой n → числитель = цифры, знаменатель = 10ⁿ Затем обе части делятся на их наибольший общий делитель

Десятичная дробь

Число, которое надо перевести, прочитанное до двенадцати знаков после запятой. Нули в конце его не меняют, а значение меньше 0,000000000001 исчезает, округляясь до нуля, ещё до начала преобразования

Знаки после запятой

Сколько цифр стоит справа от запятой: три для 0,375, четыре для 0,0625, ни одной для 2. Именно это число задаёт знаменатель — столько нулей после единицы

Числитель до сокращения

Цифры десятичного, прочитанные как целое число, с убранной запятой: 375 для 0,375 и 625 для 0,0625. Это верх дроби, который ещё помнит, откуда взялось число

Знаменатель до сокращения

Степень десяти — 1000 для трёх знаков, 10000 для четырёх. Это знаменатель, который делает дробь точной десятичной дробью, а не приближением

Наибольший общий делитель

Самое большое число, на которое делятся обе части, и единственное, что стоит между несокращённой дробью и ответом: у 375 и 1000 общий делитель 125, поэтому обе части делятся на него и получаются 3 и 8

Сюда приходят в четырёх ситуациях, и они требуют разной степени доверия. Первая — прочитать десятичный обратно дробью для рецепта, рулетки или размера сверла, где важны те десятичные, у которых разложение обрывается: 0,375 это три восьмых, а 0,0625 это одна шестнадцатая, и такие переводы точны. Вторая — проверить уже имеющуюся дробь обратным ходом, и здесь как раз окупается несокращённый вывод: введите 0,75 и увидите 75/100, и это подтверждает, что десятичный равен трём четвертям, как только из обеих частей уйдёт 25. Третья — превратить десятичный в отношение для показа, где на страницу идёт сокращённая форма, а проценты идут бонусом. И четвёртая — случай, когда этот инструмент не тот, что нужен, и это стоит распознать до того, как на него уйдёт время: перевод периодического десятичного. Если у вас на руках 0,3333, а не 1/3, ответом будет 3333/10000 — верное утверждение о тех цифрах, которые перед вами, и плохая замена тому числу, которое вы имели в виду. Переход от периодического десятичного к его точной дроби — отдельная задача с отдельным методом, а десятичный, обрывающийся после двенадцати знаков, уже выбросил доказательства, которыми она решается.

1. 0,375 как дробь

   1. Считаем знаки после запятой: у 0,375 их три
   2. Знаменатель: три знака означают 1000, значит число равно 375/1000
   3. Находим наибольший общий делитель 375 и 1000: это 125
   4. Делим обе части на 125: 375 ÷ 125 = 3 и 1000 ÷ 125 = 8
   5. Сокращённая дробь — 3/8, а тот же десятичный равен 37,5 %

   Случай по умолчанию и тот, в котором видно, что два вывода делают разную работу. 375/1000 — это то, откуда взялось число, и прямая запись того, что три знака после запятой означают три нуля; 3/8 — это ответ, и именно в этой форме дробью продолжают пользоваться: три восьмых чашки (США) в рецепте, три восьмых дюйма на линейке. Обратите внимание, что 3/8 точна: 0,375 обрывается после трёх знаков, а это признак десятичного, за которым стоит точная дробь.

2. 1/16 как десятичный и обратно

   1. Считаем знаки после запятой: у 0,0625 их четыре
   2. Знаменатель: четыре знака означают 10 000, значит число равно 625/10000
   3. Делим обе части на 625: 10 000 ÷ 625 = 16
   4. Сокращённая дробь — 1/16, а в процентах это 6,25 %

   Одна шестнадцатая — и здесь несокращённый вывод становится интересным: 625/10000 сокращается до самого конца, до 1/16, потому что 10 000 это 16 × 625. Такова форма любого конечного десятичного: знаменатель сокращённой дроби делит степень десяти, а это то же самое утверждение, что в знаменателе нет простых множителей, кроме двойки и пятёрки. Поэтому 1/16 и 3/8 переводятся точно, а 1/3 и 1/7 — никогда.

3. 2,5 как неправильная дробь

   1. Убираем запятую и читаем цифры: 25
   2. Считаем знаки: один, значит знаменатель 10
   3. Делим обе части на 5: 25 ÷ 5 = 5 и 10 ÷ 5 = 2
   4. Сокращённая дробь — 5/2, это 2,5, то есть 250 %

   Значение больше единицы, и оно возвращается неправильной дробью, а не смешанным числом: 5/2, а не 2 1/2. Это одно и то же число, и неправильная форма лучше подходит для дальнейшей арифметики — умножению дробей не нужна целая часть, стоящая рядом с дробью. Обратное чтение, 5 ÷ 2 = 2,5, — это та самая арифметика, которую выполняет следующая страница этой группы.

4. Что получается из 0,333333333333333

   1. Считаем знаки: введено пятнадцать цифр, читаются двенадцать
   2. Знаменатель: двенадцать знаков означают 1 000 000 000 000
   3. Числитель: двенадцать уцелевших цифр, 333333333333
   4. Ничего не сокращается — общих множителей со степенью десяти нет, — поэтому обе формы это одна и та же дробь
   5. В процентах это 33,3333 %

   Случай, который отделяет эту страницу от того, на что часто надеется читатель. Пятнадцать троек — это 1/3, округлённая до пятнадцатого знака, а страница переводит те цифры, которые ей дали, а не то число, которое они приближают, поэтому ответ 333333333333/1000000000000, а не 1/3. Эта дробь честная — она равна ровно тому десятичному, который был введён, — и это не то, что ищет человек, переводящий периодическую дробь. Несокращённый вывод здесь совпадает с сокращённым, потому что сокращать нечего: знаменатель, являющийся степенью десяти, не имеет общих множителей с числителем, составленным из троек.

