Калькулятор дроби в десятичную

Десятичное число, полученное делением числителя на знаменатель · несократимый вид · длина повторяющегося блока цифр (0 — запись конечная)

Числитель

Верх дроби, целое число. Может быть отрицательным или нулевым: при нулевом числителе десятичное число тоже ноль, а дробь с числителем больше знаменателя даёт десятичное число больше единицы

Знаменатель

Низ дроби, целое число до ста тысяч и не ноль. Именно это поле решает, оборвётся запись или будет повторяться, и если будет, то как долго — и это факт об одном только знаменателе

Десятичное число

Числитель, делённый на знаменатель, показанный с шестью знаками. Когда запись конечная, эти шесть знаков содержат весь ответ с нулями на конце; когда она повторяется, это округление на шестом знаке, а не усечённая и не точная её форма

Сокращённая дробь

Дробь в несократимом виде — та форма, в которой и надо судить о её поведении: 2/4 возвращается как 1/2, и именно двойка в этом знаменателе решает, что запись оборвётся, а не четвёрка, которую вы ввели

Длина периода

Сколько цифр в повторяющемся блоке, или ноль, если запись конечная. Одна треть даёт 1, одна седьмая — 6, одна девяносто седьмая — 96, и число зависит только от сокращённого знаменателя: у любой дроби с девяносто семёркой внизу цикл равен девяноста шести независимо от числителя

Три случая, и третий вывод помогает в них всё больше. Первый — перевести дробь в десятичное для измерения или для таблицы: три восьмых это 0,375, одна вторая это 0,5, и четыре дроби с маленькими знаменателями стоит знать наизусть. Второй — проверить, переведётся ли дробь точно, и это тот вопрос, который важен, когда ответ должен уложиться в заданное число знаков: знаменатель, составленный только из двоек и пятёрок, переводится чисто, а содержащий семёрку или тройку — никогда, сколько бы знаков вы ни отвели. Третий — оценить, насколько точным будет такой перевод: дробь с периодом в одну-две цифры шестью знаками передаётся хорошо, а с периодом в девяносто шесть — нет. Одна девяносто седьмая показывается как 0,010309, и следующие шесть цифр настоящей записи — совсем другие цифры, что стоит знать до того, как это число пойдёт в расчёт. Два случая вне возможностей страницы. Превратить периодическую десятичную запись обратно в точную дробь — это обратное направление и отдельная задача, а напечатанное шестью знаками уже выбросило ту повторяющуюся структуру, которой она решается. И смешанные числа как ввод не принимаются: две и одна четвёртая вводится как 9/4, потому что делению нужны одни числитель и знаменатель.

1. Три восьмых — запись, которая обрывается

   1. Делим числитель на знаменатель: 3 ÷ 8 = 0,375
   2. Деление заканчивается точно, поэтому длина периода равна 0
   3. Дробь уже несократима, так что она и возвращается как 3/8

   Случай по умолчанию и самый простой: восьмёрка собрана из одних двоек, поэтому запись обрывается, а шесть знаков на экране содержат весь ответ с нулями следом. Именно это и говорит нулевой период — ноль здесь означает, что ничего не округлялось и ничего не выброшено, и потому это первое, на что стоит смотреть, когда важна точность десятичного числа.

2. Одна треть — запись, которая не кончается

   1. Делим: 1 ÷ 3 = 0,333333…
   2. Тройка не собрана из двоек и пятёрок, поэтому запись не кончается
   3. Повторяющийся блок — одна цифра 3, значит период равен 1
   4. Экран показывает первые шесть знаков, 0,333333

   Тот случай, ради которого вывод о периоде и существует, и тот, в котором десятичному числу меньше всего можно доверять. 0,333333 — это не одна треть, а одна треть, округлённая на шестом знаке: умножьте её на три и получите 0,999999 вместо единицы. Период, равный 1, говорит, что на экране вид бесконечной записи, а не весь ответ; период, равный нулю, на этой же странице сказал бы обратное. Сложение одной трети и двух третей — классическая проверка: в десятичных получается 0,999999, а в дробях ровно 1.

3. Двадцать две седьмых — длинный период и неправильная дробь

   1. Делим: 22 ÷ 7 = 3,142857142857…
   2. Семёрка даёт простой множитель, отличный от двойки и пятёрки, поэтому запись повторяется
   3. Повторяющийся блок — 142857, шесть цифр
   4. Экран показывает 3,142857, а дробь уже несократима

   Дробь больше единицы, поэтому у десятичного числа есть целая часть, а знаменатель равен семи, и его цикл — шесть цифр, самый длинный среди однозначных знаменателей. Двадцать две седьмых — классическое приближённое значение числа π, верное до второго знака, а сам блок 142857 известен как цикл одной седьмой. Вывод о периоде здесь работает по-настоящему: он говорит, что шесть показанных цифр — это весь повторяющийся блок, а не округлённый обрывок более длинного.

4. Две четверти возвращаются как одна вторая

   1. Сначала сокращаем: у 2 и 4 общий множитель 2, значит дробь равна 1/2
   2. Делим сокращённую форму: 1 ÷ 2 = 0,5
   3. Двойка собрана из одних двоек, поэтому период равен 0

   Страница сокращает до того, как делить, и вот как это выглядит: в выводе дроби стоит 1/2, а не введённые 2/4. Значение в обоих случаях одинаковое, а читать поведение записи нужно именно по сокращённой форме: знаменатель, решающий, оборвётся ли запись, — это сокращённый знаменатель. Увидев это один раз, вы поймёте, почему дробь, введённая в одной форме, возвращается в другой.