Страница переводит введённый десятичный, а не ту дробь, которую вы имели в виду. У любого десятичного, который можно записать, есть точная дробь, и эта страница её найдёт, а значит усечённое приближение периодического десятичного переводится в дробь со знаменателем-степенью десяти, а не в ту простую дробь, из которой оно выросло: 0,3333 становится 3333/10000, и чтобы вернуть 1/3, нужно с самого начала знать, что это было 1/3. Страница читает не больше двенадцати знаков после запятой: значение меньше 0,000000000001 округляется до нуля ещё до начала преобразования и возвращается как 0, а проценты при этом уменьшаются до соответственно крошечного числа, так что такое маленькое число теряет дробь целиком, а не получает приближение. Ввод с большим числом цифр до запятой ограничен точностью обычной арифметики с плавающей запятой: примерно после пятнадцати значащих цифр числитель перестаёт быть точным, и возвращаемая дробь точна ровно настолько, насколько было точно введённое число; она не завышает точность молча, но и восстановить цифры, которых никогда не было, не может. Дроби возвращаются неправильными, а не смешанными числами, поэтому 2,5 даёт 5/2, а не 2 1/2, а целое число даёт дробь со знаменателем единица, которая затем сводится к самому целому: 1 возвращается как 1. Отрицательный ввод сохраняет знак в числителе: −0,375 это −3/8. Никакой арифметики сверх преобразования страница не делает — она не складывает, не сравнивает и не упрощает уже имеющуюся у вас дробь и не проверяет, годится ли полученная дробь в той форме, которая нужна получателю. И это не инструмент округления: ничто здесь не решает, сколько знаков после запятой должно было быть у вашего числа.

Как перевести десятичный в дробь?

Сосчитайте знаки после запятой, уберите запятую и поставьте цифры над единицей с таким же числом нулей: у 0,375 три знака, значит это 375/1000. Затем разделите обе части на их наибольший общий делитель — в этом случае на 125 — и получите 3/8. Счёт знаков и есть весь метод; всё после него — сокращение, которое страница делает быстрее человека.

Почему 0,3333 даёт 3333/10000, а не 1/3?

Потому что 0,3333 — это не 1/3. Это 1/3, обрезанная после четырёх знаков, и 3333/10000 — ровно то, что говорят эти четыре цифры. Страница переводит то число, которое перед ней, и не может знать, что имелся в виду периодический десятичный; разница между ними 0,0000333, небольшая, но настоящая. Чтобы получить 1/3 из периодического десятичного, нужна повторяющаяся часть, а это другое вычисление с другим методом.

Что мне говорит дробь до сокращения?

Откуда дробь взялась. 375/1000 говорит, что у числа было три знака после запятой и цифры были 375, а значит перевод можно проверить глазами; 3/8 говорит, каков ответ. Эта пара ещё и показывает шаг сокращения явно, поэтому одна и та же страница служит разобранным примером сокращения дроби, а не только конвертером. Когда сокращать нечего — например, у числителя, составленного из троек, — обе формы совпадают, и страница печатает одну и ту же дробь дважды.

Какие десятичные переводятся в точные дроби?

Те, которые обрываются. Десятичный с конечным числом знаков есть дробь со знаменателем-степенью десяти, поэтому перевод точен по построению, а сокращённый знаменатель может быть составлен только из двоек и пятёрок: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 и так далее. У всего остального, например у трети или седьмой, десятичное разложение не кончается никогда, и никакое конечное число знаков не представит его точно. Страница всё равно переведёт те цифры, которые вы дали, и вернёт дробь со знаменателем-степенью десяти, а не ту простую дробь, которая за ними стоит.

Что происходит с очень маленьким десятичным?

Ниже двенадцати знаков после запятой он исчезает, округляясь до нуля. Страница читает не больше двенадцати знаков, поэтому 0,0000000000001 — тринадцать знаков — становится 0 и возвращается дробью 0, а не дробью со знаменателем из тринадцати цифр. Двенадцать знаков — это намеренный потолок: он покрывает любой десятичный, который кто-либо записывает в обычной работе, и удерживает числитель и знаменатель внутри диапазона, где целые числа точны.

Почему 2,5 показано как 5/2, а не как 2 1/2?

Потому что неправильная дробь — та форма, которой продолжают пользоваться. Значение в обоих случаях одинаковое, а 5/2 нужно, если следующий шаг — умножать или делить на другую дробь, поскольку смешанное число перед этим всё равно придётся превратить обратно в неправильную дробь. Обратное чтение — это деление: 5 ÷ 2 = 2,5, и страница, которая выполняет это деление, — следующая в этой группе.

• Decimal fraction — an arithmetical fraction with an integral power of ten as its denominator, which is the definition this page converts from — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)
• Reduced Fraction — a fraction written in lowest terms, obtained by dividing numerator and denominator through by their greatest common divisor, with 2/3 given as the reduced fraction of 8/12 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular Number — also called a finite decimal: a number with a finite decimal expansion, which is exactly the class of decimals whose reduced fraction has a denominator built only from twos and fives — Wolfram MathWorld (United States)