5. Одна девяносто седьмая — цикл длиннее экрана

   1. Делим: 1 ÷ 97 = 0,010309278350515…
   2. Девяносто семь — простое число, и оно не двойка и не пятёрка, поэтому запись повторяется
   3. Длина цикла — 96 цифр
   4. Экран показывает первые шесть знаков, 0,010309

   Крайний случай и причина печатать период даже тогда, когда он велик. Девяносто шесть цифр — это куда больше шести на экране, так что перед вами шестнадцатая часть первого повторения: число, которое пришлось бы вести через множество знаков, прежде чем в нём проступил бы узор. Период 96 рядом с шестизначным десятичным — это предупреждение: он не значит, что десятичное число неверно, он значит, что оно мгновенный снимок. Сравните с одной третью, где период 1 делает те же шесть знаков куда лучшим представлением числа.

Десятичное число показывается с шестью знаками, поэтому оно точно только тогда, когда длина периода равна нулю. Когда период больше нуля, у числа нет конечной десятичной формы, и шесть знаков — это округление на шестом знаке: одна треть выглядит как 0,333333, третью не являясь, а одна треть плюс две трети дают на экране 0,999999 вместо единицы. Период больше шести означает, что на экране только часть одного повторения. Страница сокращает до деления, поэтому дробь, введённая не в несократимом виде, возвращается сокращённой: 2/4 возвращается как 1/2, а 100/8 как 25/2, и период, будучи свойством сокращённого знаменателя, считается именно по этой сокращённой форме. Целые результаты печатаются целыми числами, а не дробями со знаменателем единица: 5/1 возвращается как 5, а нулевой числитель как 0. Смешанные числа не принимаются: две и одна четвёртая вводится как 9/4, потому что деление работает с одними числителем и знаменателем, а нецелое значение в любом из полей отклоняется, а не преобразуется. Знаменатели ограничены ста тысячами, и это же ограничивает период: самый длинный цикл, который может дать разрешённый знаменатель, — чуть меньше ста тысяч цифр. И период сообщается как количество цифр, а не как сами цифры: страница говорит, что запись одной девяносто седьмой повторяется каждые девяносто шесть знаков, но не показывает, какие это девяносто шесть цифр.

Как перевести дробь в десятичную?

Разделите числитель на знаменатель: три восьмых — это 3 ÷ 8 = 0,375, а одна вторая — это 1 ÷ 2 = 0,5. Деление и есть весь метод; единственное, что стоит сделать заранее, — сократить дробь до несократимого вида, потому что именно сокращённый знаменатель решает, оборвётся запись или будет продолжаться без конца.

Как узнать, оборвётся ли десятичная запись?

Посмотрите на простые множители сокращённого знаменателя. Если он составлен только из двоек и пятёрок, запись обрывается: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 и 100 дают конечные десятичные. Если в нём есть любой другой простой множитель — тройка, семёрка, одиннадцать, — запись повторяется вечно и не может быть записана точно никаким конечным числом знаков. Вывод о длине периода и говорит, какой это случай: ноль означает, что запись конечная, а любое другое число — длину повторяющегося блока.

Почему 1/3 показывается как 0,333333?

Потому что экран несёт шесть знаков после запятой, а у одной трети нет конечной десятичной формы, поэтому на шестом знаке запись округляется. 0,333333 — это не ровно одна треть: умножьте на три и получите 0,999999 вместо единицы, и в этом вся арифметическая разница. Длина периода, равная 1, — это и есть сообщение страницы: запись продолжается, а показанное — вид на неё, а не ответ.

Почему 2/4 показано как 1/2?

Потому что страница сокращает дробь до деления, и именно сокращённая форма важна для всего остального, что она сообщает. Значение в обоих случаях одно и то же — 0,5, — но длина периода есть свойство сокращённого знаменателя, поэтому сокращение обязано произойти первым: что запись оборвётся, говорит двойка в 1/2, а не введённая вами четвёрка. Дроби, введённые в более громоздкой форме, всегда возвращаются сокращёнными.

Что означает длина периода, равная 96?

Что десятичная запись этой дроби повторяется каждые девяносто шесть цифр: у одной девяносто седьмой блок из девяноста шести цифр продолжается без конца. Это не мера точности показанного десятичного числа: шесть знаков на экране по-прежнему верны, насколько простираются, они просто малая часть одного повторения. Зато из этого видно, что шестью знаками число передать хорошо нельзя, поскольку следующие цифры — не продолжение видимого узора, а гораздо более длинный узор.

Ответ может быть больше единицы или отрицательным?

И то и другое обычно. Числитель больше знаменателя даёт десятичное число больше единицы — двадцать две седьмых это 3,142857, — и дробь в выводе остаётся неправильной, а не превращается в смешанное число. Отрицательный числитель даёт отрицательное десятичное число, и знак остаётся в числителе дроби: минус три четверти — это минус 0,75 и печатается как −3/4. На длину периода ни то, ни другое не влияет, потому что она зависит только от знаменателя.

• Repeating Decimal — a decimal expansion in which a digit or block of digits repeats forever, the property the period output measures, together with the rule that a terminating decimal is one whose reduced denominator has no prime factor other than 2 or 5 — Wolfram MathWorld (United States)
• Decimal fraction — an arithmetical fraction with an integral power of ten as its denominator, which is exactly the class of fractions whose decimal expansion terminates — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)
• Fraction — numerator, denominator and the reduction of a fraction to lowest terms, which is the step that must happen before the denominator's prime factors can be read — Wolfram MathWorld (United States)